振动理论及应用期末复习题题题库_西南交通大学

1、如08年振动力学期末考试试题第一题(20分)1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量mi,匀质杆AB的质量m2,长为L,匀质轮O的质量m3,弹簧的刚度系数ko当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y=0,此时系统的势能为零。AB转角：邛=y/L系统动能：12mi动能：T1=m1y2£系统势能:m2动能:m3动能:1_211_2-211_2T2=_J22=(m2L)=(m2L2232321/1、2二二(二m2)y23.1.21,1-2T3=-J3,3=一(一m3R2

2、2221J、2=-(-m3)y22、，J、1、2V=-mgym2g(二y)-k(-y)222在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：1,11、211,1、2TV=(m1m2m3)y-m1gym2gyk(y)=E232222上式求导，得系统的微分方程为：k匚yy=Ey11y4(m1m2一m3)32固有频率和周期为:14(1+-m2+*)2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计Vt轮A,绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解：

3、系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x=0,此时系统的势能为零。12物体B动能：T1=一m2x21.1.轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为vc=_x,角速度为0=x,转过的角度22R、，.1为g=x。轮子动能：2R121211211212132T2=一mVcJ'二m1(x)一(一m1R)(2x)=(mx)2224224R228系统势能：12121V=kx：=k(uR)2=k(2222R2k2xR)=x8在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有:_13ml2TV(1m2)x228上式求导得系统的运动微分方程：2k

4、xx=03ml8m2-x2=E8固有频率为：第二题（20分）1、在图示振动系统中,弹簧的刚度系数均为2k3ml8m2重物质量为m,外壳质量为ko设外壳只能沿铅垂方向运动。2m,每个采用影响系数方法：（1）以2和x2为广义坐标，建立系统的微分方程;（2）求系统的固有频率。解：系统为二自由度系统。Ttt有:有:当xi=1,x2=0时,当x2=1,x2=1时,因此系统刚度矩阵为：k11=2k,k21=2kk22=4k,k12=2k.-:k-2k14k系统质量矩阵为:m,002m系统动力学方程为:2k-2kxi-0102mx2_12k4k1x2Q频率方程为:22k-m-2k2-2k4k-2m2解出系统

5、2个固有频率:co1=(2-2),co2=(2+*,12)mm2、在图示振动系统中，物体A、B的质量均为m,弹簧的刚度系数均为k,刚杆AD的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1）以Xi和X2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。解：系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅垂方向的位移Xi和X2为系统的广义坐标。当x1=1,x2=0时，AD转角为日=1/3L,两个弹簧处的弹性力分别为kQL和2k8L。对D点取14.力矩平衡，有：k11=kL；另外有k21=kL。9同理，当x2=1,x2=1时，可求得：Dk22kL，k12=kL因此

6、，系统刚度矩阵为：14kL9kL-kLkL系统质量矩阵为:01系统动力学方程为:14IkL9-kL-kLkL频率方程为:即:第三题（20分）1K114kL2一m9kL-"kL2kL-m_24_222_9m-23kmL5kL=0在图示振动系统中，已知：物体的质量m1、采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若k1=k3=k4=k°,又k2=2k°,求系统固有频率；（3）取k0=1,m1=8/9,m2=1,系统初始位移条件为x（0）=9和x2（0）=0,初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统。当x1=1,x2=0时，有

7、：k11=k1+k2+k4,k21=k2m2及弹簧的刚度系数为k1、k2、k3、k4。（1）vwwx1x2当x2=1,x2=1时，有：k22=k2+k3,k12=k2。因此，系统刚度矩阵为:kik2k4_-k2-k2k2k3系统质量矩阵为:系统动力学方程为:（2）当ki=k3=k4=%,k2=2ko时，运动微分方程用矩阵表示为:"mi0p+4k。-2k°/1=-0|，0m2J>2J'-2ko3koJ>2J-i0J频率方程为：(4k0-m12)(3k0-m22)4k；=0422m1m2'-(3m14m2)k0，：)-8k0=0求得：；=0(3mi4

8、m2-9m-8m)m216m；)2mlm22.2k02mlm2(3m14m2-9m12-8mlm216m2)(3)当=1,m1=8/9,m2=1时，系统质量阵:一8M=9.0系统刚度阵:固有频率为:主模态矩阵为:主质量阵:主刚度阵:一3_3=42J1一一3hT,hMn=M=2p9-T-Kp=K=4一018模态空间初始条件:%2（0）1%2（0）1-45二x1（0）=°_q2（0）X2（0）_0模态响应:,22q1+81q=0,q2+82q2=0即：q（t）=4cos«1t,q2（t）=-4cos«2t因此有:3cos1t+6cos®2t；4cos61t4

