步步高28：正态分布

1、§12.7正态分布1.考查根据正态密度曲线的对称性计算概率；2.考查3/原则的实际应用【复习备考要这样做】1.了解正态分布与正态曲线的概念，掌握正态分布的对称性；2.能根据正态分布的性质求正态随机变量在特定区间上的概率基础知识自主学习I要点梳理I1正态曲线及性质14(1)正态曲线的定义函数申卩”(x)=2n?_"x2<，xw(8,+g),其中实数卩和/9>o)为参数，我们称(P(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线.(2)正态曲线的性质： 曲线位于x轴上方，与x轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线x=对称: 曲线在x=处达到峰值二詈； 曲线与x轴之

2、间的面积为丄_； 当。一定时，曲线随着卩的变化而沿x轴平移，如图甲所示； 当卩一定时，曲线的形状由。确定，O越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；/越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示.2正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a,b(avb)，随机变量X满足P(a<XWb)=f“，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作XN,决).(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(“一”vXW“+o)=0.6826： P(“一2”vXW"+26=0.9544： P«-3ovXW”+3o)=0.9974.难点正本疑点清源1.正态曲线

3、的对称性1(X-“)21x2正态曲线的函数忖”花訂飞很显然，当"=0时，忖紂二頁产云2是偶函数，关于y轴对称；当"工0时，对称轴为x="，所以正态曲线是一个轴对称图形，很多关于正态分布的概率问题，都是根据其对称性求解2.3o原则通常认为服从正态分布N(“q2)的随机变量X只取(”-3o,"+3o)之间的值，并简称为3a原则正态总体几乎总取值于区间(”-3a,"+3a)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生I基础自测I1. 已知N(0,a2)且P(2W?W0)=0.4,则P(d>2)=.答

4、案0.1解析.P(0WWW2)=P(-2W?W0)=0.4,AP(>2)=|(1-2X0.4)=0.1.2. 若XN(0,1),且P(Xv1.54)=0.9382,则P(IXIv1.54)=.答案0.8764解析由正态曲线的对称性知P(X21.54)=P(XW-1.54).又P(X21.54)=1-P(Xv1.54)=1-0.9382=0.0618P(XW-1.54)=0.0618,P(IXIv1.54)=P(-1.54vXv1.54)二P(Xvl.54)-P(XW-1.54)=0.9382-0.0618=0.8764.3. 设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数fx)的图象，且几工)=

5、急_仁10)2，贝y这个正态总体的平均数与标准差分别是()A.10与8B.10与2C.8与10D.2与10答案B1(X-10)21(X-“)2解析由忌-=耳一苍厂，可知0=2，“=10.4. 设随机变量X服从正态分布N(2,9),若P(X>c+1)=P(Xvc1),则c等于()A.1B.2C.3D.4答案Bc1c-1解析“=2，由正态分布的定义知其函数图象关于x=2对称，于是2=2,.°.c=2.5.已知随机变量E服从正态分布N(2,02),且Pv4)=0.8,则P(0vd<2)等于()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2答案C解析P(d<4)=0.8,PQ4)

6、=0.2,由题意知图象的对称轴为直线x=2,P(d<0)=PQ4)=0.2,.P(0vd<4)=1-P(d<0)-PQ4)=0.6.P(0vd<2)=jp(0<<4)=0.3.题型分类深度剖析登陆免费聆听名师教你解题题型一正态曲线的性质【例i若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为訂石.(1) 求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2) 求正态总体在(4,4的概率思维启迪：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数,O的值，其中“决定曲线的对称轴的位置，。则与曲线的形状和最大值有关.解(1)由于该正态分布的概率密

7、度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即“=0.由盍=意4,得"=4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是1x2卩(X)=e-32，用(亠，+呵.(2)P(-4<XW4)=P(0-4<XW0+4)=P(u-o<XW+d)=0.6826.探究提高解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响变式训练1设两个正态分布N(w1，cr2)(1>0)和N2,玄)©。)的密度函数图象如图所示，则有A.吓卩2,O<o2C.咛卩2,勺<込答案AB.“<2，竹>込D.陀卩2,竹>0

8、2解析根据正态分布N(“，o2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线工=对称，在x=处取得最大值的连续钟形曲线；。越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，。越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.题型二服从正态分布的概率计算【例2】某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其密度曲线如图所示.(1) 求总体随机变量的期望和方差；(2) 求成绩X位于区间(52,68的概率.思维启迪：根据正态分布图象的特征进行求解解(1)从给出的密度曲线图可知，该正态曲线关于x=60对称，最大值为4，尸60'点二点解得°F1(x-60)2，(x)=4?2ne32，円°，1°0，总

