第二二重积分的计算法ppt课件

1、第二节第二节二重积分的计算法二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分0),( d),( yxfyxfD二重积分的计算bxaxyxD ),()( 21积分区域.),( d),( 的曲顶柱体的体积为顶为底，曲面以的值等于yxfzDyxfD二重积分的几何意义:),()(),(., :0020100边梯形，其面积为为曲边的曲为底、曲线间得到截面是一个以区这个平面截曲顶柱体所面的平面作平行于上任取一点在区间求截面积方法yxfzxxxxyOzxba)()(000201d),()(xxyyxfxA)()(21)d()( , xxyx,yfxAyOzx

2、baxbxa所得的截面的面积为面的平面，截曲顶柱体于且平行上的任一点，过为，一般地体积的计算方法数求分中，已知截面积的函曲顶柱体的体积用定积 baxxbaxyx,yfxxAVd)d()d()()(211)( dd),(d),()()(21baxxDxyyxfyxf 上式的右端的积分也叫做先对y、后对x的二次积分.也常记作 )(1 d),(dd),()()(21xxbaDyyxfxyxfdycyxyD ),()( 21为积分区域其面积为曲边的曲边梯形为为底，曲线截面是以区间得到截面，此截曲顶柱体作平面设求图中截面积方法,),()(),(, :0020100yxfzyyyydcy)()(00020

3、1d),()(yyxyxfyA)( )( 21)d()( , yyxx,yfyAxozydcydyc所得截面的面积为面的平面，截曲顶柱体于且平行上的任一点，过为，一般地，dcyydcyxyxfyyAVdd),()d()()(21 曲顶柱体的体积用定积分中，知截面积的函数求体积的方法计算(2) dd),()d()()(21dcyyDyxyxfx,yf 上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作 2 d),(d)d()()(21dcyyDxyxfyx,yf 二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关键. .(1) 的边界相交不多于两点轴的直线与行于内部且平型域，特点是穿过中积分域

4、为公式DyDX . )2( 的边界相交不多于两点轴的直线与平行于内部且穿过型域，特点是中积分域为公式DxDY .)( 二重积分的和分就是这些小区域上的上的二重积型域，区域型域或每个小区域都是分成几个小区域，使的直线将区域轴或平行于轴于型域，可用平行型域，也非若积分区域既非DYXDyxYX.2 02)2(;1) 1 (. )( d),( 122围成的区域在第一象限及直线轴、圆是由围成的区域及轴、是由写出两种积分次序为二次积分化二重积分例yxxyxxDxyyyDyxfDDyxfd),() 1 ( 解：101d),(dxyyxfxyxyxfy010d),(d21201020d),(d d),(d d

5、),()2(2xxxDyyxfxyyxfxyxfyyxyxfy211102d),(dxxxxxyyxfxyyxfxyyxfx12140214110d),(d2)( d),(dd),(d1)( . 2222次序分的分区域，并交换累次积画出下列累次积分的积例如下图的图形由此可得区域，解, 4021| ),( 41 , 10| ),() 1 ( :22221DxyxyxDxyxxyxD2140104140214110222222d),(dd),(d d),(dd),(dyyyxxxxyxfyxyxfyyyxfxyyxfx划分积分区域如图. 1, 21 | ),( :)2(如下图积分区域区域为由原累次

6、积分可知积分DxyxxyxD 假设将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,那么其积分区域如以下图2212112121212d),(dd),(d d),(d yyxxyxfyxyxfyyyxfx交换积分次序为 计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定. .21,d 3所围成的闭区域及、是由直线其中计算例xyxyDxyD ) 1 (:积分区域如图解法解 21 1d ddxyxyxyxD2132112d)22(d2xxxxyxx811482124xx积分区域如图解法)2( 212d ddyxxyxyyD8

