大学统计学第七章练习题及答案

1、第7章参数估计22练习题7.1从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。(1) 样本均值的抽样标准差b一等于多少？x(2) 在95%的置信水平下，边际误差是多少？解：已知b=5,n=40,x=25b5帀0.79样本均值的抽样标准差。x育-荊-盲呻，95%已知b=5,n=40,x=25,b-xZ=Z=1.96a20.025b边际误差E=Za2石7.2某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。(1) 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差；(2) 在95%的置信水平下，求边际误差；(3) 如果样本均值为1

2、20元，求总体均值卩的95%的置信区间。解.已知.根据查表得z=1.96a/2(1)标准误差：b-=2=旦=2.14XJn<49所以边际误差=za/2151.96*=4.2<493)置信区间：svn=120土15v；49*1.96=(115.8,124.2)(2).已知Za/2=1.967.3从一个总体中随机抽取n=100的随机样本，得到X=104560,假定总体标准差b=85414，构建总体均值卩的95%的置信区间。Z=1.96°2b85414Z=1.96*.=16741.144°2x:n10087818.856bX-Z.=104560-16741.144=&

3、#176;2vn=104560+16741.144=121301.144置信区间：（87818.856，121301.144）7.4从总体中抽取一个n=100的简单随机样本，得到X=81，s=12。（1）构建卩的90%的置信区间。（2）构建卩的95%的置信区间。（3）构建卩的99%的置信区间。解；由题意知n=100,X=81,s=12.（1）置信水平为1-a=90%，则Z=1.645.a2由公式X土za2=81土1.645x-4=81土1.974v100即81土1.974二(79.026,82.974)则r的90%的置信区间为79.02682.974(2)置信水平为1-a二95%，z二1.96

4、a2由公式得X土za2<n=81+1.96x12而=81土2.352即81+2.352=（78.648，83.352），则卩的95%的置信区间为78.64883.352(3)置信水平为1-a=99%，则Z=2.576.a由公式x土za2x-i=81土2.576X-=81土3.096vn100即81土3.1则r的99%的置信区间为7.5利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。（1）X=25，b=3.5，n=60，置信水平为95%。（2）X=119.6，s=23.89，n=75，置信水平为98%。（3）X=3.419，s=0.974，n=32，置信水平为90%。X=25,a=3.5,n=60

5、,置信水平为95%解：Z二1.96,a2b3.50.89Z=1.96x=a<n260置信下限aXZ-aJn2二25-0.89二24.11置信上限aX+Z-a4n二25+0.89二25.892:.置信区间为(24.11,25.89)X=119.6,s二23.89，n二75,置信水平为98%。解：Z=2.33a2sv'n2.33x竺畧二6.43475置信下限：二119.6-6.43二113.17置信上限：s二119.6+6.43二126.03置信区间为(113.17,126.03)x=3.419,s=0.974,n=32,置信水平为90%s根据t=0.1,查t分布表可得Z(31)=1

6、.645.Z()=0.2830.05Q/2.'n所以该总体的置信区间为sx±Z()=3.419+0.2835/2vn即3.419±0.283=(3.136,3.702)所以该总体的置信区间为3.1363.702.7.6利用下面的信息，构建总体均值卩的置信区间。(1) 总体服从正态分布，且已知=500，n=15，X=8900，置信水平为95%。(2) 总体不服从正态分布，且已知G=500,n=35，X=8900，置信水平为95%。(3) 总体不服从正态分布，未知，n=35，X=8900，s=500，置信水平为90%。(4) 总体不服从正态分布，未知，n=35，X=89

7、00，s=500，置信水平为99%。(1) 解：已知500，n=15，X=8900，1-95%，z=1.96a2X±z2二8900±1.96X聖二(8647,9153)aJn7152所以总体均值卩的置信区间为(8647,9153)(2) 解：已知500，n=35，X=8900，1-95%，z=1.96a2X±z2二8900±1.96X聖二(8734,9066)an352所以总体均值卩的置信区间为(8734,9066)(3) 解：已知n=35，X=8900，s=500,由于总体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差置信水平1a=90%z二1.64

8、5a2置信区间为X±z-i二81±1.645x型二(8761,9039)aJnJ352所以总体均值卩的置信区间为(8761,9039)(4) 解：已知n=35,X=8900,s=500，由于总体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差置信水平1a=99%:Z=2.58a2置信区间为x土zL二8900土2.58X聖二(8682,9118)a亦J352所以总体均值卩的置信区间为(8682,9118)7.7某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调杳他们每天上网的时间，得到的数据见Book7.7(单位:h)。求该校大学生平均