9、cos«2t第四题（20分）一匀质杆质量为m,长度为L,两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为灯和k2。杆质心C上沿x方向作用有简谐外部激励sin6t。图示水平位置为静平衡位置。（1）以x和8为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12,L=1,ki=1,k2=3,求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率8为多少时,能够使得杆件只有6方向的角振动，而无x方向的振动？解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选刚杆的角位移，如图示。当x=1、日=0时：x、6为广义坐标，x为质心的纵向位移，日为当x=0、日=1时:kn=k1+k2,k21=

10、（k2k1）L2LL2"=出-k1）一，k22=（k1k2）2421k11kn*k21k2因此，刚度矩阵为:k1rL2质量矩阵为:系统动力学方程:"m01mL212(2)当m=12,频率方程为:即:求得:k1k2-m0kik2(k2(k2-k1)2(k1+k2)二4101.2mL12万(k1L=,k1=1,k2=3时，系统动力学方程为：；20；0+；41F1=：sin8tl：01M：11JPJJ0.11-o12o-1623=0x、一sin8t，代入上述动力学方程，有:?J一4-12©2LX由第二行方程，解得UX，代入第一行的方程，有:1.2x=2,(4-122)-

11、12二-(4-12.)-1要使得杆件只有e方向的角振动，而无x方向的振动，则需x=0,因此6=1。第五题(20分)如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L,弹性模量为E,横截面对中性轴的惯性矩为I,梁材料密度为P。在梁的a位置作用有集中载荷F(t)。已知梁的初始条件为：y(x,0)=f1(x),y(x,0)=f2(x)。(1)推导梁的正交性条件；(2)写出求解梁的响应y(x,t)的详细过程。(假定已知第i阶固有频率为叫，相应的模态函数为提示：梁的动力学方程为：EI2,、y(x,t)-2+PS-y=f(x,t),Ft2f(x,t)=F(t)6(x-a),5为3函数。解：(1)梁的弯曲振动的动力学方程为：

12、2£旧2二y(x,t)2二y(x,t)ft2y(x,t)可写为:y(x,t)代入梁的动力学方程，有：=(x)q(t)=(x)asin(t二)(EI)=2：S设与明、画对应有小、，有:(EIj)=，"Sj式(1)两边乘以r并沿梁长对x积分，有：上但给曾=叫2在$的乂利用分部积分，上式左边可写为：4(EI幻"dx=*(EI幻'(EI%0十(EI蝉;dx(4)由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以，上式右边第一、第二项等于零，成为：ll0j(EI：)dx=0EIijdx将上式代入(3)中，有：jEIt£dx=%2

13、jPS4仲jdx(5)式(2)乘9并沿梁长对x积分，同样可得到：l2l°EIJjdxh；°：S；jdx由式(5)、(6)得:22162)(PS*i*jdx=0如果i¥j时，为手色,则有：l产触dx=0当i¥j上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由(3)及(6)可得：lTEMaj"dx=0当i#jloj(EIi)dx=0当i=j上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。l2当i=j时，式(7)总能成立，令：PSjdx=MpjMpj、Kpj即为第j阶主质量和第j阶主刚度。由式(6)知有：.2="jMpj如果主振型%(x)中的常数按下列归一化条件

14、来确定：i9JS-2dx=Mpj=1则所得的主振型称为正则振型，这时相应的第j阶主刚度K3为82。pjjl式(9)与(8)可合并写为：ocs,dxn、,飞由式(6)知有：，Eg窖dx：叫",0j(EI的“dx：%2"(2)悬臂梁的运动微分方程为：-4-2二y-yEI4ST=f(x,t):x二t其中：(6)(7)(8)(9)(1)f(x,t)=F(t)6(x-a)(2)令：y(x,t)=工?(x)q)(3)i=1代入运动微分方程，有：Q0盟oOz(EI。/qi+PS£虫q；=f(x,t)(4)i1id上式两边乘P(x),并沿梁长度对x进行积分，有:二L二LL工qi10(Eia)为dx+£q；J0PS6*jdx=J°f(x,t仲jdx(5)i4i4利用正交性条件，可得：，一2qj(t)+6jqj(t)=Qj(t)(6)其中广义力为：LLQj(t)=。f(t)ejdx=j0F(t)6(x-a)*jdx=F(t)*j(a)(7)初始条件可写为：尸oQy(x,0)=f1(x)=S+i(x)q(0)号(8)y(x,0)=f2(x)-«内(0)上式乘以与巧(x),并沿梁长度对x积分，由正交性条件可得：(9)qj(0)=；DSf1(x)j(x)dxL