反比例函数常见几何模型

1、反比例函数常见模型一、知识点回顾1.1. 比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k (kw。.其解析式有三种表示方法：x小 ki y (k 0)； y kx (k 0)； xy k x k2.反比例函数y=- (kw。的性质x(1)当k>0时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y随x的增大而减小.(2)当k<0时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y随x的增大而增大.(3)在反比例函数y= k中，其解析式变形为 xy=k ,故要求k的值(也就是求其图像上 x一点横坐标与纵坐标之积).(4)若双曲线y=K图像上一点(a, b)满足a, b是方程Z24

2、Z 2=0的两根，求双x曲线的解析式.由根与系数关系得 ab=-2,又ab=k,，k=2,故双曲线的解析式是 y=2 .x(5)由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和 x轴，y轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势.二、新知讲解与例题训练模型一：如图，点A为反比例函数y -图象上的任意一点，且 AB垂直于x轴，则有 S oab 四 x2例1：如图Rt ABC的锐角顶点是直线y=x+m与双曲线S aob 3 , (1)求m的值 (2)求 ABC的面积y=m在第一象限的交点，且变式题1、如图所示，点 Ai,A2,A3在x轴上，且OA产AA2= A2A3,分别过

3、A,A2,A作y轴平行线，与反比例函数 y= 8 (x>0)的图像交于点Bi, B2,B3,分别过点Bi,B2, B3作x轴的平行 x，y 一-I1,-I2 、 如图，点A在双曲线y 一上，点B在双曲线yx若四边形ABC型矩形，则它的面积为可443 .一 ,，-一上，且 AB/ x轴，C D在x轴上,x线，分别与y轴交于点Ci,C2,C3,连结OBi,OB2,OB3,那么图中阴影部分的面积之和为模型二：.一一k如图：点A、B是双曲线y - (k 0)任息不重合的两点， 直线AB交x轴于M点，交y x轴于N点，再过 A、B两点分另作 AD y轴于D点，BF X轴于F点，再连结 DF两-9

4、-k例2：如图，一次函数 y ax b的图象与x轴，y轴交于A, B两点，与反比例函数 y x的图象相交于C, D两点，分别过C, D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为 E, F,连接CF, DE.有下列四个结论： S cef S def ； AOB相似于 FOE ;DCECDF； AC BD其中正确的结论是.(把你认为正确结论的序号都填上)例3： 一次函数y ax b的图象分别与x轴、y轴交于点M , N ,与反比例函数y E的 x图象相交于点 A, B.过点A分别作AC x轴，AE y轴，垂足分别为 C,E；过点B分另ij作BF x轴，BD y轴，垂足分别为F, D, AC与BD交于点K ,连

5、接CD .k(1)若点A B在反比仞函数y 的图象的同一分支上，如图 1,试证明:SI边形CFBK(2)若点A B分别在反比例函数y k的图象的不同分支上，如图 2,则AN与BM还 相等吗？试证明你的结论.图1图2模型三：k如图，已知反比例函数 y (kwQ x>0)上任意两点P、C,过P做PA，x轴，交x轴于点A,过C做CD，x轴，交x轴于点D,则SOPC S弟形PADC.O A D xk2，a 、y=kix+b的图象与反比例函数 y 二的图象交于例4:如图，在直角坐标系中，一次函数A(1,4)、B(4, 1)两点，则 9OB的面积是例5：如图，在直角坐标系中，一次函数y k1x b的

6、图象与反比例函数 y &的图象交x于A (1,4)、B (3, m)两点，则 那OB的面积是 .1k例6：如图1,已知直线y 1x与双曲线y k(k 0)交于A、B两点，且点A的横坐标 2x为4.(1)求k的值；k .(2)如图2,过原点O的另一条直线l交双曲线y (k 0)于C、D两点(点C在第一 x象限且在点A的左边)，当四边形ACBD的面积为24时，求点C的坐标.模型四：在矩形AOBC中，OB=a, OA=b,分别以OB, OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.F是BC上的一个动点(不与 B、C重合)，过F点的反比例函数y k(x 0)的图象与AC边交于点E,则

7、2E - xCF bk 1 k例7:两个反比例函数 y 1和y 在第一象限内的图象如图所示，点P在y7的图象1 1上，PC，x轴于点C,父y 的图象于点A, PD，y轴于点D,交y 的图象于点B,k .当点P在y 的图象上运动时，以下结论： xAODB与4OCA的面积相等；四边形PAOB的面积不会发生变化；PA与PB始终相等；当点A是PC的中点时，点B 一定是PD的中点.其中一定正确的是 (把你认为正确结论的序号都填上)课堂练习、选择题1、已知 m<0,则函数 y1 mx与y2m的图像如图，大致是( xA.2、如图，点A在双曲线yA作AC x轴，垂足为c, 于B,则ABC的周长为(A.

8、2 7C.4 7B.C.6,一 ，一一上，且OA=4,过点xOA的垂直平分线交 OC)B.5D. 22.一 .一 k .3、如图，双曲线y (k>0)经过矩形 xODBC的面积为3,则双曲线的解析式为(OABC的边BC的中点E,交AB于点D,若梯形)题34、如图，A,B是函数y的面积记为S,则S (A.S=2题4-的图像上关于原点对称的任意两点,x)B.S=4C.2<S<4题5BCx 轴，AC/y 轴，ABCD.S>45、如图所示，等腰直角三角形 ABC位于第一象限,AB=AC=2 ,直角顶点 A在直线y=x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边 AB, AC分别平行于

9、x轴，y轴，若双曲线y=E (kO)x与ABC有交点，则k的取值范围是()A. 1<k<2 B, 1wkW3 C. 1wkW4 D. 1< k<4二、填空题131、如图，点 A在双曲线y 上，点B在双曲线y 上，且 AB/ x轴，C、D在x轴上，若四边形ABC型矩形，则它的面积为DCx|。一，一一 一2,2、如图，双曲线y (x 0)经过四边形OABC勺顶点A、 xx轴正半轴的夹角， AB/ x轴，将 ABC沿AC翻折后得到边形OABC勺面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，在第一象限，过点 A的双曲线为y=",在x轴上取一点P, x

10、KC, / ABC= 90 ° , OC平分 OA与AB C, B，点落在OA上，则四B (2, 0) , / AOB= 60 ,点 A 过点P作直线OA勺垂线l ,以直线l为对称轴，线段 OB经轴对称变换后的像是(1)当点O与点A重合时，点P的坐标是(2)设P (t, 0),当O B'与双曲线打交点时，r l一 工d bO B'.t的取值范围是4、如图，已知双曲线k . .一(k 0)经过直角三角形 OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB x相交于点C.若点A的坐标为(6 , 4),则 AOC的面积为5、双曲线yi、y在第一象限的图像如图，yi第17您图”x过yi上

11、的任意一点 A ,作X轴的平行线交y2于B ,交y轴于C ,若S aob 1 ,则y2的解析式是 -12 -课后习练, 八、k=xP到原点的距离OP二、填空题1、如图，直线 y=kx (k>0)与双曲线 y=3交于A (xi, yi) , B (x2, y2)两点，则 2xiy2x点 P (a, b),且a, b是方程t24t 2=0的两个根，则3、已知双曲线xy=1与直线y= x+Jb无交点，则b的取值范围是4、反比例函数y=k的图像经过点P (a, b),其中a, b是二次方程x2+kx+4=0的两个根，那么点xP的坐标是5、如图，已知双曲线y k(k>0)经过直角三角形 OAB斜边OB的中点D,与直角边A