数学高三专题复习数列求通项方法及经典练习含答案

1、学习好资料山东省烟台市芝景区数学 2015-2016 高三专题复习-数列（1）求通项方法及经典练习（含答案）烟台乐博士教育特供明老师整理1、定义法:直接求首项和公差或公比。2、公式法:（n=1）两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子.（n.2）r、fa+1：*例、数列 Qn的各项都为正数，且满足 Sn= n n1 1）（nwN）,求数列的通项公式.42一，a-122,斛一:由 Sn=(n 匚 NH 寸 4an=4(Sn书Sn)=(an噂1)(an1)化间行4(an由+anKan由an-2)=0,因为 an0,二 an+-an=2,又 4=4a=但-12得 Q=1,故%是以 1 为首项，

2、2 为公差的等差数列，所以 a=2n-1.,2a,1*解二：由&二J JN 卜可得 2 宿=41,二 2 四=11(n 之 2)2化简可得（病1）=Sn,，即 JS?招=1又 S=1,所以数列昆是首项为 1,公差为 1 的等差数列,JS?=n,从而 Sn=n2,所以 an=Sn-Sn=2n-1,又 a1=1 也适合，故 an=2n-1.练习：已知数列a0的前 n 项和 Sn满足an+2SnSn,=0（n2）,a1=,求an.扩展一：作差法例、在数列an中，a1=1,a十2a2十3a3+Hl+nan=(n1)2+n,求an.欢迎下载SnSn-Sn1答案：an1212n(nT)(n=1)(

3、n-2)解：由a,+2a2+3a3+lll+nan=(n-1)2+n,得a,+2a2+3a3用I+(n1耳=(n-2)2+n1,例、已知数列Q满足an+=2an+2n+%-1(nN*),%=52,求通项小.n斛：由an+=2an+2n*+3n-1,两边同除以2,行2皆-才=2耳-亍孑*n之1),列出相加行学习好资料欢迎下载1(n=1)两式相减，得nan=-6n+6,4=拈-6n-(n_2),n练习(理):已知数列an满足 a1=1,an=a1+2a2+3a3+川+(n1)an(n 之 2),求 an.解：由 an=a+2a2+3a3+川+(n1)an(n 之 2),得 an.=ai+2a2+3

4、a3+|十(n1)an+nan,两式相减，得an由一an=nan,即包=n+1(n2),所以 an=-a-，亘二|生比=n(n-1)川 4 父 3aananJanNa2n!=a2又由已知，得a?=a1+2a2,则 a?=a=1,代入上式，得 an=1345 川 n=n!,所以,an的通项公式为 an1(n=1)=n!2(n-2)扩展二、作商法例、在数列an中，a1=1,对所有的n2,都有“四日例外=n2，求 an.2解：:a1叼2电3引1*an=n2,aa2a3，制2=n(12,故当n、2时，两式相除，得an=-n2,一(n-1)12=n2(n-1)2(n=1)(n-2)3、叠加法：对于型如

5、an+-an=f(n)类的通项公式.1例、在数列an中，a1=3,an+=an+,求通项公式 an.n(n1)n练习：在数列an中,a1=1，%=&鼠”2),求九11答水：an=E55、构造法：型如an+1=pan+f(n)(p 为常数且 pw0,pw1)的数列(1)f(n)=q(q 为常数)般地，递推关系式 a+1=pan+q(p、q 为常数，且 p*0,p*1)等价与an1=p(an),则an-3为等比数列，从而可求 an.1-p.一*1aA.例、已知数列an满足 a1=1,an=j(n2),求通项 a.22解：由 an=-an,得 1-an=(122一11f又1心丁。,所以数列1

6、是首项为 1111公比为_的等比数歹!J,an=1-(1 一现)(_)=1 十(一一).222练习：已知数列an的递推关系为 an由=2an+1,且 a1=1,求通项 an.答案：an=2nT.又由已知求得a1=6,an=n*2n+3n+1(nwN*).练习：已知数列an满足an+=an+23n+1,a1=3,求数列an的通项公式.3-3nc答案：an=2+n+2=3n+n-1.1-34、叠乘法：一般地，对于型如 an=f(n)-an的类型例(理)、已知数列an满足 an干=2(n+1)5nMan,阚=3,求数列an的通项公式.a.解：因为 an书=2(n+1)5xa。，a1=3,所以烝#0,