9、体随机变量的期望是”=60，方差是°2=16.(2)成绩X位于区间(52,68的概率为P(p-2°<XW”+2°)=0.9544.探究提高求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，找所求概率和参数“、°的关系，利用3°原则.变式训练2(1)在某项测量中，测量结果乙服从正态分布N(1,°2)(°>0).若乙在(0,1)内取值的概率为0.4，则E在(2,+)上取值的概率为.若X仏9)，则X落在(一R,1U(1,+r)内的概率为.答案(1)0.1(2)0.0026解析(1)由正态分布的特征

10、易得P(>2)=|x1-2P(0<<1)=|x(1-0.8)=0.1.(2)7=0,°=|,AP(X<-1或x>1)=1-P(-1<XW1)=1-P-3°<XW+3°)=1-0.9974=0.0026.题型三正态分布的应用【例3】已知电灯泡的使用寿命XN(1500,1002)(单位：h).(1)购买一个灯泡，求它的使用寿命不小于1400小时的概率；(2)这种灯泡中，使用寿命最长的占0.13%，这部分灯泡的使用寿命至少为多少小时？思维启迪：先求P(Xvl400)，再求P(X21400)；(2)设使用寿命最长的灯泡寿命至少为x

11、0小时，重点分析P(X-1500x0-1500)如何求.解(l)P(Xl400)1-P(1400<XW1600)21+0.68262=0.8413.二1-P(X<1400)(2)设这部分灯泡的使用寿命至少为x0小时，则x0>1500，则P(X2x0)=0.13%.P(X-15002x0-1500)1-P(|X-1500|<x0-1500)=2_0=0.13%,P(|X-1500|<x0-1500)=1-0.26%=0.9974，所以x0-1500=300，x0=1800(小时)探究提高解答此类题目关键是利用正态曲线的对称性表示出所给区间的概率利用对称性转化区间时，

12、要注意正态曲线的对称轴是x=“，只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.变式训练3在某次数学考试中，考生的成绩乙服从正态分布，即孑n(100,100)，已知满分为150分(1) 试求考试成绩E位于区间(80,120内的概率；(2) 若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数解(1)由dN(100,100)知“=100,o=10.P(80vdW120)=P(100-20v?W100+20)=0.9544,即考试成绩位于区间(80,120内的概率为0.9544.(2)P(90v?W110)=P(100-10v?W100+10)=0.6826,.P(d>110)=

13、2(1-0.6826)=0.1587,.P(&90)=0.6826+0.1587=0.8413.及格人数为2000X0.84131683(人).易错警示系列18正态分布中概率计算错误典例：(5分)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64),贝9成绩在140分以上的考生所占的百分比为()A0.3%B0.23%C1.5%D0.13%易错分析解本题易出现的错误主要有以下两个方面：一是对正态分布的理解不深刻，不能正确地得出该正态分布的两个重要参数“和o，导致计算无从下手；二是对正态分布中随机变量在三个区间内取值的概率数值记忆不扎实，导致计算出错解析依题意，“二116,8,所以-3o=

14、92，“+3o二140,而服从正态分布的随机变量在3-3o，”+3o)内取值的概率约为0.9974，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占1-99.74%百分比约为99.74%，从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为2-0.13%.答案D温馨提醒在正态分布中,数值计算问题是高考考查的一个热点,往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误.若随机变量E服从正态分布N(“，炉)，那么随机变量乙在区间_o,+o,(p2o,+2o,(w3o,+3o内取值的概率分别约为0.6826,0.9544，0.9974，应牢记这几个概率值，在解决正态分布问题时，经常用到这类数值的计算.思想方法感

15、悟提高方法与技巧1(x-")21.熟练地掌握正态曲线的解析式(p(x)-e-匕孑,x£R.注意结构特点，特别是寸2no2o2参数o的一致性.2理解正态曲线的形状特征，如对称轴、顶点变化趋势等3.若XN(",o2)，则P("-o<XW+o)-0.6826,P("-2o<XW+2o)-0.9544,PQ-3°<XWy+3刃二0.9974.失误与防范在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是把正态分布的两个重要参数“，/求出，然后确定三个区间（范围）：3/,+刃，2/,+2刃，-3/,+3刃与已知概率值进行联系求解.练出高

16、分A组专项基础训练（时间：35分钟，满分：57分）一、选择题（每小题5分，共20分）11(xII)2已知三个正态分布密度函数0j(x)=2ne2/2"(xR，ii=1,2,3)的图象如图所示，贝()A.1<2=3，/1=/2>/3B. i>2=3，/1=/2</3C. i=2<3，/i</2=/3D.1<2=3，/1=/2</3答案D解析正态分布密度函数02（X）和03（X）的图象都是关于同一条直线对称所以其平均数相同，故叮出，又02（X）的对称轴的横坐标值比你的对称轴的横坐标值大，故有吓匕二3.又/越大，曲线越“矮胖”，/越小，曲线越

