多项式拟合matlab之方法

1、实验题目使用Haar小波和傅里叶变换方法滤波及数据压缩指导老师：李爱国学生：陈立朝学号：16208009004专业：应用数学实验报告一、实验题目：使用Haar小波和傅里叶变换方法滤波及数据压缩二、实验目的1 .掌握离散数据的Haar小波变换和傅里叶变换的定义，基本原理和方法2 .使用C+实现数据的Haar小波变换和离散傅里叶变换.3 .掌握数据滤波的基本原理和方法.4 .掌握使用Haar小波变换和离散傅里叶变换应用于数据压缩的基本原理和方法，并且对两种数据压缩进行评价.三、实验步骤1算法原理1.1 Haar小波变换(1)平均，细节及压缩原理设x1,x2)是一组两个元素组成的信号，定义平均与细节

2、为a=(x1+x2)/2,d=(为-x2)/2o则可以将a,d作为原信号的一种表示，且信号可由a,d恢复，x1=a+d,x2=a-d。(2)尺度函数和小波方程在小波分析中，引入记号*(t)=xOi1(t),其中，Xfj。)表示区间出，1上的特征函数。定义j,k(t)=(2jt-k),k=0,1,.,2j-1称0(t)为Haar尺度函数。由上式可知，驾股、都可以由以c(t)伸缩和平移得到。j,k(t)0,0小波分析中，对于信号有不同分辨率的表示，当用较低分辨率来表示原始信号时，会丢失细节信息，需要找到一个函数来描述这种信息，该函数称之为小波函数。基本的小波函数定义如下：1,0Mt：二1/2中(t

3、)=x0,1/2)(t)-x1/2,1)(t)=<1,1/2Mt<1.0,其他则曾(t)=4(2t)_4(2t_1)。中称为Haar小波。*(t)=*1,0(t)+-,1(t)称为两尺度方程，*(t)=%,0(t)-*0,1(t)称为小波方程。(3)Haar小波变换计算方法设(X1,X2，X2n)是一个长度为2n(n>1)的离散信号序列，记为(an,0,an,1,，an2n)，该序列可以用如下的带有尺度函数来表示：f(t)=4,0%。)，+4,20心。)一次小波分解的结果：f(t)=an_L,0*n_1,0(t)十十a0。Jn,2。三n,0(t)+可,2nLn_1,2nz一，

4、一，一1.,、，、.对上式积分，由尺度函数的正交性，可得10f(tWn,k(t)dt=%4k。令k=0,得到an工0二(an,0an,i)/2o一般的，有ank-(an,2k'an,2k1)/2,k=0,1,.2-1同理，有dnJ,k=(an,2k-an,2k1)/2k=0,1,.2-12.傅里叶变换(1) 一维连续函数的傅里叶变换定义设f(t)为连续的时间信号，则定义F(u)=：f(t)e-j2zutdt为f(t)的傅里叶变换，其反变换为f(u)=1)(t)ej2zutdu。(2) 一维离散傅里叶变换对连续的时间信号f(t)等间隔采样，得到离散序列f(n)o假设采样N次，则序列表示为

5、f(0),f(1),.,f(N_1)。令口为离散变量，u为离散频率变量，则一维离散傅里叶变换及其反变换定义：N1_,u=0,1,.,N-1F(u)-1xf(n)e-j2-un/NNn6Nd._f(n)F(u)ej2un/N,n=0,1,.,N-1u二0傅里叶变换的数学性质中，最重要的一点是：一个在时域或空域上看起来很复杂的信号(比如声音或图像)通常在频域上只集中在很小一块区域内，而很大一部分数值都接近于零。即一个在空域中看起来占满全空间的信号，从频域中很可能只占用了极小一块区域，而大部分频率是被为零的。这就得到一个极为实用的结论：一个看起来信息量很大的信号，其实可以只用极少的数据就可加以描述。

6、只要对它先做傅里叶变换，然后只记录那些不接近零的频域信息就可以达到数据压缩的目的。(3)快速傅里叶变换FFT原理FFT的基本思想：将大点数的DFT分解为若干个小点数DFT的组合，从而减少运算量。1N-1令WN1,1"=e-j2znk/N，则f(u)可改写为F(k)=£f(n)W：k。令n=2M,其中NN=0m为一正整数。带入式中，得到f(n)WzMk12MF(k)二2Mn卫1 1M.F(k)Ff(2n)W?k2 |fMn卫1Md1MJFe(k)Jf(i2WTFo(k)-f(2n1)WM1，kMn乂Mn用则有1-k11_knF(k)=2.Fe(k)十Fo(k)W2MIF(k+