9、上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。解：已知：x=3.3167s=1.6093n=361.当置信水平为90%时，z二1.645,d2一s16093x土z=二3.3167土1.645二3.3167土0.4532咕nv362所以置信区间为(2.88，3.76)2当置信水平为95%时，z广佃,2=3.3167土1.96理93=3.3167土0.5445<36所以置信区间为(2.80，3.84)3.当置信水平为99%时，z二2.58，d2二3.3167土2.581.6093<36二3.3167土0.7305所以置信区间为(2.63，4.01)7.8从一个正态总体中随机

10、抽取样本量为8的样本，各样本值见Book7.8o求总体均值95%的置信区间。已知：总体服从正态分布，但b未知，n=8为小样本，a二0.05，t(81)二2.3650052根据样本数据计算得：x=10,s=3.46STCcC3.46“_CC总体均值卩的95%的置信区间为：X±t二10±2.365x二10±2.89，即（711，Av'n<8212.89）。7.9某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离（单位：km）数据见Book79。求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间。已知：总体服从正态

11、分布，但未知，n=16为小样本，A=0.05，t（161）=2.1310.05/2根据样本数据计算可得：X二9.375，s=4.113从家里到单位平均距离得95%的置信区间为：s4.113x土t=9.375土2.131x=9.375土2.191a/2jnjT4，即（7.18，11.57）。7.10从一批零件中随机抽取36个，测得其平均长度为149.5cm，标准差为1.93cm。（1）试确定该种零件平均长度95%的置信区间。（2）在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。解：已知b=103,n=36,X=149.5,置信水平为1-A=95%，查标准正态分布表得Z=1.9

12、6.A/2根据公式得：b丄103x±Z=149.5+1.96xA/2Jn十'36103即149.5±1.96x=（148.9，150.1）Q36答：该零件平均长度95%的置信区间为148.9150.1（3）在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。答：中心极限定理论证。如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件

13、下，样本均值也趋近正态分布，这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。7.11某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100g。现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查,测得每包重量(单位:g)见B00k711已知食品重量服从正态分布，要求：(1)确定该种食品平均重量的95%的置信区间。(2)如果规定食品重量低于100g属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。(1)已知:总体服从正态分布，但未知。n=50为大样本。A=0.05，Z=1.960.05/2根据样本计算可知X=101.32s=1.63该种食品平均重量的95%的置信区间为X±ZsF=1

14、01.32土1.96*1.6350=101.32土0.45a/2即(100.87，101.77)(2)由样本数据可知，样本合格率：p二45/50二0.9。该批食品合格率的95%的置信区间为：口ip(1-p)t1»'0.9(1-0.9),p±Z=0.9±1.96=0.9±0.08，即(0.82,0.98)a/2nV50答：该批食品合格率的95%的置信区间为：(0.82，0.98)7.12假设总体服从正态分布，利用Book7.12的数据构建总体均值卩的99%的置信区间。根据样本数据计算的样本均值和标准差如下；-b0.8706x=16.13b=0.87

15、06E=Z=2.58*=0.45冬禹5置信区间为x±E所以置信区间为(15.68,16.58)7.13一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18名员工，得到他们每周加班的时间数据见Book7.13(单位：h)。假定员工每周加班的时间服从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。解：已知X=13.56b=7.80a=0.1n=18E=Z*bivna2置信区间=无-Zb,F,a2x+Zb飞n"2'所以置信区间=13.56-1.645*(7.80/J18),13.56+1.645*(7.80/718)=10.36,16

16、.767.14利用下面的样本数据构建总体比例兀的置信区间。(1) n二44，p=0.51，置信水平为99%。(2) n=300，p=0.82，置信水平为95%。(3) n=1150，p=0.48，置信水平为90%。(1)n二44，p=0.51，置信水平为99%。解：由题意，已知n=44,置信水平a=99%,Za/2=258又检验统计量为：P+zfp(1p)，故代入数值计算得，nP+zj"(1")=(0.316,0.704)，总体比例兀的置信区间为(0.316,0.704)n(2)n=300，p=0.82，置信水平为95%。解：由题意，已知n=30。，置信水平a=95%,Za

17、/2=1.96又检验统计量为：p+z：p(1p)，故代入数值计算得，nP+zjp(1p)=(0.777,0.863)，总体比例兀的置信区间为(0.777,0.863)n(3)n=1150，p=0.48，置信水平为90%。解：由题意，已知n=1150,置信水平a=90%,Z=1.645a/2,'p(1-p)又检验统计量为：P+Z，故代入数值计算得,nP+zjpp)=(0.456,0.504),总体比例兀的置信区间为(0.456,0.504)n7.15在一项家电市场调查中，随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比例的置信区间,

