常见求积分方法总结

1、宜寅学艺YibinUniversity毕业论文（设计）题目常见求积分方法总结系别数学学院专业数学与应用数学学生姓名罗大宏学号120204036年级12级4班指导教师刘信东职称xxx2016年3_月10日常见求积分方法总结作者：罗大宏单位：宜宾学院数学学院12级4班指导教师：刘兴东摘要：微积分是数学分析中的一个重要基础学科，并且微积分中的积分运算是求导的逆运算，它是连接微分学和积分学的枢纽。因此怎样求积分就显得非常重要，本文讲解了常见求积分的几种方法：直接积分法、分部积分法、换元积分法和有理函数积分的待定系数法，掌握了这些方法，将对我们迅速求解积分来说非常重要。关键词：定积分、不定积分、换元积分

2、法、分部积分法、待定系数法引言数学分析是大学数学与应用数学专业必修专业课，而微积分是数学分析的重点，又不定积分是积分学的基础，会影响到后面学习其它的积分，特别是定积分的求解。它的目的是形成一定的思维方法和解决问题的能力。并且不定积分的求解要比导数的求解复杂很多，运用积分的基本公式只能解决一些容易的积分，更多的不定积分要因函数的差别而采用相应的方法。另外，如果我们掌握了求不定积分的方法，那么求解定积分就变得容易。本文我们就对常见求积分方法进行总结，以便帮助我们解决一些实际问题。1 .积分的概念1.1、 不定积分若F&是函数f&应区间I上的一个原函数，则f（x应I的所有原函数F（x

3、）+C（C为任意常数）称为f（X）在区间I上的不定积分。记作Jf（xdx=F（x）十C。其中称为积分号，函数fx麻为被积函数，x称为积分变量，f&dx称为被积表达式，C称为积分常数。另外，求已知函数不定积分的过程就称作对这个函数进行积分。1.2、 定积分设函数f仅近区间a,b!h有定义，在a,b】内任意插入n1个分点：xi,X2，X3,，Xn，aX0，b=Xn,aX0；X1；X2:.x,Xn_1.Xnb,把区间a,b协为n个小区间X0,X1,X1,X2,XkJ，Xk,Xn，Xn,各个小区间的长度依次为X1=X1-X0,.X2=X2-X1，Xn-Xn-Xn，在每个小区间Xi，Xi上任取一

4、点q（寸，iwXi，Xi】），作乘积f（J）AXi（=1,2,.n.）,并作和式nSn=5i：Xi.i1记九=maXX1,AX2,.,Axn1当九t0时，即n无限增大时，Sn的极限如果存在并趋于I,且I与a,b】的分法及。的取法无关，则称此极限I为函数f（x位区间a,b】上的定积分，记作b一.afxdX=lim.二fIrJXi=I.，：0其中符号J叫做积分号，f仅期做被积函数，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b】叫做积分区间.1.3定积分与不定积分的联系定积分的本质是将函数的图象在平面直角坐标系上用与y轴平行的的直线和x轴将它分割成很多个矩形。接着再把某个区间a,b1k的矩

5、形的面积累加起来，所形成的就是这个函数的图象在区间a,b】的面积。而不定积分的本质是求一个函数的原函数，它们看起来没有联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？这主要是由于一个重要理论：牛顿-莱布尼兹公式，让它可以计算积分，它的内容是：若函数fX五区间a,b襄续，且F仅堤f仅）的原函数，即F'k）=f（X）则bfXdx=Fb-Fa.2.1 求不定积分的方法2.1.1 直接积分法直接积分法就是通过积分的基础性质和基本积分公式求解不定积分的方法。该方法是求解不定积分的基本方法，是其它积分方法的根本，应熟练地掌握基本积分公式。在记忆基本积分公式时，一定要把公式的两边一起记，这样就清楚被积函数变

6、形到怎样的式子简便。基本积分公式：（1）fkdx=kx+C（k为常数）。12xdx=-xdxC（a二_1）a1（3）jLx=lnx+C，1，一一4 axdx=axCa.0,a=1Ina5 exdx=exC6 sinxdx=-cosxC7 cosxdx=sinxC28 secxdx=tanxCM）Jcscxdx=-c0tx+C10 iisecxtanxdx=secxC11 iicscxcotxdx=-cscxC12 dx=arcsinxC=-arccosxC1.1-x21,-13zdx=arctanxC-总rccotxCi1x2例1求Rx2+1）（jx一2）dx解（x21）（.x-2）dx51=

