有理才能寓意入法方能深刻——以两位数乘两位数的教学为例

1、有“理”才能寓“意”，入“法”方能深刻以“两位数乘两位数”的教学为例【内容摘要】 如何上好计算课，如何在计算教学中将“运算意义”与“算理”、“算法”进行有机融合？义务教育数学课程标准（2011年版）指出，在数学活动中，不仅要重视学生获得知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流，感悟数学是基本思想，引导学生在参与数学活动的过程中积累基本经验。围绕数学课程标准，笔者对两位数乘两位数进行了教学研究。【关键词】 算理 算法 运算意义计算在人们生活学习、生产实践等领域有着广泛的应用。当今世界无论科学技术如何发展，基本的计算方法却没有多大的改变。在小学数学教学中，计算教学贯穿于全过程，

2、学习的内容最多，学习的时间也最长，据不完全统计，计算课时占数学总课时的50%以上，所以计算教学是小学数学教学重点中的重点。但我们在课改十多年的后的今天却发现，学生计算能力不强却是不争的事实：计算速度慢，正确率低，特别是计算习惯差。与之相对应的是教师对计算教学的研究也不多。大凡上公开课，一般老师很少会选择有关计算的课型。理由很简单：枯燥、乏味，不像其他课型那样，能上得高潮迭起。还有一些教师认为，计算教学没有什么道理可讲，只要让学生掌握计算方法后，反复演练，就可以做到计算正确、熟练。在过往的有关传统计算教学中，我们采用的模式往往是从基本训练到例题的讲解，得出计算法则进而巩固练习，最后重复操作形成计

3、算技能。这样，学生往往因计算枯燥而缺乏兴趣，甚至产生厌倦心理。数学需要执行各种各样的运算。理想状况是这些程序源自基本的概念性理解，这些概念性理解使得学习过程不再是机械性操作，并且潜在地促进了学生的发展。具体说来，关于数的运算，要引导学生理解运算的意义是什么；怎样进行运算，也就是运算的方法是什么；为什么这样算，运算的算理是什么。由此我们认为，计算教学应该加点“甜味”，即在理解运算意义基础上，在算理直观与算法抽象之间应该架设一座桥梁，让学生在充分体验中逐步完成动作思维形象思维抽象思维的发展过程。下面笔者以在一次偶然的乘数是一位数的练习中对学生的作业着手分析，对两位数乘两位数进行了专题研究。一、缘起

4、在三年级下册学习两位数乘两位数之前的一次练习中，不小心出了这样一道题：65×30.由于之前只学习了乘数是一位数的乘法，学生在答题过程中不断有说不会做的。本意是想出650×3，但既然已经出了，就将错就错吧。从批阅作业看，正确率不高，但也有一部分学生得出了正确的结果。于是在接下来的作业点评中，笔者出了这样几道对比题：65×3，650×3，65×30。前两道没有问题，到了第三题时，特意安排了这样几位学生进行分析。生1： 6 5 × 1 3 0 1 9 5 0生2: 30里面有3个10，65×10=650，再用650×3，

5、就是与第二道题一样了，得数是1950。生3：可以将65×30中乘数30中的那个0移到65的后面。我按他说的进行了板演，65×30=650×3.问：“为什么？”生3：第一个乘数扩大10倍，另一个乘数缩小到原来的十分之一，答案还是不变的。我在65与650和30与3之间用箭头进行了标记，大家表示认可，都认为这样相乘后的积是不变的。生4： 6 5 × 3 0 0 0 1 9 5 1 9 5 0二、前测没想到一次作业竟有意外的发现。特别是第四种方法。看来已有学生通过其他途径的学习能用列竖式的方法进行计算。但真的理解了吗？这是笔者更为关心的。于是在接下来学习两位数乘

6、两位数之前先对有关乘法进行教材分析。北师大关于整数乘法的学习，在教材的编排上是从二年级开始的。二年级时学习表内乘法，到三年级上册学习一位数乘两、三位数的乘法计算，到三年级下册的两位数乘两位数的乘法；再到四年级学习两位数乘三位数的乘法计算。结合解决问题的过程，经历从直观运算到算法运算的过程，理解算理。基于学生认知发展和教材编排顺序，结合教材对两位数乘两位数（上页图）的编排特点，笔者在学习这一内容之前，先按例题的要求进行 北师大三下队列表演（一）了前测。 题：学校举行队列表演，一共有12行，每行有14人。有多少人参加队列表演？在点子图上圈一圈，并用自己的方法算一算。 教学中，笔者首先引导学生列出算