7、1182142yy213d)22(yyy2122d2yxyy.1010 ,dde 4围成的矩型和、由是其中区域计算二重积分例y y xxDyxDyx 1010ddee dde:xyxyyxDyx解1010de e xyx210) 1e (d) 1e (exx.1,d3 5222的闭区域所围成的在第一象限内轴和抛物线轴、是由其中计算例xyyxDyxD10102222dd3 d3:2xyyxyxxD解101032d2xyxx31516d)1 (10322xxx.dd3d3,10102222积分运算比较困难则有积分后对积分如果先对yxyxyxyxyD.03 0321,dd)2( 6围成的图形和、是由

8、直线其中计算二重积分例yxyxyDyxyxD(0,3) 03 032 :交点解yxyxyyDxyxyyxyxyx3)3(2131d)2(d dd)2( ,) 1 (积分后对积分先对解法3d| )(313)3(212yxyxyy, ,)2(积分后对积分先对解法xy20312013212d| )22(d| )22(xyxyxyxyxxxxDyyxxyyxxyxyx312032101d)2(dd)2(d dd)2(3d 21)3(21) 1(32 d21)32(21) 132(2202012xxxxxxxx. 2,d 72所围成的闭区域及直线是由抛物线其中计算例xyxyDxyD212ddd:2yxx

9、yxyyyD解21-22d22yyxyy855d)2(2121-52yyyy.dddd ddd2411021显然这样计算比较麻烦xyxyxyxyxyxyxyxxxxDDD 例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体的体积. 222222 , :RzxRy xR，两个圆柱面的方程为设圆柱的底半径为解它们在第一象限的图形如下DxRVd221313168RVV于是它的顶是柱面它的底为看作一个曲顶柱体立体在第一卦限部分可,0 ,0| ),( .2222xRzRxxRyyxDRxxR022d)(332RxyxRRxRd002222xyxRRxRd d002222. 1 , 0)(d)()ee (d

10、)(ed 9101002上的连续函数是，其中证明例xfxxfxxfyxyy交换积分次序积分区域证明 0 , 10| ),(:yxyyxD101101d|e )( d)(ed22xxfyxfxxyxy左边右边10d)ee)(2xxfxniiiiDfyxf10),(limd),(由二重积分的定义知二、利用极坐标系计算二重积分iiiiiiiiiiiiirrrrrrrr_22)2(21 21)(21niiiiiiiiniiiirrrrff1_010)sin,cos(lim ),(lim素为极坐标系中的面积元ddrrDDDDrrrrfyxx,yfrrrrfyxfdd)sin,cos(d)d( dd)si

11、n,cos(d),( 即：或： sin ,cos_iiiiiirr极坐标与直角坐标之间的关系 由极点与积分区域的位置，可分为三种情况讨论. dddd sin cosrryxryrx 把二重积分中的变量从直角坐标转换为极坐标，那么有 ) 1 (积分区域为极点在积分区域之外， ),()( 21rDrrrrfdd)sin,cos(dd)sin,cos()()(21rrrrf为积分区域极点在积分区域边界D,)2( ),(0rDrrrrfdd)sin,cos(dd)sin,cos()(0rrrrfD积分区域为极点在积分区域内,)3(20 ),(0rDrrrrfdd)sin,cos(20)(0dd)sin

12、,cos(rrrrfd)()(21 ddddd :(3)2122)()(D21rrrrDD为的面积区域由二重积分性质)()( , 0)( :21对于如右图的面积为d)(21 2.02 ,d),( 1022所围在第一象限部分及为的二次积分化二重积分为极坐标下例yxyyxDyxfD4 ,sin2 0222的极坐标方程方程为的极坐标解：yxryyxsin2040d)sin,cos(d d),(rrrrfyxfD22d),(d . 1110 xxxxyyxfx坐标下的二次积分化二重积分为极例10 , | ),( 22xxxyxxyxD解：积分区域22cos0d)sin,cos(drrrrf原式.dde 1222的圆周所围成的闭区域为是由中心在原点，半径，其中计算例aDyxDyx200 :，表示为积分区域解arDDyxyxdde22Drrr