拉格朗日方程导出机电系统的运动方程

1、121. 机电系统的物理分析机电系统的物理分析2. 机电系统运动方程的拉格朗机电系统运动方程的拉格朗日方程的推导（日方程的推导（重点重点）3. 机电系统的运动方程建立机电系统的运动方程建立4. 机电系统的运动方程求解机电系统的运动方程求解 3l机电系统的方程机电系统的方程 电路的电压平衡方程电路的电压平衡方程 机械系统的转矩（或力）平衡方程机械系统的转矩（或力）平衡方程l机电系统方程特点机电系统方程特点 电压平衡方程比静止电路多一项电压平衡方程比静止电路多一项运动运动电动势项电动势项 转矩平衡方程比纯机械系统多一转矩平衡方程比纯机械系统多一项项电电磁转矩项磁转矩项4动态耦合电路法动态耦合电路法

2、变分原理法变分原理法5l含义：含义： 运动状态的机电系统看作运动状态的机电系统看作动态耦合电路动态耦合电路6基尔霍夫定律写出电路方程：电磁感基尔霍夫定律写出电路方程：电磁感应定律导出应定律导出运动电动势运动电动势项；项；达朗贝尔定律写出机械方程：虚位移达朗贝尔定律写出机械方程：虚位移原理导出原理导出电磁转矩电磁转矩；两者联系起来构成机电系统的运动方两者联系起来构成机电系统的运动方程；程；7l含义：含义： 通过能量函数的积分求极值通过能量函数的积分求极值不区别机、电系统对应量，统一用任一方不区别机、电系统对应量，统一用任一方物理量；物理量；使用某个特定的能量函数来建立一个普遍使用某个特定的能量函

3、数来建立一个普遍的方程的方程拉格朗日方程拉格朗日方程。通过机电系统的某个特定的能量函数的积通过机电系统的某个特定的能量函数的积分求极值来导出运动方程。分求极值来导出运动方程。8等价性等价性应用两种方法推导的运动方程是一样应用两种方法推导的运动方程是一样的；的；当某一个机电系统的运动方程用一种当某一个机电系统的运动方程用一种方法导出后，便能由此推导出另外一方法导出后，便能由此推导出另外一种方法。种方法。9保守弹簧振子模型保守弹簧振子模型：l力平衡方程：力平衡方程：10保守弹簧振子模型保守弹簧振子模型：l动能：动能：l位能：位能：11保守弹簧振子模型保守弹簧振子模型：l用能量函数表达力：用能量函数

4、表达力：12保守弹簧振子模型保守弹簧振子模型：l物理意义：物理意义：惯性力仅仅与系统的惯性力仅仅与系统的动能动能有关有关弹力仅仅和系统的弹力仅仅和系统的位能位能有关有关13保守弹簧振子模型保守弹簧振子模型：l以能量函数表达力的平衡：以能量函数表达力的平衡：14保守弹簧振子模型保守弹簧振子模型：l能量函数（状态函数）：能量函数（状态函数）：l拉格朗日方程：拉格朗日方程：15单边激励机电装置模型单边激励机电装置模型：16单边激励机电装置模型单边激励机电装置模型：l电压平衡方程：电压平衡方程：17单边激励机电装置模型单边激励机电装置模型：l电磁力：电磁力：18单边激励机电装置模型单边激励机电装置模型

5、：l力平衡方程：力平衡方程：19单边激励机电装置模型单边激励机电装置模型：l各种能量表达式：各种能量表达式：轭铁动能：轭铁动能：弹簧位能：弹簧位能：磁场储能：磁场储能：磁共能：磁共能：20单边激励机电装置模型单边激励机电装置模型：l各种损耗函数：各种损耗函数：电阻损耗函数：电阻损耗函数：机械损耗函数：机械损耗函数：机电总损耗函数：机电总损耗函数：emecFFF21单边激励机电装置模型单边激励机电装置模型：l电压的能量表达：电压的能量表达：22单边激励机电装置模型单边激励机电装置模型：l力的能量表达：力的能量表达：23单边激励机电装置模型单边激励机电装置模型：l运动方程：运动方程：24l总能量：