7、式，分析算式的含义。而后搜集了学生的作业，并对答题情况进行分析整理。方法一：借助整十数分割先圈10个12，再圈4个12,120+48=168 先圈10个14，再圈2个14，140+28=168方法二：分成任意的几部分左中右每份分别是60,60和48，共148 上中下每份都是4个14，56×3=168方法三：凑整后有序分成多个部分10×10=100，2×10=20，4×10=40，2×4=20，100+20+40+8=168从前测的情况看，学生虽然没有学习两位数乘两位数的计算方法，但是借助点子图的直观模型，绝大多数学生能够将未知的知识转化为已知的

8、知识，探索出计算方法，并呈现了多样化的算法。抽取部分学生进行访谈，他们认为自己和其他同学的方法都是将点子图分成了多个部分再合起来，有的还认为无论怎样分结果都是一样的。学生有这样的体会正是对算理有了最朴素的理解，这也正是潜在地探索运算律的过程。为实验需要，笔者选用未设计“点子图”到另一班要求学生进行“14×12”的计算，全班绝大部分学生都选用列竖式计算。（班级总人数：45人）算法人数占班级人数比正确率竖式3782%24.4%分拆或分解818%87.5%但对37名列竖式的学生进行分析，基本掌握方法并计算结果正确的仅仅只有11名学生，不及班级总人数的四分之一。最典型的几种错误的列竖式情况：

9、生1： 1 4 生2 1 4× 1 2 × 1 2 4 8 8 1 4 2 0 1 8 8 1 0 0 1 2 8与年级组其他教师分析认为，当为学生提供相应的直观模型支撑时，学生可以探索出一定的方法。但可能是有家长提前将列竖式计算教授给孩子，学生因只得其形却未知其理，因而出现了错误，即使得其形也未必能完全正确计算。这也就合理解释了表格中的相关数据：使用竖式的比例高，但正确率相对较低，使用横式的少，但因更容易理解算理反而正确率高。笔者认为，学生对于算理的理解，算法的形成并不是一朝一夕能形成的，这需要长期的经验积累。三、实践有了前面的分析，在之后的队列表演（二）教学中，笔者将更

10、多的精力放在通过点子模型图理解算理，进而归纳算法。重点设计了三个问题。一是尝试独立用竖式计算“14×12”；二是结合点子图解释第一个问题中竖式每一步的意义，促进对竖式的理解；三是总结两位数乘两位数竖式笔算的程序（法则），引导学生根据计算程序正确计算。为了让学生更加直观地感受这个过程，笔者还利用课件将横式（14×10+14×2=140+28=168）进行了移动，逐步变成了一个竖式。 北师大三下队列表演（二）并结合点子图进行圈一圈的演示。这样，既体现了横式与竖式的联系，又用横式重点解释了竖式的算理。 四、思考经过了课例研究的“调查实验分析教学反思调整”的整个过程，笔者

11、有了满满的收获。1通过丰富的教学活动来熟“法”悟“理”感悟算理和掌握算法是计算教学的两大任务，算法是解决问题的操作程序，算理是算法赖以成立的数学原理。计算教学的关键是要正确处理好两者的关系。在看待计算教学算理和算法的问题上，按照“虚者实之，实者虚之”的原则，并将此作为计算课算理教学的根基策略。虚即“算理”，实即“算法”。 两者一“虚”一“实”，算法直观与算理笼统，使学生不只知其然，更知其所以然！如果教师在教学时忽略引导学生对算理的教学，这种急功近利的做法，会使学生失去独立思考与深层感悟的机会，甚至影响学生计算能力的提高。2. 通过新旧知识的迁移来“生成”算法数学方法是数学的本质。过往传统的计算

12、教学，是教师引着学生走，学生依照例题的方法去理解、模仿，进而熟练，而不是学生探究、发现、生成出数学方法，这是传统的计算教学最被人诟病之处。因此，在教学过程中教师必须重视处理好“教师预设”与“课堂生成”这辩证关系，培养学生分析问题、解决问题的方法，重视引导学生发现真理和寻找真理。如上述“两位数乘两位数”一课研究中，借助点子图，学生会想出很多种方法，将横式与竖式联系，悟出竖式计算方法应注意的问题。课堂中的“预设”与“生成”是一个动态的过程，在这个动态过程中，往往会生成一些超出教师预设之外的新问题。如果教师能善于抓住这些生成点，让学生充分地去探究和交流，就有利于学生计算能力的培养和数学思维能力的提高。3.通过自主探究的过程来懂“理”归“法”数学课程标准指出，学生学习数学的过程应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。数学教学强调的是学生经历学习的过程，这是学生真实的学习体验。在计算教学中，算理可以说是学生已有的“旧知”，学生完全可以通过自主探究，合作交流等方式感悟算理，总结计算方法。从上述课例研究中我们发现，学生