7、M)=2-Fe(k)Fo(k)W2MI上述推导说明：对一个长度为N的序列进行傅里叶变换可以通过将其划分为2个N/2的序列进行傅里叶变换，对于N/2的傅里叶变换，可划分为两个N/4的变换，这一过程不断迭代，知道两点的序列为止，可计算出该序列的傅里叶变换。(4)时间抽取的基2FFT蝶形算法对于(3)中的计算方法，可以采用蝶形运算符号来表示。本实验中采用的算法是时间抽取的基2FFT算法实现快速傅里叶变换。3 .数据压缩的评价准则(1)数据压缩比设原始信号f(n)的数据量大小为S,经过数据压缩后，信号的数据量变为M,一般情况下M<S。则数据压缩比率。的定义为：-(S-M)/S由上式可知，数据压缩

8、得越小，其数据压缩比越大。(2)数据失真度对于压缩后的数据，可以采用反变换等方式还原信号。设原信号为f(n),还原信号为f1(n),则我们定义还原信号与原始信号的差异为数据失真度。显然，数据恢复越接近原始信号，数据失真度越小。4 .算法步骤(1)Haar小波方法步骤a)读入原始数据f(n)b)对原始数据f(n)进行小波变换。对原始数据进行不同层级(分辨率)下的小波变换，得到不同的小波变换结果An,Dnc)对于上步中的小波变换Z果，把细节分量Dn置为0,即滤波得到压缩数据And)对于滤波结果An,通过小波逆变换，恢复数据e)计算恢复数据与原始数据的差异，进行压缩评价(2)离散傅里叶变换步骤a)读

9、入原始数据f(n)b)对原始数据f(n)进行离散傅里叶变换。使用蝶形算法计算傅里叶变换结果F(u)c)对F(u)进行滤波，保留低频成分，舍弃高频成分，即得到原始数据的近似表示d)对滤波结果的低频数据，高频分量恢复为零值，使用傅里叶反变换，恢复数据e)计算恢复数据和原始数据的差异，进行压缩评价5.程序流程图图1Haar小波变换流程图在图1中，原始数据存放在文本文件eggs.txt中，由程序运行时读入。对结果的滤波是舍弃小波分解的细节部分。计算结果写入dwt.txt文件中。图2Haar小波压缩数据差异计算流程图图2是计算使用Haar小波进行数据压缩后，与原始数据差异。图中的f(n)表示原始数据，A

10、(n)是小波变化结果，f1(n)表示逆变换结果。图3离散傅里叶变换流程图图3是傅里叶变换流程图。原始数据是eggs.txt。对F(u)滤波时，舍弃高频信息。计文件中。:读取原始数据数据f(n),变换后F1(u)I对F1(u)傅里叶逆变换IFFT,得到f1(n)一j一计算f(n)和f1(n)的差异(结束)图4离散傅里叶变换压缩数据差异计算流程图与低图4是傅里叶变化压缩数据后的差异计算。傅里叶逆变换时，对于高频分量补零,频分量来恢复数据f1(n)。四、实验结果分析1.傅里叶变换32号量：2-5百培沏思1234567«9IH11121314IS161234567991«11121

11、314UU*UUUU!UUU.MHHIU.1514iuim-4"»(工快速博里叶变换结典<2?2,«>17如曰,e16.丽例4，512587cn.n>H2513137g<-U,23.9457)1,7995H<-16,16>1.41421<«,«>0C'14,10.6?H9>1.2H26fH<-lt,t.62742>1.H8237日RJ&31&261.014SV明目H<=16.H>I(B,H>01.01K5?目g62741>1.082

12、3?MH<16,10.69«9>1,2026?<e.«>目UT6>1.41-421修<-16,-23.557>I,7?9?5R2.61313C6fH>g(-1(,-80.4374)J.lNSglt皿tD0M3Wf修*|"y*廿mR*XIfttPtr*X*WX,rW/PHffTW*峥-*ttW善里叶反受拽结算=XW!JtJtPt=*aX*一=1:WaXJfa*12345S7q$1011121314ISIfi1234S57?9IM11121314IS16图5测试数据集的FFT变换及IFFT变换结果在上图中，得到测试数据集

13、的傅里叶变换结果。图中带括号的是数据变换的复数结果，后边的小数是变换后的幅值。可以看出，在傅里叶变换的结果中，有1/2的数据经过变换之后变为0值。这部分为0值的数据可以采用压缩方式存储，从而压缩原始数据。并且，经过傅里叶反变换后，原始数据可以得到良好的恢复。AIM据量：2r始凝据,4215辐4CllZtZSR-7978.7>t-1-237«3.7r-im£.7>CZI?42,3f42163.S>E77174T65g4>C2737S,3,-8417.?J-12S3V.2,-442W.5>C-321B1,4,13794.47值4加2.4328厅：-

14、l3506-4,-91431.7>-16549-8,-1096»0>：-56732,2*91954.1?£t48_91,22m.3>C373R1r-2«229,35Eft44.2.-51G2B.»C-5?0,1.-2»968,35£-19961*3,2*281.4)匚¥72".¥5,223匹GtlMMi6*G*T234,2C-lt59B.4,37f5.65>UTB19.44.3第53.73CT的"d遇6S,步.=15644.)：2BS93,3.-922.413>C-

