高中数学选修2-3 第一章 计数原理第2课时 排列的综合应用

1、第第2课时排列的综合应用课时排列的综合应用 1掌握几种有限制条件的排列2能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题1.排列的应用题背景丰富，无特定模式和规律可循一般说来，解决排列问题要遵循两个原则：按事情发生的过程进行分步；按元素的性质进行分类2解答排列综合应用题时，首先要认真审题，准确理解题意，从而建立排列模型其次，在具体分析和解决问题时，要善于综合运用所学的常规方法最后，对于情境比较新颖的问题，既要善于综合运用所学的思想方法(如分类思想、整体思想等)解题，更要注意利用特例来分析问题，归纳总结出一般规律3解决排列问题时通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑

2、其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数，再去掉不符合要求的排列4解决排列应用题的常用方法：(1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑有两个以上的约束条件，往往是考虑一个条件的同时要兼顾其他条件考虑两个条件之间是否有影响(2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素有两个以上的约束条件时，往往考虑一个元素的同时，也要兼顾其他元素(3)间接法：也叫排异法直接考虑时情况较多，但其对立面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可先考虑逆向思考问题，在此方法中，对立面要“不重不漏”(4)插空法：先把

3、有限制的元素排好，然后将不能相邻的元素插入排好的元素的空中，要注意无限制元素的排列数及所形成的空的个数此方法适用于含有“不相邻”的问题(5)捆绑法：把要求在一起的“小集团”看作一个整体，与其他元素进行排列，同时不要忘记“小集团”内也要排列此法比较适合“必须在一起”的问题(6)等机会法：利用元素在每一个位置的机会是均等的来解决排列问题(7)除法列式法：利用除法表达式解决排列问题的方法以上7种方法之间相互联系，在解决问题时，可以独立应用，也可混合应用，应用时不要过于死板.用0,1,2,3,4,5这六个数字(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？(3)可以组

4、成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？(4)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？(5)可以组成多少个大于3 000，小于5 421的不重复的四位数？【分析】利用两个计数原理及排列数公式解题，主要注意特殊元素“0”的位置【解】(1)分三步：先选百位数字由于0不能作百位数字，因此有5种选法；十位数字有5种选法；个位数字有4种选法由乘法计数原理知所求三位数共有554100(个)(2)分三步：百位数字有5种选法；十位数字有6种选法；个位数字有6种选法故所求三位数共有566180(个)(3)分三步：先选个位数字，有3种选法；再选百位数字，有4种选法；选十位数字也是4种选法，所求三位数的奇数

5、共有34448(个)(4)分三类：一位数共有6个；两位数共有5525(个)；三位数共有554100(个)因此，比1 000小的自然数共有625100131(个)( 5 ) 分 四 类 ： 千 位 数 字 为 3 , 4 之 一 时 ， 共 有2543120(个)；千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有44348(个)；千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0,1之一时，共有236(个)；还有5 420也是满足条件的1个故所求四位数共1204861175(个)1. 排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子上不排

6、某个元素2解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论用0,1,2，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的排列：(1)五位奇数；(2)大于30 000的五位偶数？7位同学站成一排(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(4)其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？【分析】这是一个有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排的原则排队问题常用的几种方法：6个

7、人按下列要求站一排，分别有多少种不同站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端三个女生和五个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【分析】元素相邻和不相邻问题的解题策略限制条件解题策略元素相邻通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列元素不相邻通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空档中7位同学站成一排，(1)甲、乙和丙三名同学必须相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙

8、三名同学都不能相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙两名同学间恰好间隔2人的排法共有多少种？(2012合肥质检)将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)这样的排列有_种【解析】5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法【答案】40 (2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素的形成的空当中某电视台的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，则出场顺序有_种答案：20 1.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A36B120C720D240答案：C 2用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有()A48个 B36个 C24个 D18个答案：B 3A，B，C，D，E五人并排站成一行，如果A，B必须 相 邻 且 B 在 A 的 右 边