DSP习题和解答(精)

1、非标准答案，仅供参考！简答题非绿色部分的自己组织答案！y(n)为输出。1、设系统差分方程为y(n)=ay(n-l)+x(n)，其中x(n)是输入，当y(0)=0时，试判断系统是否是线性时不变的。解：按照线性是不变系统定义判断。由题意可归纳出y(n)=n_1_ix(i)i=0n对于线性时不变系统应有线性性：Talxl(n)+a2x2(n)=alyl(n)+a2y2(n)时不变性：Tx(n-k)=y(n-k)对于y(n)=n-1-ix(i)，分别验证是否满足线性性和时不变性。i=0nTalxl(n)+a2x2(n)=an-1-ialxl(i)+a2x2(i)i=0n=Yan-1-ialxl(i)+

2、an-1-ia2x2(i)=alyl(n)+a2y2(n)i=0i=0nn故知满足线性性。Tx(n-k)=a(n-k)-1-ix(i)=y(n-k)i=0n-k故知满足时不变性。所以该系统是线性时不变系统。y(n)为输出。2、设系统差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n)，其中x(n)是输入，当y(0)=0时，试判断系统是否是线性时不变的。3、用FFT来分析信号的频谱，若已知信号的最高频率为fh=1.25kHz，要求频率分辨率为厶FS5Hz，试确定：(1) 采样间隔T；(2) 采用基-2FFT的最小样点数N，以及与此相对应的最小记录长度；(3) 按您确定的参数所获得的实际分辨率。解：(1)

3、由那奎斯特采样定理知fC2fH=2x1.25kHz=2.5kHz，且fC=T，所以T4x10-5s。(2)归一化角频率与物理角频率的关系=QT，其中T为采样周期，自然有1Aro=AQT，且AQ=2nxAF，由频域采样理论知Aro=2nN，最终得到：Aro=2nN=2nxAFT=2nx5xTnN=(5T)显然，当T越大N越小，故而此处取T=4xl0-5s,上式后得到N=5xlO3。而FFT要求N是2K,大于5000且是2K的最小正整数为8192。知最小样点数为8192，而记录的最小长度为5000。(3)Aro=2nN=2nxAFT,确定的T=4x10-5s,N=8192，算出实际分辨率AF=3.

4、05Hz，满足要求。4、证明当FIR系统的单位抽样响应满足h(n)=h(N-1-n),且N为奇数时，该系统具有线性相位。N-1是偶对称的。为了证明欲证将h(n)向左平移2N-1N-1)，知h(n)是关于原点偶对称的。h(n)的DTFT个单位得到h(n)=h(n+22为证明：h(n)=h(N-1-n)是关于H()=Yh(n)en=-N-12N-12-jn=Yh(n)cosen-jsin(n)=Yh(n)cosnn=-N-12n=-N-12N-12N-12显然，H)是实数。h(n)=h(n+N-1N-1N-1)的)uh(n-)=h(n),那么h(n-222傅里叶变换就是h(n)傅里叶变换，且N-1

5、Fjh(n-)fe2N-12H()=H(e)其中H(w)是h(n)的傅里叶变换。由于H()是实数，所以H()的相位函数就是-N-1,显然是线性相位。故而得证欲证。5、简述滤波器的功能；IIR与FIR数字滤波器的各有什么优缺点。答：滤波器功能它允许信号中位于通频带内的频率分量通过而位于阻频带内的频率分量被滤除或衰减，实现人为的对信号的滤波，对相位也产生影响。IIR是因果无限长冲击响滤波器，他的优点是在阻带中的旁瓣更低幅频特性精度高，缺点是没有线性相位。FIR是有限长冲击响滤波器，他的优点是具有线性相位，缺点是旁瓣高幅频特性精度低6、试用频率抽样法设计一个FIR线性相位数字低通滤波器。已知解：c=

6、0.5n,N=51，在通频带内频率样本取1,在阻频带内样本取0,过渡带取Hrkl=2,11丿II0k=0,1,.12k=13k=14,15,.252n)kG(k)=(-1)Hrklk=0,1,.120.511312nkl1)1h(n)=1G(0)+2G(k)cosn+II51L51k=1且h(n)=h(N-1-n)，代入有关数据即可得结果。7、画出4点2DIT-FFT运算流图，并计算其复数乘次数。解：x(0x(2x(lx(3X(0)X(l)X(2)X(3)复数乘法计算：N41og2N=log24=4。228、设x(n)为实数序列，DFT点数为N,分别写出DFT和基2FFT计算的表达式，并分别计

7、算出DFT与基2算法中的乘法次数和加法次数。(减法看成加负数)2kn解:DFT计算公式X(k)=x(n)WN,其中加法次数为N(N-l),乘法次数NoN-1n=0k(IF1(k)+WNF2(k)FFT计算公式X(k)=l，kIlF1(k)-WNF2(k)其中加法次数为Nlog2N，乘法次数Nlog2No29、某随机相位余弦波g(t)=Acos(ct+e)，其中A和roc均为常数，0是在(0,2n)内均匀分布的随机变量。(1) 求g(t)的自相关函数与功率谱密度；(2) 讨论g(t)是否具有各态历经性。解：(1)g(t)的自相关函数疋(T)=EA2cos(Qctl+0)cosQc(tl+T)+0