7、则 q=2(n+1)5n，故 anan二王皿川 0a2al=2(n-11)5、2(n-21)5n勺 112(11)513an1.an_2a2a1n(n1)=2nJn(n-1)1113M2父 5(2”*父 3=3 父 215kMn!,所以数列an的通项公式为n(nJ)an=3 父 2nlM5Mn!.学习好资料欢迎下载an2n*(0,求数列 Qn的通项公式.1-I+i,数列尾/21;是首项为 0,公差为 i 的Z九Jj等差数列，故生2J=n1,an=(n1)/+2n.n练习：在数列an中,a1=3,nan书=(n+2)an+2n(n+1)(n+2),求通项 an。-1答案 an=-n(n+1)(4

8、n-1).2解：由条件可得：一a=+2,数列T是首项为一公差为 2 的(n1)(n2)n(n1)(n1)n(11)x12等差数列。法二、构造等比数列法例、在数列an中，a1=2,a?=3,an书=3an-n2an,求an；在数列 Q)中，a=1,a2=2,&与=-an+-an,求 an.33解：由条件 an23an1-2an,欢迎下载解：由条件可得免三-niA?an2-an1=2(an1-an),叠加法得:22(1-2n-)an=%+=2-1?1-2由条件可得an平_an+=(an+-an)(等比数列)，3点拨：形如 f(an.an*an)=0 的复合数列，可把复合数列转化为等差或等比

9、数列，再用初等方法求得an.例、已知数列an满足 a1=1,an书=3an+5M2n+4,求数列an的通项公式.解：设 anJxM2n*+y=3(an+XM2n+y),将已知条件代入此式，整理后得(5+2x)x2n+4+y=3xx2n+3y,令 15+2x=3x,解得x=5,4y=3yy=2.有 an书+5 父 2n书+2=3(an+50,将条件变形，得(an4f+an)(n+1)an4hnan=0,又 an0,得 an4+an0,所以 an由=nan，即旦土=,到此可米用：n1ann1n1n-dn2n1n211法一(递推法)：an=an=an=111=III-a1,从而 an=.nnn-1n

10、n-12n法二(叠成法)：-HI&=.之用,所以 an-.an4ana1nn72n法三(构造法):由亘=。，得 E 冏书=1,故na。是常数列,nan=1Ma1=1j.4.ann1nann点拨：解法一是迭代法，这是通法；解法二是叠乘法，适合由条件=f(n)求通项的题学习好资料欢迎下载七T_73/1、故an-(-二)443学习好资料型；解法三是构造法(简单+经典)，根据条件特点构造特殊数列求通项，技巧性较强，体现了转化思想.例、已知数列an满足an4=3an+23n+1,a1=3,求数列的通项公式.练习：已知数列 Qn中，a1=1,an4-an=n,求通项公式 an.(尝试叠加法)解：由

11、已知，得 an=an,n-1=an2-n-1iTn-22nn-1nn+2=1=4n-1rin-2I1=1226、归纳猜想：给出或求出了数列的前几项可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之.例、已知点的序列 An(xn,0),n=N，其中为=0,X2=a(a0),A3是线段 A1A2的中点，A是线段 A2A3的中点，An是线段 AnAn的中点，写出 xn与 Xn,Xnq之间的关系式(n23)；设 an=Xn书-Xn,计算 21包e3,由此推测 0的通项公式，并加以证明.解：(1)An是线段 An“An4的中点，4=工+”工(n-3)；2(2)由题意，得 a1=X2

12、-X1=a-0=a,猜想 an=(-1严 a(nWN*),下面用数学归纳法证明:2(1)当 n=1 时，a1=a 显然成立;1(2)假设 n=k 时命题成立，即 ak=(-一)a(k=N*),则当 n=k+1 时,欢迎下载解：由已知，得(两边除以3n卡)，得andan3n1-3n33n13n13n-33n1故?哼an1an1)(一aman.an2a2E-(l(33nl213)IH(-T2)-3332(n-1) +(+L_+)+113n3n3n3n32)，an3n(1-3n1)2(n-1)3n()1-32n11+1=+,即an3223nnX2X1a2X3-X2X22=_(X2X1)=一a,a3=

13、X4-X3=22X3X2211=(X3X2)=一a,2学习好资料Xk1Xk_1,ak1-xk2-xk1-2_Xk=-2(Xk1-Xk)=_当 n=k+1 时命题也成立，故命题对任意 nwN 都成立.欢迎下载111k11k-ak=()()a=(_)a,222-练习: 已知数列an满足8a1= =一一，an 噂噂=an+98(n1)-2_Z_2(2n1)(2n3)求通项an2448a2一一，戛戛= =一一，254980a4=,猜测a81(2n1)2-12(2n1)2(1)当 n=1 时，a1=-,9所以等式成立;假设当 n=k 时等式成立，即 akJ J2 2)J,)J,(2k1)=k+1 时等式

