【教学设计】双曲线及其标准方程

1、课题： 双曲线及其标准方程一 教学目标 1.知识与技能：（1）能理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距；（2）能掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置。（3）能根据已知条件求双曲线的标准方程。2.过程与方法：（1）经历双曲线轨迹的探究，培养观察能力和探索发现能力。（2）在双曲线定义和标准方程的学习过程中培养类比推理能力、归纳能力，体会求轨迹方程过程中数形结合等数学思想方法的运用。3.情感、态度与价值观：（1）经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学的对称美和简单美。（2）通过主动探索，感受探索的乐趣，体会数学的理性和严谨。（3）经历双曲线定义的获得过程，养成实事

2、求是的科学态度，形成学习数学知识的积极态度二 教法学法（一）教学方法 引导探索、发现法设计意图 这样的教法可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃。 同时培养学生自主学习和动手探究的能力。（二）学习方法 自主探索、合作交流 设计意图 这样的学法有利于培养学生的动手实践能力、自主学习能力、探索精神及合作意识（三） 教学手段 多媒体辅助教学设计意图有利于激发学生学习的兴趣，增强动感与直观感，增大教学容量，提高教学效率和教学质量（四）学具 一条拉链，两颗图钉，一块纸板。设计意图为探究双曲线的定义的绘图活动提供物质条件。三 教学过程设计 下的“再创造”过程。 我设计了以下教学流程：创设

3、情境 引入新课 抽象概括 归纳定义 类比探究 建立方程实践探索 形成能力 分层作业 巩固提高 整理知识 纳入系统 （一）创设情境， 引入新课 本节课的开始由多媒体演示实例，并引导学生观察图中的红色曲线。（1）济南市立交桥的外观结构；（2）为缓解交通拥堵，北京市创建的新式交通结构图；（3）城市标志雕塑的外形；（4）自然通风塔轴截面的外观轮廓；（5）可乐瓶和古代鼎的曲线造型。并指出：这些红色曲线就是数学中研究的双曲线。上述都是实际生活中与双曲线有关的例子。除此之外，双曲线在自然界和科学技术中也有着广泛的应用，比如有的无周期彗星的运动轨迹是双曲线; 利用远程双曲线导航的罗兰C卫星导航系统等。那如何定

4、义双曲线呢？怎样建立它的方程呢？这就是本节课所要研究的内容，由此引出课题： 设置意图让学生形成双曲线的感性认识，感受数学的应用价值，体现数学来源于生活实际，又服务于生活实际。同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力 。（二）抽象概括 归纳定义提出思考：如何定义双曲线呢？ 设计意图通过创设情境，激发了学生的求知欲，使学生急于想知道双曲线是满足什么条件的点的轨迹，但现有知识又无从回答，形成认知冲突，使学生进入愤悱状态。教师指出：为探究双曲线的定义，先回顾椭圆的定义，即：椭圆上动点M满足：(0)引导一：若将上式改为(0)，动点M的轨迹是怎样的曲线呢？设计意图“思维从疑问开始”， 以问题为出发点

5、，创设有效的学习情景，不仅可以复习旧知，为本节课的学习奠定基础，而且这样设问可以提高学生的求知欲，激发学生学习的兴趣鼓励学生积极参与、主动思考，发挥学生学习的主体作用。解决方法 让学生拿出课前准备好的一条拉链，一块纸板，两枚图钉。介绍作图方法：在拉链拉开的两段上各选择一点，分别固定在纸板上的点F1 ，F2处，取拉锁处为M点，由于拉链两段是等长的，则，设，把笔尖放在点M处，随着拉链的拉开或闭拢在纸板上作图。(如图1)。并由此提出思考：若动点M满足：(0)，应该怎样作图呢？让同桌两人一组，相互磋商、动手绘图，教师巡视，对有困难的小组予以帮助。然后选出一位学生代表叙述他们的画图过程，并展示画图结果。

