§412 拉普拉斯变换与傅氏变换的关系

1、北京邮电大学电子工程学院 2003.1 4.13X 演演变变为为拉拉氏氏变变换换作作傅傅氏氏变变换换对对其其乘乘以以一一个个衰衰减减因因子子可可积积条条件件不不满满足足绝绝对对是是针针对对时时我我们们在在引引出出拉拉氏氏变变换换 , e , , ttf )(e)()(jstsFtutfFtfL 由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系右右半半平平面面收收敛敛边边界界落落于于时时当当 , 00s 左左半半平平面面收收敛敛边边界界落落于于时时当当s,00 收收敛敛边边界界位位于于虚虚轴轴时时当当,00 引言X傅氏变换与拉氏变换的关系 tsj双双边边拉拉氏氏变变换换

2、tsj傅傅氏氏变变换换 ts0j单边拉氏变换单边拉氏变换0)(0 tft当当0 )j(estutfFtfLt X一Oj平平面面右右半半边边收收敛敛边边界界落落于于时时当当 , 00s )0()(e)( tutft ssF 1 : 其其拉拉氏氏变变换换。求求不不存存在在，不不能能由由)()()(FsFF : 收敛域收敛域Ot tuteX二Oj Ot tut e平平面面左左半半边边收收敛敛边边界界落落于于时时当当s,00 )0()(e tutft衰减函数，傅氏变换是衰减函数，傅氏变换是存在存在: : 1ssF j1)(jF :收收敛敛域域 ssFFj)(j X三收收敛敛边边界界位位于于虚虚轴轴时时

3、当当,00 异函数项。异函数项。因为傅氏变换中包括奇因为傅氏变换中包括奇关系关系之间不再是简单的置换之间不再是简单的置换与与是存在的，是存在的，,sFFsF tutf ， 1ssF j1)()(j F例如：例如： 当初求阶跃函数的傅氏变换，不是用当初求阶跃函数的傅氏变换，不是用经典法经典法( (定义式定义式) )，而是用，而是用取极限取极限的方法（矩形脉冲的周期的方法（矩形脉冲的周期为无穷大）引入了为无穷大）引入了冲激函数冲激函数而得到的。而得到的。 ?jFsF求求那那么么如如何何由由X)(j,j)()(为为极极点点nnnnsksFtfL )(| )()(j nnsksFtfF ：，将将其其展

4、展开开成成部部分分分分式式出出发发由由 sF对于只有对于只有一阶一阶极点的情况，极点位于极点的情况，极点位于虚轴虚轴 ?FsF求求那么如何由那么如何由 ssF j 代代中以中以 . , j ksn而冲激函数之强度为而冲激函数之强度为点相对应点相对应每个冲激函数与每个极每个冲激函数与每个极处处每个一阶极点位于每个一阶极点位于激之和：激之和：一系列冲一系列冲 （4-162） 则则X证明根据变换的惟一性根据变换的惟一性 nnnsksFj)( ntntukFFn)(ejj 线性，卷积定理线性，卷积定理 nnnkj1)()(221 nnnnnnkk)()j(1 nnnsksF)(| )(j )(j)()(FtfsF ntntuktfn)(e)(j ntntuFFkn)(e21jX四总结 对于对于有起因有起因信号，求信号，求单单边拉氏变换中，一般是边拉氏变换中，一般是t0的信号，所以收敛域在收敛轴的信号，所以收敛域在收敛轴右右边。对边。对F(s)分解因式，分解因式，找出极点。收敛域中不应有极点，最找出极点。收敛域中不应有极点，最右右边的极点为收敛边的极点为收敛坐标坐标。 :)(j的的关关系系和和FsF nnnsksFF j 则则 ssFFsj0, 0 则则平面的左半平面