17、“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数0（x）和02（x）的图象一样“瘦高”，03（x）明显“矮胖”，从而可知/1=/2</3.2.设随机变量XN（0，/2），且P（2WXW0）=0.4，则P（0WXW2）的值是（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6答案B解析正态曲线关于直线x=0对称，P(-2WXW0)二0.4，P(0WXW2)二0.4.3.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2WXW4)=0.6826，则P(X>4)等于()A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585答案B解析由于X服从正态分布N(3,l),故正态分布曲线的对称轴为x=3.所

18、以P(X>4)=P(X<2),1-P(2WXW4)故P(X>4)=2=0.1587.4.已知随机变量N(3,22),若&2"+3,则D(n)等于()A0B1C2D4答案B解析由=2n+3,得D©=4D(n)，而D()=a2=4,.D(n)=1.二、填空题(每小题5分,共15分)5. 某中学2000名考生的高考数学成绩近似服从正态分布N(120,100)，则此校数学成绩在140分以上的考生人数约为.(注：正态总体N(“，°2)在区间2o,+2o内取值的概率约为0.954)答案46解析因为标准差是10，故在区间(120-20,12020之外的

19、概率是1-0.954，数学成绩1-0.954在140分以上的概率是一2一=0.023，故数学成绩在140分以上的人数为2000X0.023=46.6. 随机变量E服从正态分布N(1,°2),已知P(d<0)=0.3，则P(d<2)=.答案0.7解析由题意可知，正态分布的图象关于直线x=1对称所以P(d<2)=P(dv0)+P(0vd<1)+P(1vd<2),又P(0vd<1)=P(1vv2)=0.2,所以Pv2)=0.7.7. 商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布XN(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.810.2kg的

20、概率是.答案0.9544解析P(9.8<XW10.2)=P(10-0.2<XW10+0.2)二0.9544.三、解答题（共22分）8. （10分）工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4,问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间（3,5这个尺寸范围的零件大约有多少个？解XN（4,9）,=4,=3.不属于区间（3,5的概率为P（XW3）+P（X>5）=1-P（3<XW5）=1-P（4-1<XW4+1）=1-P（p-3o<XW+3o）=1-0.9974=0.00260.003.1000X0.003=3（个）,即不属于区间（3,5这个尺寸范围的零件

21、大约有3个9. （12分）某人乘车从A地到B地，所需时间（分钟）服从正态分布N（30,100）,求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率.解由”=30,o=10,P«-o<XW“+o）=0.6826知，此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.6826，又由于P-2ovXW+2o）=0.9544，所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.9544-0.6826=0.2718，由正态曲线关于直线x=30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.1359.B组专项能力提升（时间：25分钟，满分：43分）一、选择题（每小题5分，共15分）1

22、.把一正态曲线q沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是（）A. 曲线C2仍是正态曲线B. 曲线q,C2的最咼点的纵坐标相等C. 以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2D. 以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线q为概率密度曲线的总体的期望大2答案C1(x-")2解析正态密度函数为fx)二鬲记-苍厂，正态曲线的对称轴为x="，曲线最高点的纵坐标为f")二土所以曲线C向右平移2个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f")没变，从而。没变，所以方差没变，而平移前后对称

23、轴变了，即"变了，因为曲线向右平移2个单位，所以期望值"增大了2.2某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其概率密度函数为1(x80)2,(x)=迈石0°一200(xUR)，则下列命题不正确的是()A. 该市这次考试的数学平均成绩为80分B. 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C. 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D. 该市这次考试的数学成绩标准差为10答案B解析由密度函数知，均值(期望)"=80，标准差o=10，又曲线关于直线x=80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同

24、，所以B是错误的.3. 设随机变量E服从正态分布N(",°2),函数fx)=x2+4x+d没有零点的概率是2，则"等于()A.1B.2C.4D.不能确定答案C解析根据题意，函数fx)=x2+4x+d没有零点时，/二16-40，即d>4，根据正态曲线的对称性，当函数fx)=x2+4x+d没有零点的概率是2时，"=4.二、填空题(每小题5分,共15分)4. 在某项测量中，测量结果乙服从正态分布N(1,。2)(。>0).若乙在(0,1)内取值的概率为0.4,则乙在(0,2)内取值的概率为.答案0.8解析服从正态分布N(1,°2),鸞在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.：(在(0,2)内取值的概率为0.4+0.4=0.8.52010年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企