241平面向量数量积的物理背景及其含义（1）

1、数乘向量运算律数乘向量运算律1. ()()aa 2.()aaa3. ()abab两个向量的夹角的范围：两个向量的夹角的范围：(0180 ) 我们学过功的概念，即一个物我们学过功的概念，即一个物体在力体在力F F的作用下产生位移的作用下产生位移s s（如图）（如图）F F由此引入向量由此引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。功是功是标量标量|cosWFSS S一一、向量数量积的定义：向量数量积的定义：aOAbB1B1|cosOBbba在 方向上的投影|cosa bab叫 与 数量积a b 即a b 记作（也叫内积）（也叫内积）(),ab a b 两种错写|a求向量数量积的步骤：求向量数量积的步

2、骤：1.求两个向量的模（长度）求两个向量的模（长度）2.求两个向量夹角求两个向量夹角及及coscos3.向量的数量积（内积）向量的数量积（内积）ab00a 规定: 向量的数量积是一个数量，那么向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？它什么时候为正，什么时候为负？|cosa ba b OabBAOabBAabABO1B1A大于零大于零等于零等于零小于零小于零(0,0)ab 1.ababa b 例已知|=5,|=4,与的夹角 =120 求15 4 ()102a ba b 解:| cos =5 4 cos120CB60。58A2.,5,8,6ABCabCBC CA 已知中0 求1.

3、pqpqp q 已知| |=8,|=6, 与 的夹角 =60 求答：答：24241C答：答：-20-20课内练习：课内练习：(1)0aba b(2)| |;aba ba b当 与 同向时，| |;a ba ba b (4)当 与 反向时，2(3)|a aa aaa |或2a(5)cos|a ba b(6) | |a bab(0,0ab )|cosa ba b cos18 0cos 0cos 0cos9 0|cos| 1OAB ab1A1B 在在 上投影上投影ab 在在 上投影上投影ab的长度 aa的长度 aa练习一练习一221.00000,0,00,05.0,0aba baba baa bba

4、 ba baa bb caca ba cbcaaaa 若 = ,则对任一向量 ,有2.若,则对任一非零向量 ,有3.若则4.若则中至少有一个为若,则6.若则,当且仅当时成立.7.对任意向量 有1.| 8,3;aeaea e 已知为单位向量,当它们的夹角为时,求 在 方向上的投影及2.90ababa b 已知|=2,|=3,与 夹角为则1,3,ababa b3.若、 共线,则403或或34.3,4,6,mnm nmn 已知则 与 夹角为6060二、平面向量的数量积的运算律：二、平面向量的数量积的运算律：其中，其中，cba、是任意三个向量，是任意三个向量，R()()a bcab c(1)a bb

5、a(2)()()()aba bab(3)()abca cb c (3)()abca cb c aAbB1A1BcC1CO例例 2：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.(ab)a(ab)ba22abb2.aabaabbb证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.例例 2：求证：求证：证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.解解: : 22632bbaababa022cos6 4 cos601236,16a ba bab 且 2336 126 167

6、2abab 602 ) (3 ).abababab 例3已知与 的夹角为 =,求(.| 3,| 4,abkakbakb例4已知当且仅当 为何值时，向量与互相垂直？ 0bkabkabkabka互相垂直与解解: :222bkabkabka又2222169kbka43k)(,2432, 1|1cbacabacbakbakbababa求证：是非零向量，且、设的值。互相垂直，求也与且、若K=6ABCO3、直径所对的圆周角为直角。、直径所对的圆周角为直角。ab(1).,.OCa OBb 选取基底:(2).,ACab BCab 用基底表示所需向量:(3)用内积证明结论:() ()0AC BCabab A AD DA A52B B5 351 1、向量的数量积