7、（x2-2x2x2-2）dx521x2dx_2.xdxx2dx21dx例2求1f3*exdxxx3-edx(3)x_xx(e)+c=3eC,e'3，1-ln3ln一33x4xx3(x3x41-dx1x4-1)4=3(x21.-1)42dx1x3=x-3x，4arctanx，Cdx2x万2xsincos2dx-2dxx2x2sincosdx-11 2sinx444icsc'dx=-4cotx'C求tan2xdxtan2xdx=(sec?x-1)dx=tanx-xC由此可得，熟悉基本积分公式是直接积分法的根本。但是，利用积分公式和性质，只能求一些简单的积分，对于比较复杂的积

8、分，需要设法把它变形为能利用基本积分公式的形式来求解积分。1.2.2、 换元积分法求不定积分换元积分法是对积分变量进行适当变换的方法，这是与复合函数微分法相对应的积分方法。不定积分的换元法可分为两类：第一换元法，也叫凑微分法和第二换元法。设F。诞fu)的一个原函数，即Ftp)=f(U)若u=g(xx导，由复合函数的微分法则，有Fg(x)r=F(u)g(x)=fug(x)=fg(x)1gx,故，fg(x)g(x)dx二Fb(x)1C,又，f(u)du=F(u)C,u=g(x),故fg(x)g(x)dx=f(u)du如果右边的积分容易求出，则左边的积分就可以通过适当的变量代换g(x)=u化为右边的

9、形式来计算，也就是第一换元法。如果左边的积分容易求出，则右边的积分就能通过适当的变量代换的形式来计算，也就是第二换元法。下面我们来分别介绍这两类换元方法。1、第一换元法(凑微分法)设u=g(x)M有连续导数，F(u注f(u)的一个原函数，即fOdu=F(u)+C则Jfg(xgxjdx=Fg(xjl+C为了使用方便，第一换元法能够写成简单实用的形式fgxgxdx=bxdgx=f(u)du=FuCFgx1C(1)只有一个因式的被积函数，主要看被积函数与积分基本公式中的哪个式子的被积函数相似，其本质就是利用积分基本公式。接着再与积分的基本公式的相似形式进行凑微分，凑微分的实质就是利用积分基本公式和性

10、质求积分。(2)有两个因式的被积函数，先由其中一个因式找到与其相似的积分基本公式，再将剩下的一个因式与dx进行凑微分，再由积分基本公式求出结果。2x例1求J-dxx22f2.解2dx=x22dx=一dx22x22x22x22令x2+2=u,得fx-dx=lnu+C=lnx2+2+C=ln&2+2)+C'x2+2'u例2求cos2xdxcos2xd2xc,1cos2xdx=-cos2x(2x)dx1.=-sinu21sin2xC2令2x=u，得八，1，cos2xdx=-cosudu例3求Jtan3xsec2xdx解tan3xsec2xdx令tanx=u，得tan3xtan

11、xdx3=tanxdtanxtan3xsec2xdx=.Jdu1,Ctan4xCdxdx-2xa-x求tanxdxtanxdx=sinxcosx求cos%dx-Iia=arcsinxCa,1r、-f-d匕osx)=-lncosxcosxcos5xdx=cos4xcosxdxJ(1-sin2x2d(sinx)-2sin2xsin4xdsin=sin23x-3sinx15sinx52、第二换元法设函数x=g(t)单调、可导，且gt二0,Gt是fgtQt)的一个原函数，即fgtgtdt=Gtc,其中t=g仅是x=gt的反函数第二换元法主要分为以下三大类：1、有理化法2、三角变换法3、倒代换法(1)有理化法：若被积函数中含有因子n'ax+b(nwn)或同时含有两个根式nbUx与m；xgnwN,为了能够去掉根号，我们作变换t="ax+b,即x=t,或at=眩"，即x=tp,p为m与n的最小公倍数，使化简后的积分式子能够直接积分或者使用简单的变形凑微分后可直接用积分基本公式。例1求仅2x1dx解令<2x-1=t,则x=-t2+1)故212.x.2x_1dx=-t1ttdt=2t4t2dt=L51t3106152x_121013-2x-12C,dx例2求fdxx：x2鲁出=3t2-6t6ln1tC=33,x-66.x6