15、26S8b.3,14434.1>C17152,fc,13691.3591T/1.9,1»SH2.4)C13S0C.4,10478.75CBB7fr.47,fl47,lt>C)?2S,7.72tl,66>1646.63539.163394,571120,427186*711213.371255.421179.CU109.745136,?7195.34H6103.282322.438432.979422.83792.2622132,7333K.1«3214.3B3119TH495.32?t4+97BS29.fc787Ilf.8578Z.144723,711?i

16、ll.7S1118.17178.462?85.72VB1H3.79767.70223.96S&69上也«2,B421<-lE»2t2BF-10S129><2918,7,44146.7>OflhSt,SHH574.4><22553,2,40431.6><-3»S0t45r-54727.3)C-472«9.4,9135.57><-327S+13.W62t3>(70«,3,-3410.09>(专4。招<-17507.6.-54570,7><3S3t2.7

17、,4917-61><33145.Sr£841.51><-106632,-69934.1><-164?4.3,-33502.1><-&8700.9,6715.2><-5tl43,4Ffc8583,2><-11«1-4,2>3927543><10J22,7,27820,3><-1B2V.fl.-21392.?><-«28S.l+-135335<4fiVl.22.41831.V><-9333.43,-2BB44.8><-

18、2fi35£,2.199EUa><159*2a.77371)<3；393S.9,17722,15<2337a.S,-2514.4><-759_-M2,-13147.2>85河5G.T451<-13115.9,1066.17><-5573.7B«13B2B>5824.57.74657,27723,949207.64721B,7231S0.922214,13IS1?.135175.1493”.48i223.B6V21K.A32139.465131.IK49A.123145阴2C9.642346,221isv.m1

19、15.913通IfTIM173.13129.3661BV.2149129.11V246.354b9.361SH9.S5n.sis47.B727SI.*102?5S.35274*1.762El图6eggs.txt数据傅里叶变换结果n，使用eggs.txt中的数据时，由于数据量较大，此处只是部分数据截图。数据不足2的部分用零补齐。可以看出，变换后的数据幅值较大，且基本没有为0数据。此时，采用阈值进行滤波处理，取阈值仃=30,即将阈值小于30的值置为0。2.小波变换9W一级，J爆变换结果：2.121324.9497S7.1177H17122.121324.9497S7.7781713m16,2635

20、21.92037071U7H.7K1H7H.7W71H7-K.A571W7-B-/W71K7-M.7«71H70.7071«?«.?«710?H+?0?107-0.?0?18?-0.76710?-0+.7071070*7071A?二级4噬变换结果工S132129513212?H.7H71R7R.7R7107R,7H7lfl?PI.7FI7LR7-R.07-0.7071B7B.7PI71fl?W.74J71M?U.7UdZie7W_7U71U?«.7ti7107-0.7»71tt7a.7fl71(J712,72793G.3GS312.7

21、3793S.3£&3,fi5B5-5-65685-5.t5t8550_7071U/0.7071070/71070.707107AL7H71O7-0.7H71R70.7n7lfl7R.7071R7L7B71(57-H.TH71B7B.7U71H7-B.的小波逆变换结臬t123491H1112mssanykeytocantinue图7测试数据集的小波变换DWT由上图的实验结果可以看出，数据经过小波变换后，其能量集中于数据的靠前的小波系数。对于相同的数据集，可以采用不同级别的小波变换数据。4.242&4143.5431955,86me.714SG.骐43S.4HS6131.

22、S224S2.7S42627.611071.27S71.342Q1519*5?以回3H713,471WMx7H71H76肛6377.4lli7U31凡2"214.2535鹃68543.84艇1VB2.812m512.®75302.M25目皿7083.01346.3330.4056A1?7026BR-741053.59i%8*25122.32*8-4flS2fl4186474437*83H4.7GJLSMM.4H工，111152M8.892531.034B2&.71S176.W2373R.9113107-6IBS?.2511411,342831.262975,5121

23、8九9¥3133.?2626.193(ffl?,331137S.2H.£>flolHflnIBuflfl223S.8794X472AH:is：ja凿14.322061.851436*84L酹4425Y6B1Z装*G312R2-79167V,381352.71229.6t151R.2日110.307a9»2708.好.78S24i.RB1»7.2»311,719333M.92B2334-874226*671572.6111VB.77S4.447Z324.562927.72A4S35.VV79.B5B1700.597

24、74.3932317.19勺7?1HUF)329B.B72PM3.23m5,3322.637433234735.3913162.1810t九152&5B+317J3.374151R+IE366.3SL1950.fl3712.311B6E.酷3626.752315.0?H国0H见“02iB?e.ii1636.253937.BB38九616&2t32S925fa+6B447.5992022.33THP.0?1909.1921B.B1114.B49211B2.3Bi”4.752861.033915.252439.S2E51M,452830.01Hn0Hft0HH0f)MH0RU00U