6、对完成较好的小组予以表扬，让学生充分体会到数学探索的乐趣和成功的喜悦。 设计意图 双曲线的定义为本节课的教学重点之一，为了突出重点，开展探究活动，让学生动手操作，亲身经历双曲线的形成过程 图2 图1学生完成作图后，再用课件演示作图过程，指出这一条曲线(图1)就是满足：集合的动点M的轨迹。若将上述集合改为 ，比较两集合的关系，取，同理可画出此时动点M的轨迹(图2)。 设计意图课件演示不仅增强动感，而且帮助学生克服在实际操作中的困难，体现数学的严谨性。观察、比较，归纳： 上面两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支。其中右边一支满足： ，左边一支满足：引导二：（1）在纸板上作图说明了什么？

7、（2）根据上述绘图原理，双曲线上的动点M应满足什么条件？（3）常数2a与有什么关系？教师引导学生观察、分析，并归纳结论： （1）平面内（2）动点M与两个定点F1 ， F2的差的绝对值等于常数。 （3）并鼓励学生根据上述三点结论大胆归纳出双曲线的定义即为：平面内与两个定点的差的绝对值等于常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线。并引入双曲线焦点和焦距的概念：这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 设计意图按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、分析，启发学生认识新的概念，这有利于学生对概念的全面理解，同时培养了学生从量变到质变的辨证思维。 并实现对数学图形，符号，文字三种语言的

8、相互转化，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。 引导三：如果改变常数的范围（2a=，2a=0， 2a），动点的轨迹会发生什么变化呢？解决方法教师让学生相互讨论 ，鼓励学生大胆阐述自己的结论，并运用课件进行演示，归纳出： 常数2 a 动点M的轨迹(1) (02a) 双曲线 (2) 线段F1 F2的延长线上以F2为端点的一条射线 段F2F1的延长线上以F1为端点的一条射线(3) 2 a = 0 段F1 F2的中垂线(4) (违背了三角形三边长的关系) 不存在 设计意图通过教师的设问，启发学生思考，让学生在自主探索，合作交流中归纳概括出结论，培养学生发现问题，研究问题，解决问题的能力。上述结论是对满

9、足集合的动点M 的轨迹的全面说明。（三）类比探究 建立方程引导四：怎样建立双曲线的标准方程呢？ 解决方法 先引导学生回顾求曲线方程的一般步骤，然后循此步骤，并类比椭圆标准方程的推导过程，在教师的启发下，由学生自主推导双曲线的标准方程。设计意图 通过学生对旧知识的回顾来了解学生对知识的掌握程度，同时让学生明确思维的目的，为下一步教学搭桥铺路第一步 建系：建立直角坐标系，使轴经过点，并且点与线段的中点重合。（在回顾椭圆标准方程推导时如何建立坐标系后，建立起双曲线标准方程推导时的坐标系。）图3第二步 设点： 设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么，焦点的坐标分别是()、()。又设点与的距离的差的

10、绝对值等于常数2 a。第三步 写点集：根据定义写出M点的轨迹构成的点集：P = M | |MF1 | |MF2 | = 2 a 第四步 列方程：用坐标法表示条件P（M），列出方f(x，y)=0，即： 第五步 化简：化方程f(x，y)=0为最简形式。 将方程化简，得 由双曲线的定义可知，即，所以。令，其中，代入上式，得两边除以，得出： 对此方程要强调：它是双曲线的焦点在轴上的标准方程，焦点是：F1 ()、F2 ()，焦距。 设计意图 为了真正做到让学生主动思考、学习，让学生自己动手，独立的完成这个任务，从而进一步体会用坐标法求曲线方程的思想。前四步学生容易掌握，第五步的二次根式较复杂，学生常因运