14、也成立.7、倒数法：形如f(an,an，ana)=0的关系，可在等式两边同乘以ananan求出a例、已知数列an中，a1=1,an书an-(nwN)，求 anan11an=n例、设正数数列a。(nWN)满足:.ananN-；an/an/=2an/(n 一 2),且 a0=a1=1,求an的通项公式.解：将原式两边同除以ja石整理得:则bn=2bny,故有bn+i=2(bn+1),又bi+1=2,.数列bn+1是首项为2,公比为2 的等比数列，bn+1=2n,即J=2n-1,旦=(2n1)2(nWN),逐项相乘得:.an4an1an=(2-1)2(22-1)2；，(2n1)2,考虑到 a。=1,

15、+，1(n=0)故an=3222Hln2、(2-1)2*(22-1)2川*(2n-1)2(n-1)例、已知数列an,其中 a1=1,且 an+=an2nan-3一21Tb卡，学习好资料，一 131解：=+2,设 bn=，则 bn+=-3bn+2,(N 刖万法)bn=J21(巧)n，得an1anan555an=2n-(-3)n练习 1:设数列Jan满足 ai=2,an+=-a(nN*),求an.答案：1=2Tan323求数列an的通项公式是 an.解：由 Sn书=S,得=3+4,令+九=3(2+?J,34SnSn1SnS01S11c、+2=3(-+2),Sn1Sn数列1 十 2是以 1+2=3

16、为首项，3 为公比的等比数歹I,SnS1+2=33nA=3n,一 11Sn=F，当 n 之 2 时，由an=SnSn(n2)得an=-n-3-13-21ant-23n32n一83n128、 其它特殊方法:(1)取对数法例、若数列an中，a1=3 且 an4f=an2(n 是正整数)，则它的通项公式是 an=解由题意知%0,将 an书=an2两边取对数得 lgan*=2lgan,即应亘 t=2,所以数列lgann_1n_1lgan是以 lga=lg3 为首项，公比为 2 的等比数列，lgan=lga1-2=lg3，即 an=3.(2)循环法：数列有形如 f(an七，an+,an)=0 的关系，如

17、果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出an.例、已知数列an中，a1=1,3n+an=2n+3,求明.欢迎下载练习 2:若数列1中，ai=1,Sn是数列a。的前 n 项之和，且 SSn34Sn(n1),1-23n3nJ-2=32n-83n12(n=1)(n-2)学习好资料解：由an+4=2n+3,得为+an.=2(n+1)+3,两式相减得an-an=2,即数列an的奇数项组成一个首项为 1、公差为 2 的等差数列；偶数项组成一个首项为 a2=4,公差为 2 的等差数列。注：此例中的数列为特殊形式， 称为周期数列.这类数列曾多次出现在高考试题中，要注意把握.练习：在数列an

18、中，a=1,a2=5,an芈=an卡an,求a2011.即每间隔 6 项循环一次，2011=6X335+1,a2011=a1=1.学习好资料经典练习1 数列an的前 n 项和记为 Sn,已知 ai=1,an+i=t*Sn(n=1,2,3),求 an.n2 已知数列Jan的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn.i=0(n2);ai=1,求通项 an.23 已知函数 f(x)=(VX+J2)2(x0),设正项数列an的首项 ai=2，前 n 项和 Sn满足 Sn=f(Sn,i)(n2 且 nCN*),求通项 an.4 已知数歹！Jan中,a=i,且 an+i=3an-i(nN*),求 a

19、n.欢迎下载 a2n+i=1+2(n-1),a2n=4+2(n-1),an.是n+2,n 是偶数解: 由条件an-3=an芈-an平=(an4-an)an卡=-an?即an43an?欢迎下载5 已知正项数列an的前项和 Sn满足 Sn=2(an+1)，求通项 Hn.2an2a.6 已知数列an中，a1=2,an=(n2),求通项 an.an2学习好资料答案：1 解析：=an+i=Sn+i-Sn,an+i=H2Sn(n+2)Sn=n(Sn+i-Sn),整理得 nSn+i=2(n+1)Snn即义=2员，故数列员是以 Si=ai=i 为首项，2 为公比的等比数列，即 ninni邑=2e,Sn=n-2n-i,n当 n2 时，an=Sn-Sn-i=nzn-(n-i)2n-2=(n+i)2n-2,当 n=i 时也适合，故 an=(n+i)-2n-2nNi.2 解析:当 n2 时，an=Sn-Sn-i=-2SnSn-i,两边同除以 SnSn-i得工Sn数列工是以 2 为首项,2 为公差的等差数列，则工=2+2(n-i)=2n,SnSnSn=，由ai=,2n2n12 时,an=Sn-Sn-i=-=-,不能合并.