18、置信水平分别为90%和95%。解：由题意可知n=200,p=0.23(1)当置信水平为1-=90%时，Z=1.645a/2；p(1p)'0.23x(1-0.23),所以p土z二0.23土1.645=0.23+0.04895aZn200即0.23+0.04895=(0.1811,0.2789),(2)当置信水平为1-a=95%时，Z=1.96a/2ip(1p)Ic,10.23x(10.23),所以p土z二0.23土1.96=0.23+0.05832a/2|nY200即0.23+0.05832=(0.1717,0.28835)；答：在居民户中拥有该品牌电视机的家庭在置信水平为90%的置信区

19、间为18.11%,27.89%),在置信水平为95%的置信区间为(17.17%,28.835%)7.16一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。他假设所有顾客月存款额的标准差为1000元,要求估计误差在200元以内,应选取多大的样本？解：已知b=1000,e=1000,1a=99%,z=2.58a/2Z2*b2由公式n=沁可知n=(2.58*2.58*1000*1000)/(200*200)=167E2答：置信水平为99%,应取167个样本。7.17要估计总体比例兀，计算下列个体所需的样本容量。(1) E=0.02，兀=0.40，置信水平为96%。(2) E二0.04，兀未知，

20、置信水平为95%。(3) E=0.05，兀=0.55，置信水平为90%。(1)解：已知E=0.02,兀=0.40,Z=2.05«/2由n=Z2兀(1兀)/E2得a/2n=2.052x0.40(10.4)十0.022=2522答：个体所需的样本容量为2522。(2) 解：已知E=0.04,Z=1.96a/2由n=Z2兀(1兀)/E2得a/2n=1.962x0.52一0.042=601答：个体所需的样本容量为601。(3) 解：已知E=0.05,兀=0.55,Z=1.645a/2由n=Z2兀(1兀)/E2得a/2n=1.6452x0.55x0.45一0.052=268答：个体所需的样本容

21、量为268。7.18某居民小区共有居民500户，小区管理者准备采取一向新的供水设施，想了解居民是否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。(1) 求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间，置信水平为95%。(2) 如果小区管理者预计赞成的比例能达到80%，应抽取多少户进行调查？(1)已知：n=50Z=1.96a2根据抽样结果计算的样本比例为P=32/50=60%根据(7.8)式得：:IP±Jpop)=64%土1.96J64%(1-64%)'n'50即64%±12.63%=(51.37%,76.63%)答：置信区间为(51.37%

22、，76.63%)(2)已知兀=80%E=10%Z=1.96a14则有：_Z2只*兀(1兀)_1.962*0.8(10.8)n=2=E20.1262答：应抽取62户进行调查7.19根据下面的样本结果，计算总体标准差b的90%的置信区间。（1）X二21，s二2，n二50。（2）X二1.3，s二0.02，n二15。（3）X二167，s二31，n二22。aa解：已知1a=90%，a=10%,一=0.05,1=0.95221）查表知x2（n一1）=67，x2（n一1）=34a1a212(n1)s2由公式x2a2(n1)s2x21a2得i'(501)*22<|(50-1)*22得67<

23、34，解得(1.72，2.40)2)查表知X2(n1)=23.6848，a2x2(n1)=6.570631a2(n1)s2由公式x2a2<b2<(n一1)s2X21a2得；'(15-1)*0.022得t23.6848<b<,'(151)*0.0226.57063，解得(0.015，0.029)3)查表知X2(n一1)=32.6705，a2x2(n1)=11.59131a2(n1)s2由公式x2a2<b2<(n一1)s2X21a232.6705<b<i'(221)*312-11.5913，解得(24.85，41.73)7.2

24、0顾客到银行办理业务时往往需要等待一些时间，而等待时间的长短与许多因素有关，来自总体1的样本来自总体2的样本n=141X=53.21X=43.42s2=96.81s2二102.021)求片-巴的9°%的置信区间。2)求叮巴的95%的置信区间。3)求片-巴的"的置信区间。比如，银行的业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取了10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间（单位：min）见

25、Book7.20（1）构建第一种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。（2）构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。（3）根据（1）和（2）的结果，你认为哪种排队方式更好？7.21从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：7.22从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表:来自总体1的样本来自总体2的样本X=251X=232s2=161s2=2021)设n=n=100，求12H295%的置信区间。2)设n=n=10，2=Q2，求H-H的95%的置信区间。1212123)设n=n=10，2HQ2，求H-H的95%的置信区间。1212124)设n=10,n=20，Q2=Q2，求H-H的95%的置信区间。1212125)设n=10,n=20，12Q21HQ2，求H-H的95%的置信区间。2127.23Book7.23是由4对观察值组成的随机样本。（1）计算A与B各对观察值之差，再利用得出的差值计算d