线性代数方程组

1、第三章第三章 线性代数线性代数 方程组方程组第一节第一节 矩阵的秩矩阵的秩第二节第二节 线性代数方程组的解线性代数方程组的解 第三节第三节 向量的线性相关与线性无关向量的线性相关与线性无关第四节第四节 线性方程组的结构线性方程组的结构3.1.1 矩阵的秩的概念3.1.2 秩的计算 3.1.1 3.1.1 矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念 定义定义1 1 对于mn矩阵A，称其一切非退化方子矩阵的最高阶数k为A的秩秩(rank)，记作r(A)，并规定r(0)=0.例例1 1 求下面矩阵的秩：026328421421A因为矩阵没有4阶子式，则r(A)4;矩阵A的第1、2行是对应成比例的，而A的任一个3阶

2、只是必然同时含有A的第1和第2行的部分，按行列式的性质知A的任一3阶子式皆等于零，故r(A)3； 并且有2阶子式 所以r(A)=2.03031134311413aaaa矩阵的秩的一些相关性质若发现A有一个非零k阶子式，则必有r(A)k.而在r(A)=k时，表明A又非零的k阶子式，但并不说明A的k阶子式均不为零，然而可以断定一切高于k阶(如果存在的话)的子式必为零.若A是mn矩阵，则必有 r(A)min(m,n) r(A)=r(A)当且仅当A是零矩阵时，r(A)=0.若A是n阶矩阵，则r(A)n，当且仅当det(A)0时， r(A)=n，故也将行列式不为零的矩阵（非退化矩阵）称为满秩阵，满秩阵，

3、并称退化阵为降秩阵降秩阵. .3.1.2 3.1.2 矩阵秩的计算矩阵秩的计算定义定义2 2 称满足以下两个条件的mn矩阵为梯矩阵： 1. 第k+1行的首非零元（如果有的话）前的零元个数大于第k行的这种零元个数(k=1,2,m-1). 2. 如果某行没有非零元，则其下所有行的元全为零.行最简形式行最简形式 一个矩阵的非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0. 例例2 2 对A进行行初等变换化为行最简形式B：解：解： BArrrr000003100030110401010000031000011104121100000930000222041211) 1(),1()31(),

4、21(322132定理定理1 1 任一mn矩阵A经有限次行初等变换后秩不变.推论推论1 1 任一mn矩阵A经有限次列初等变换后秩不变.推论推论2 2 设A是任一mn矩阵，而B是m（或n）阶满秩阵，则必有r(BA)=r(AB)=r(A).推论推论3 3 若已知任一mn矩阵A的标准形分解 A=PNQ 其中N= ，则必有r(A)=r（即为单位阵 的阶数）. 000rIrI定理定理2 2 任一mn矩阵A必可通过有限次行初等变换而化成梯矩阵.例例3 3 对矩阵 用行初等变换法将其化成梯矩阵.222110100220100110111110111000A解：解：BArrrrrrr 000000000000

5、100000111000111110111000222000211000111000111110222110100220100110111000111110) 1(),2(),1() 1(),2(),1 (25242315141312 根据定理1，从最后的梯矩阵B可以看出矩阵A 的秩，即r(A)=r(B)=3.计算矩阵的秩的方法：计算矩阵的秩的方法：求一个与A等价的梯矩阵，然后数出该梯矩阵的非零行的行数而观察得到r(A).第二节第二节 线性代数方程组的解线性代数方程组的解3.2.1 齐次与非齐次线性方程组相容性的判定定理3.2.2 齐次与非齐次线性方程组求解步骤与举例 3.2.1 3.2.1

6、齐次与非齐次线性方程组齐次与非齐次线性方程组 相容性的判定定理相容性的判定定理定理定理3 3 n元线性方程组Ax=b（1）无解的充要条件是r(A)r()；（2）有惟一解的充要条件是r(A)=r()=n；（3）有无限多解的充要条件是r(A)=r()n.3.2.2 3.2.2 齐次与非齐次线性方程组的齐次与非齐次线性方程组的 求解步骤与举例求解步骤与举例1. 对于非齐次线形方程组，把它的增广矩阵化成阶梯形，从的行阶梯形可同时看出r(A)和r().若r(A)r()，则方程组无解.2. 若r(A)=r()，则进一步把化成行最简形式.而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简形式.3. 设r(A)=

7、r()=r，把行最简形式中r个非零首元所对应的非零元对应的未知数取作非自由未知量，其中n-r个未知量取作自由未知量，并令自由未知量分别等于 ，由（或A）的行最简形式，即可写出含n-r个参数的通解.rnccc,21例例1 1 求解非齐次线性方程组解：解：对增广矩阵实行行初等变换，0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx111764076401311041895143131311) 1(),3(1312rrA04/1100004/72/3101311)41(),1 (223rr04/14/500004/72/3104/32/311) 1(21r4433432431414

8、723454323xxxxxxxxxx即得亦即通解为定理定理4 4 （1）线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(A)=r(A|b)； （2）n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是r(A)n. ).,( ,004/14/5104/74/13012/32/321214321Rccccxxxx第三节第三节 向量的线性相关向量的线性相关 与线性无关与线性无关3.3.1 概念3.3.2 性质3.3.3 向量组的秩3.3.4 矩阵的行秩与列秩 3.3.1 3.3.1 向量的线性相关与线性无关的向量的线性相关与线性无关的概念概念定义定义3 3 对给定的一组k个向量 ，若存在不全为零的数 ，使成立 称

