带电球体电场与电势的分布

1、带电球体电场与电势的分布带电球体电场与电势的分布王峰南通市启秀中学物理学科江苏南通226006）在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“E-r”和“申-r”的关系曲线图，供大家参考。本文中对电场、电势的分布

2、推导过程均是指在真空环境中，即相对介电常数£°二1；对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即U/0。1、带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。电场分布：1.1.1内部（r<R）：如图（1）所示，在均匀带电金属球（壳）内的任意点P处，均有通过直径相似对称的两个带电球冠面S和S2，当两条线夹角9很小时，S和S2可以近似看作两个带电圆面，且S和S2两个面的尺寸相对它们距离P点距离很小，这样S和S2两个带电面就可以近似处理为点电荷，它们在P点各自产生电场强度E1p与E2p，计

3、算如下所示：设球体带电总量为Q，且均匀分别在导体球外表面上.Eip=k融”（计9卩=41P24R2r12兀(r2sin9)24R2E2p=K曲-=KQ血2°且E1p与E2p等大反向Ep=0，即均匀带电导体球（或球壳）内部的电场强度处处为零。1.1.2外部（r>R）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部P点的电场强度，可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面ds，将每个单元面上电荷在p点产生的电场dE进行叠加，求出P点的合场强Ep。由于球面上单元面ds的对称性特点，可知P点的电场强度Ep的方向最终应该沿OP连线的方向。图上述求电场强度Ep的理论方法是浅显易懂的，但数学处理

4、上比较复4"R2杂，需要采用二重积分的方法；即先要对ds和ds'所在球面上的带电圆环进行0T2"的环积分，对求出的环形电场再进行沿直径方向的0T"的积分，最终求出带电球体在P点的合场强Ep。积分过程如下：如图（2）所示，设OA二R，OP二r，AP二x，球表面电荷的面密度为二AEpods=Kcos0取球面极坐标，则ds=Rd«Rsin申d屮，其中申为沿直径方向的从0T兀积分角，屮为带电圆环的从0T2兀的还积分。EP胡AEp2冗冗=门K00cR2sin申d申d屮x2cos0由AOAP可知：x=r2+R2-2rRcos申又Tcos0=r-Rcos申xr

5、-Rcos申y'r2+R2-2rRcos申Ep2冗冗=Kcfd屮J00R2(r-Rcos申)sin申d申3(r2+R2-2rRcos申)2(r-Rcos申)d(-cos申)3(r2+R2-2rRcos申)2又r-RcosQ=2r2-2rRcos®r2-R2+r2+R2-2rRcos®2r2rEp=2rKoR2=IrKoR2=2rKoR2rr2-R2f-2r0rd(-cos申)3(r2+R2-2rRcos申)2r2-R212r2rR12r2rRR1d(-cos申)+f2r10(r2+R2-2rRcos申)2R11飞.1+12(r2+R2-2rRcos申)211-(r2

6、+R2-2rRcos申)2-+12r2-R2(-12r2RIr+R+_J(r+R-(r-R)2r2R=2rKoR2r2IEq=KPr2由此可以看出，带电金属球体或金属球壳在外部空间某点产生的电场强度E，与其上电荷全部集中在球心时产生的电场强度相等。E外二K当r二R时，有E=KQ，所以带电金属球或带电球壳的内、外电R2场强度的分布在r二R处电场强度的值有突变的情况。1.1.3图景：如图（3）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电场强度E的大小随P点到圆心O的距离r的关系图线。电势分布：1.2.1内部(r<R)：内部某点P的电势申P的大小可以由电场力做功和电势差关系来确定w

7、ps=UAgq又TWpg=EQqq+E2Ar2q+E3Ar3q+EnArnq二Upg=EAq+E2Aq+E3A?hbEnArn又TUpgTa讥/.(pp一(Pg=EAq+E?Ar2+E3Ar?+E*Arn由电势的物理意义可得，当以无穷远点为零势点时，该点的电势等于对电场强度从该点到无穷远的定积分。即：gRgQ/pp=JEdr=J0dr+fKdrrrRr2°°=kQrRgQQ/.pp=JKdr=KRr2r由上述答案可知，均匀带电金属球在稳定时，其球外任一点的电势等于把全部电荷看作集中于球心的一个点电荷在该点的电势相同；在球体内任一点的电势应与球面上的电势相等，故均匀带电金属球

8、面及其内部是一个等势体。1.2.2外部（r>R）：由上述电势理论同样可得:=1Edr=fKrrdr°°=Kr当r=R时有.=kR，所以带电金属球的内、外电势的分布是连续不间断的。图2、带电的绝缘体球：这种带电体的电荷是均匀分布在整个球体的各个部位，即电荷的体密度处处相同。电场的分布：2.1.1内部（r<R）：如图（5）所示，在此带电球体内部距离圆心r处的电场强度ep等于以0为圆心、r为半径的带电球体在此处产生的电场E和以O为圆心从r到R的带电球壳在此处产生的电场E2的叠加；又已知带电球壳在内部产生的电场强度处处为零（即E2=0），所以P点处的电场强度就等于以r为

9、半径的带电球体产生电场E1。rOPQ3KQ=-rR3所以，带电绝缘体内部的电场强度E的大小与P点距球心的半径r成正比。2.1.2外部（r>R）：和带电导体球（或球壳）一样，仍可视为集中在球心处的点电荷在该处产生的电场。E外=K（r>R）r2当r=R时，有电场强度的最大值E=KQ，所以，带电绝缘体maxr2球的内、外部的电场强度是连续分布的；在r=R处，电场强度最大。2.1.3图景：如图（6）所示，是带电绝缘体球的内、外部的电场强电势的分布：2.2.1内部（r<R）：由电势的物理意义可得，当以无穷远点为零势点时，该点的电势等于对电场场强从该点到无穷远的积分。即：gRQgQ/申p

10、=JEdr=JKrdr+fKdrrR3RQ+(-Krr3KQKQ2申P=-r2P2R2R3rrR3Rr2P=弓r2P2R3°°)=-KQ(R2-r2)+KQR2R3R2.2.2外部（r>R）：由上述电势理论同样可得:ggQ.申=-KQrT申=JEdr=JKdrrrrgQ=Krr当r二0时，即在球体的圆心处电势最高，有申O=3KQO2R当r二R，即在此球壳处处电势为申R=KQR2R所以带电绝缘体球的内、外电势的分布曲线是连续的223图景：如图（7）所示，是带电绝缘体球的内、外部的电势申的大小随P点到圆心0的距离r的关系图线。图本文运用数学的积分思想对电场、电势的分布进行推导，引导高三复习的同学从数学角度认识物理过程，加强了数学和物理知识的联系，深化了学生的物理形象思维和抽象思维。但高三学生复习本节知识点时，对于积分的推导过程不必太关注，但对电场、电势推导的结论、图景要作为高考必备知识点给予特别记忆和储存，以达到在高考时节省用在选择题中时间的目的。参考书目：1、赵凯华、陈熙谋电磁学1985年6月第二版高等教育出版社2、普通