11、算能力不强而功亏一篑。故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练。注意了引导学生比较椭圆标准方程推导中的二次根式的化简：平方，赋值，将含有两个根式之差的等式转化为含有a，b，c三字母的整式，再化为等号右端为1的方程形式。教师对个别有困难的学生进行必要的指导，并选一名学生在黑板上书写化简过程，然后教师点评。这一环节教学有助于突破本节的教学难点。 注 意：区别双曲线和椭圆的标准方程中的关系：双曲线：（，）椭 圆：（）设计意图类比双曲线和椭圆标准方程中的的关系，有助于学生克服椭圆学习中的思维定势。引导五：焦点在轴上，并且点O与线段的中点重合，的意义同上，双曲线的方程又如何呢 ？ 图4解决方法先让学生

12、作出图4，引导学生观察、比较图3与图4，并根据椭圆的焦点在轴上的标准方程的推导方法，鼓励学生大胆猜想，归纳出：只需将上述标准方程中的 、互换，即：设计意图该问的设置，一方面是为了得出焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程；另一方面培养学生的类比能力，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性。 调动了学生学习的主动性和积极性， 引导六：观察上述两个不同的标准方程，思考：（1）双曲线的标准方程有何特点?（2）项的符号与该双曲线的焦点所在位置有什么关系？解决方法 由学生小组交流，教师对学生的回答进行必要的点评，一定要让学生对上述问题的解答都有明确的认识。并归纳出：由双曲线标准方程确定焦点位置的方法：双曲线的焦点

13、应在系数为正的那一项所对应的坐标轴上(正项定焦轴)。设计意图观察、比较，发现问题;概括、归纳，解决问题，不仅加强了学生对所学知识的进一步理解，而且培养了学生自主探究和鉴别的能力。为检验学生对上述结论的掌握情况布置课堂练习：判断下列双曲线的焦点所在坐标轴：（1）；（2）；（3）。(四) 实践探索 形成能力1 例题剖析，初步应用 已知双曲线两焦点的坐标为，双曲线上一点P到、的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解决方法 课本例题，难度不大，但能起到及时对所学概念进行巩固训练的作用。教学中紧扣定义和标准方程的知识。由学生合作完成，再由学生代表发言，叙述解题过程，教师点评，板书规范的解题步骤。

14、并指出：上述例题的求解运用了求曲线方程的基本方法之一： 待定系数法。设计意图数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该例题使学生进一步理解双曲线的定义，掌握标准方程，使知识内化为智能。2 自我反馈，评价提高 （1）求适合条件焦点在轴上的双曲线的标准方程设计意图检验学生对双曲线标准方程结构特征的掌握情况。（2）填空：已知方程表示双曲线，则的取值范围是 。设计意图区别双曲线的两种不同形式的标准方程，注意焦点位置的讨论。（3）证明椭圆与双曲线的焦点相同设计意图比较两种圆锥曲线标准方程中的异同。通过反馈练习，再次加强学生对新知识的掌握情况，并检验学生新的认知结构的形成和技能的发展状况，对教学中所出现的遗漏

15、和不足给予即时补救。达到巩固，消化，检验新知识的目的。同时使学生获得的知识信息纳入长时记忆系统。（五）知识整理，纳入系统 1 知识点：(1)双曲线的定义，焦点，焦距的概念。(2)双曲线标准方程两类形式，如何由方程判定其焦点所在坐标轴。(3) 的确定依据。(4)与双曲线定义和标准方程有关的三个常数 间的关系（ 都为正常数，且c最大，结构类似勾股定理： ）2 数学思想： 数形结合、等价转化。 3 数学方法： 观察、比较、概括、归纳、类比分析、待定系数法。设计意图 通过画龙点睛，提纲挈领的小结，将所学知识纳入已有的知识系统之中，形成学生自己的认知结构。突出重点，抓住关键，培养学生概括能力。通过提炼数学的基本思想方法，使学生掌握数学的精髓和本质，提高数学素养。（六） 分层作业，巩固提高 1 必做题：课本P55习题12 课后探究题：（1）求与双曲线共焦点，