9、这k个向量（或该向量组）是线性相关的线性相关的；相反，当且仅当 时上式才成立，则称它们是线性无关的线性无关的.k,21k,2102211kk021k例例1 1 已知向量 线性无关，而试证向量 亦线性无关. 解：解：从定义出发，考察由于 321,313322211321,0332211)()()(313322211332211332221131)()()(成为由 线性无关，可推出对这个齐次方程组，因系数行列式可推出必有 ，故 亦线性无关.0)()()(332221131321,000322131021100111010321321,3.3.2 3.3.2 性质性质定理定理5 5 向量组 线性相关

10、的充要条件是其中至少有一个向量可依其余向量线性表示（k2）.定理定理6 6 若已知向量 线性无关，而加上向量 后，向量 ，成线性相关，则向量 必可由 线性表出，且表出式是惟一确定的. k,21k,21,21kk,21性质性质1 1 对一组给定向量 ，若将其每个向量 都删去若干具有相同序号的分量，形成一组“截短”向量 ，则当 线性无关时，原向量 必线性无关.性质性质2 2 一组线性无关向量的任一部分组必线性无关.性质性质3 3 给定一组向量 ，若对其每个向量 ，都添加、插入若干同序号的分量，形成一组“加长”向量 线性相关时，原向量 必线性相关.k,21ik,21k,21k,21k,21ik,21

11、k,21性质性质4 4 具有线性相关部分向量组的任一组向量必是线性相关的.性质性质5 5 含有零向量的任一组向量必是线性相关的.性质性质6 6 当nk时，k个n维向量 必线性相关.k,21：确定向量 的线性相关性，相当于确定以 为系数矩阵的齐次线性方程组是否有零解；确定向量 能否由 线性表出，相当于讨论非齐次线性方程组 的相容性.k,21kA,21k,21kkxxx22113.3.3 3.3.3 向量组的秩向量组的秩定义定义4 4 称给定一组向量 之具有如下两条性质的部分组 ，为最大线性无最大线性无关关( (部分部分) )组组：（1）线性无关；（2）每个向量 皆可由其线性表示.例例2 2 求向

12、量组 的一个最大线性无关组.k,21irii,21k,21TTTTT) 4 , 6 , 5 , 4 (,) 1 , 2 , 1 , 1 (,) 4 , 3 , 4 , 3 (,) 2 , 1 , 1 , 1 (,) 0 , 1 , 2 , 1 (54321解：解：设 ，对A进行行初等变换化为阶梯形矩阵：),(54321A 00000210003121041311210002100031210413114142021000312104131141420623115141241311) 1 ()2() 1(),2(34241312rrrrA 向量组的三个非零行的第一个非零向量分别位于第1、2、4列

13、，故 为向量组的一个最大无关组.421, 0000021000102101010100000210001021020311) 1() 1(),1(213231rrr定义定义5 5 若 是给定向量组 的一个最大线性无关组，则称该最大线形无关组所含向量的个数r为给定向量组的秩向量组的秩.等价向量组等价向量组：对给定的两组向量，若前一组的每个向量皆可由后一组向量线性表出，同时，后一组的每个向量也可由前一组向量线性表出，就称这两组向量等价等价.k,21irii,213.3.4 3.3.4 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩定义定义6 6 对mn矩阵， 分别称列向量组 及行向量组 的秩A的列秩与行秩，分别

14、记作 及 .TmTnaaaaA11,naa,1TmTaa,1)(ArC)(ArR定理定理7 7 设A是任一mn矩阵，则其列秩 必等于A的秩r(A)；行秩 必也等于A的秩r(A)，即有 = =r(A)(ArC)(ArR)(ArC)(ArR第四节第四节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构3.4.1 齐次线性方程组3.4.2 非齐次线性方程组 3.4.1 3.4.1 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组解的性质性质：1.两个解的和还是方程组的解；2.一个解的倍数还是方程组的解；3.解的线性组合还是方程组的解.定义定义7 7 齐次线性方程组Ax=0的一组解 称为Ax=0的一个基础解系基础解系，

15、如果：1）Ax=0的任一个解都能表成 的线性组合；2） 线性无关.定理定理8 8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n-r，这里r表示系数矩阵的秩（n-r也就是自由未知量的个数）.t,1t,1t,13.4.2 3.4.2 非齐次线性方程组非齐次线性方程组若把一般线性方程组Ax=b的常数项换成0，就得到齐次线性方程组Ax=0则方程组Ax=0称为方程组Ax=b的导出组导出组非齐次线性方程组解的性质性质：线性方程组Ax=b的两个解的差是它的导出组Ax=0的解；线性方程组Ax=b的一个解与它的导出组Ax=0的一个解之和还是这个线性方程组的解定理定理 如果 是方

16、程组Ax=b的一个特解，那么方程组的任一解都可以表成 = +（其中是导出组Ax=0的一个解）.推论推论 在方程组Ax=b有解的条件下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组Ax=0只有零解.例例1 1 用基础解系表示下面线性方程组的通解. 00433546622033225432154315432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：解： 对增广矩阵施行行初等变换（1）求非齐次方程组的一个特解 . 与B对应的非齐次方程组为：BArrrrrr 004600000000005111062201004200000000005111011111444251110111105111011111460213354622013113211111) 1() 1(, ) 1 ()4(, ) 1(, )2(2124231413120