6、总能量：总动能总动能总动共能总动共能总位能总位能25l定义拉格朗日函数：定义拉格朗日函数：l广义坐标和广义速度定义：广义坐标和广义速度定义：广义坐标广义坐标q ：x 等等广义速度广义速度 ：i， 等等广义驱动力广义驱动力Qq q x 26l运动方程统一形式：运动方程统一形式：q 27l线性系统：线性系统：总动能总动共能总动能总动共能l保守系统：保守系统：总损耗总损耗0；广义驱动力广义驱动力0拉格朗日方程：拉格朗日方程：q 28非保守系统非保守系统(普遍形式普遍形式)：q 广义惯性力广义惯性力广义惯性力以广义惯性力以外的保守力外的保守力保守力保守力非保守力非保守力广义阻力广义阻力（损耗力）（损耗

7、力）外来驱外来驱动力动力物理意义：物理意义：系统在动力平衡时，作用在每系统在动力平衡时，作用在每一个广义坐标上的广义力总和一个广义坐标上的广义力总和0 029l动态耦合电路法：动态耦合电路法：关于系统微增变化的方程，以关于系统微增变化的方程，以“微微分原理分原理”作为出发点；作为出发点；物理意义比较清楚，易于理解物理意义比较清楚，易于理解;对多变量的机电系统，需要有较高对多变量的机电系统，需要有较高的见解和判断力。的见解和判断力。30l变分原理法：变分原理法：步骤单一和系统化；步骤单一和系统化；自动地导出机电耦合项；自动地导出机电耦合项；适合于解决复杂系统的难题；适合于解决复杂系统的难题；缺点

8、是缺点是难以洞察物理过程和物理意义难以洞察物理过程和物理意义。31l动力系统：动力系统：u即时状态可由坐标和速度描述；即时状态可由坐标和速度描述；u每个质点或元件最多有每个质点或元件最多有3个自由度个自由度;u广义坐标应为独立坐标广义坐标应为独立坐标;u完整的约束中，广义坐标的个数为系统的完整的约束中，广义坐标的个数为系统的自由度数。自由度数。32u所有的广义坐标独立所有的广义坐标独立u完整约束的运动系统，即自由度数广义完整约束的运动系统，即自由度数广义坐标的个数坐标的个数 只能用于真实坐标系统。只能用于真实坐标系统。3334l动力变量：动力变量：u广义坐标广义坐标qk和广义速度和广义速度 （

9、或广义动量）（或广义动量）kq 电系统电系统35l系统总动共能：系统总动共能：其中：其中：线性情线性情况况jiiimecxmT1221jiiijiiiimidiWi1002136l系统总位能：系统总位能：其中：其中：线性情线性情况况37l普遍形式：普遍形式：为广义坐标、广义速度和时间函数为广义坐标、广义速度和时间函数线性情线性情况况38l应用拉格朗日函数特点应用拉格朗日函数特点从能量观点处理机电双方的相互作用从能量观点处理机电双方的相互作用方法单一，过程简单方法单一，过程简单自动导出机电耦合项自动导出机电耦合项39l应用拉格朗日函数步骤应用拉格朗日函数步骤（1）根据系统的约束条件，选择）根据系

10、统的约束条件，选择广义坐标广义坐标和和广义广义速度速度；（2）确定）确定总损耗函数总损耗函数F或或广义损耗系数广义损耗系数Rk，列出，列出外来外来广义驱动力广义驱动力；（3）动力变量表示系统的）动力变量表示系统的总动共能总动共能T和和总位能总位能V，并写出并写出拉格朗日函数拉格朗日函数；（4）将上述结果代入）将上述结果代入拉格朗日方程拉格朗日方程，求导求导后可得后可得到到N个运动方程式。个运动方程式。40 应用拉格朗日函数建立如图所示的机应用拉格朗日函数建立如图所示的机电系统的运动方程。电系统的运动方程。41 分析问题：分析问题：单边激励机电装置选择动力变量l电系统：线圈电荷q为广义坐标，电流i为广义速度l机械系统：动铁的位移x为广义坐标，运动速度为广义速度421. 确定系统的广义变量和驱动力432. 确定系统拉格朗日函数l总损耗函数：l 总动能：l 总位能：l拉格朗日函数：443. 代入