8、A2=2n功率谱密度P(Q)=Jrg(T)e02n-jQtJ2n0A2cos(Qctl+e)cosQc(tl+T)+ede=cos(QcT)2A2cosQcTe-jQTdT=nA22dT=J2n(2)集合平均诞(t)=EAcos(Qct+G)=JAcos(Qct+G)02nie=02n时间平均pZ(t)=limltlA()AcosT+edT=limcosctcose=0c2-ttf2tJtfw2t2tc圧二诞，故而是各态历经的。10、求随机相位余弦波X(t)=acos(wct+申)的功率谱密度(已知其相关函数为A2R(t)=cosct)。2解：由于自相关函数是单频的，故可以直接得到功率谱密度P

9、(Q)=nA2P(Q)=JR(T)e02n-jQtdT=J2nOA2cosQcTe-jQTdT=nA2211、简述经典功率谱估计与参数模型功率谱估计的各自特点。答：经典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，其分辨率反比于有效信号长度方差性能不好。参数模型功率谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱，其分辨率可以不受限制方差性能好。Pq12、若用差分方程y(n)=Ya(k)y(n-k)+b(k)x(n-k)实现一个具有单位采样k=1k=1响应h(n)的滤波器，为了实现一个具有单位采样g(n)=(-1)h(n)采样的系统，这n个差分方程应

10、作如何修改？解：方法一、H(z)=-n()hnz，则有：工Pn=ay(n)=Yaky(n-k)+bkx(n-k)nH(z)=k=1k=1qpZbzkk=1qk=l-k1-akz-kn=ah(n)z(l),-n令z=eejpj，则(1)式可以写成为：-jpk-jekbekepH(z)=1-ake-jpke-jrokk=1k=1qn=a-jpn-jen()(2),hneeg(n)=(-l)h(n)=ejnnh(n)，则:G(z)=n=aZg(n)z-nn=aeh(n)ejnn+.-jpn-jrone=n=a-jpn-j(e兀)n()(3),hnee比较(2)、(3)两式可得：G(z)=n=aEh(

11、n)e-jpn-j(ro-兀)ne=Zbekk=1qk=1-jpk-j(-兀)k1_Yake-jpke-j(s_n)k，对(4)式进一步整理得：G(z)=(-1)bkek=1qk=1-jpk-jrok=-k(T1-E(-1)ake-jpke-jrok1-(-1)akz-kk=1k=1q(5)，由(5)式可得：y(n)=Y(-l)aky(n-k)+Y(-l)bkx(n-k)kkk=1k=1qp上式就是最终结果。方法二、在方法一中直接应用z不进行z=ejpej替换处理也可证明欲证。13、简述频谱泄露的原因以及目前国内外对幅值谱进行校正的方法。答：频谱泄露是由于采样频率和信号频率的不同步，造成周期采

12、样信号的相位在始端和终端不连续。（1）利用插值FFT方法减少频谱泄露；（2）利用频率同步装置减少频谱泄露；（3）利用采样频率自适应软件算法减少频谱泄露。14、数字信号处理中的量化误差主要有哪些方法？IIR滤波器的三种网络结构在量化误差中有何特点？15、采用FIR窗口法设计DF时，常用的几个窗函数及其特性如下表所示。窗函数旁瓣峰矩形窗-13三角窗-25汉宁窗-31-41阻惜址小iUE/dB过渡带-21词N-25昭N-44唧沖-538/jV现需要设计满足下列特性的LPF滤波器，通带截止频率fc=1kHz，阻带边界频率fs2kHz，抽样频率Fs=16kHz，通带最大波动Ap20dB。请回答下列问题：

13、（1）你选择什么窗函数？为什么？（2）窗函数长度N如何选择？（3）如果需要确保实际得到的滤波器的fc值准确，则你选择开窗前的理想滤波器的（数字域截止频率）等于多少？解：（1）阻带衰耗绝对值As20dB，可知四种窗函数均可选择。选择矩形窗，因为在所有满足阻带衰耗的窗口中矩形窗过渡带最窄，自然N最小。最后验证选择矩形窗是可行的（自己验证，我没有去验证）。（2）rop=2nxfpFs=2nxf2n1n=，s=2nxs=2nx=，贝UFs164168Aro=ros-rop=n8,查表知矩形窗的过渡带为4nN,所以可以求出N为：A=4nn=nN=32N8经过验证，可知N=32满足各项指标。（3）c=ep+s2=3n1616、数字信号处理中的量化误差主要有哪些方法？IIR滤波器的三种网络结构在量化误差中有何特点？17、正交变换主要分为哪几类，各类都有什么特点及应用范围？答：1、非正弦类正交变换：主要指WHT,Haar,SLT等，这类正交变换在运算时不需要乘法，所以广泛应用于图像编码与数据压缩。2、正弦类正交变换：主要包括：DFT,DCT等，这类正交变换在应用是需要乘法，同时由于具有硬件乘法器的高速DSP芯片的问世使得正弦类正交变换在正交变换中起着主导地位。3、K-L变换：该变换去除信号中的相关性最为彻底，且有着最佳统计特性，因而被称为“最佳变换”。它被广泛应用于图像压缩去噪。1