函数单调性的判断或证明方法

1、函数单调性的判断或证明方法.（1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是取值，设“已°且作差，求孑（心）-了色；变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；定号，判断了Ud的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论;下结论，根据函数单调性的定义下结论。/w=例1判断函数ax7+1在（一1,+）上的单调性，并证明.解：设一1XX2，a叼则fgfg尸一尹axx(花-1-1)(al+1)-(巧+1)显+1)*.*1<X<x，12.*.xx0,x+1>0，x+1>0.1212当a>0时,f(x)f(x)0,即f(x)f(x),12

2、12°函数y=f(x)在(一1,+)上单调递增.当a0时，f(x)f(x)0,即f(x)f(x),1212函数y=f(x)在(一1,+)上单调递减.f（x）=x+-（p>0）r_m_r.Im例2证明函数在区间和上是增函数；在所以了佃）-/（;叨0,所站缶）了区）所以了（对在（o,亦止为减函数。飯诉匕佝上为减函数。（增两端，减中间）则如"小+紀亍（r心詁因为心-呵gga,旦V所以1旦、0所以轧所以了佃）-/（心）0所以/佃）5心）同理，可得弘）在（-唱-拓止为増函数,在-需比为减函数。（2）运算性质法. 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数,增

3、函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数（增+增=增减+减=减；增-减=增，减-增=减） 若艸）兰0贝匕与TT厉具有相同的单调性./（X）恒为正（或恒为负）吋，了与丄有相反的单调性 当函数函数了何与好（成0叭二者有相同的单调性，当沐时二者有相反的单调性。运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。例3.求函数/W=-+lJl的单调区间。解：(-co,-所以函数的单调增区间为2减区间为诗叽何(4)复合函数法.(步骤：求函数的定义域；分解复合函数；判断内、外层函数的单调性；根据复合函数的单调性确定函数的单调性

4、若集合M是内层函数肚二曲的一个单调区间，则姒便是原复合函数，二力或力的一个单调区间，如例4；若M不是内层函数肚二呂的一个单调区间，则需把M划分成内层函数”二莒的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数卩二川烈叩的单调区间，如例5.)设"他，七山，"心都是单调函数，则厂血(型在血列上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：解原函数是由外层函数戸；叫和内层函数-y-22复合而成的;易知是外层函数尹f阪的单调增区间;令扩2,解得5取值范围为ZTf_-|iu（）K2_由于l

5、-0-盯是内层函数2的一个单调减区间，于是便是原函数的一个单调区间；fco11根据复合函数“同增异减”的复合原则知，''是原函数的单调减区间。厂一例5求函数亡的单调区间.4.刀二_2_o解原函数是由外层函数肚和内层函数复合而成的;尹二土易知和都是外层函数厘的单调减区间;令盘二严齐-2c0，解得龙的取值范围为（一12结合二次函数的图象可知不是内层函数探亠一工2的一个单调区间，但可以把区间卡划分成内层函数的两个单调子区间弓和卩，其中出是其单调减区间，时是其单调增区间;于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知，弓是原函数的单调增区间'£习是原函数的单调减区间。同理，

6、令厲*-£-"0,可求得ZT）是原函数的单调增区间，河是原函数的单调减区间。综上可知，原函数的单调增区间是ET）和?1，单调减区间是和它冋5）含参数函数的单调性问题.小30己知函数/二吃色当氏工測，讨论函谿单调性°例设（先分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.）解：由题意得原函数的定义域为（S）U（-1制cb时,即b-心耐，函娄好（x）二伽+"在卜込一+OQ）当上为减函数;Qb时，即B-acO时，函数f（x）二伽+"在（-co,-1）,（-1+co）当上为增函数。（6）抽象函数的单调性.（抽象函数问题是指没有给出解

7、析式，只给出一些特殊条件的函数问题）常采用定义法.要充分利用已知条件，对变量进行合理赋值，并结合函数单调性的定义进行证明。例I已知函数了X）对任意实数畫，均有了（工+刃=了工）+了®）.且当兀0时,，（珀o,试判断了懐）的单调性，并说明理由.解析：设2用R,且®5,则心眄0,故7（心心）0. 7（也）了（小）=/。2-心）+羽了（工1） =7（也忑1）+了（工11了（巧）=伦-血）0.了（工1）了（乳2）.故了刃在（00,+旳）上为增函数.例2.设f（x）定义于实数集上，当五"时，'k）Al,且对于任意实数X、y,有求证:畑在R上为增函数。证明：在八（工+刃二代仍仞中取=7=0，得/（0）=/（0）2若/（Q）=o,令忑严。,则）=Q,与矛盾所以了（0）工0,即有了二1当匸気时，Z®当