2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第一篇 代数 第4章 方程组试题1 新人教版

1、2019-20202019-2020 年初中数学竞赛专题复习第一篇代数第年初中数学竞赛专题复习第一篇代数第 4 4 章方程组试题章方程组试题 1 1 新新人教版人教版4.1.1已知关、的方程组分别求出当为何值时，方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解，解析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程的形式进行讨论，但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零.由式得，将代入得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)当，即且时，方程有唯一解，将此值代入有，因而原方程组有唯一一组解当，且时，即时

2、，方程无解，因此原方程组无解.当且时，即时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解评注对于二元一次方程组，(、为已知数，且与，与中都至少有一个不为零)(1)当时，方程组有唯一的解bc-bcx二LI-ab-ab1221ac-acy二ab-ab1221(2)当时，原方程组有无穷多组解(3)当时，原方程组无解4.1.2对、的哪些值，方程组至少有一组解？解析由原方程可得即(1)当时，方程有唯一解，从而原方程组有唯一解(2)当，时，方程有无穷多个解，从而原方程组也有无穷多组解综上所述，当且为任意数，或且时，方程组至少有一组解4.1.3已知关于、的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0.

3、当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解解析 1 根据题意，可分别令，代入原方程得到一个方程组：解之得3将，代入原方程得(a-1).3+(a+2)-(-1)+5-2a=0.所以对任何值都是原方程的解评注取为的是使方程中，方程无项，可直接求出值；取的道理类似解析 2 可将原方程变形为a(x+y2)(x2y5)=0.由于公共解与无关，故有解之得公共解为414已知，且，求的值解析已知代数式中含有、三个字母，而等式只有 2 个，在一般情况下是不可能求出、的具体值来的因此，可以把已知条件中的视为常数，得到关于、的方程组，从而找出、与的关系，由此可求出其值把已知等式视作关于、

4、的方程，视作常数，得关于、的方程组解得因为，所以，于是(2z)2+6-z10z2I2丿3-(2z)24-z2+5z2k2丿415若、的值满足方程组求的值解析由+得，即由得：.把代入得：解得，把代人得:，所以方程组解为原式=24+4x22x12+5x14=37.4.1.6当取何值时，关于、的方程组有正整数解2ax=2+解析解方程组得所以，是被 3 除余 2 的整数._a+1y=a+2+.3-2a、“2+三 1,由3“得.所以，a+1a+2+三 1x2+6y210z23x24yz+5z24.1.7为何值时，方程组（1）当，即时，原方程组有唯一解（2）当，即时，原方程组无穷多组解；（3）由于，故方程

5、组不可能无解.4.1.8若方程组的解满足，求的值.解析将代入原方程组，得所以，.4.1.9甲、乙二人同时求的整数解.甲求出一组解为而乙把中的 7 错看成 1，求得一组解为求、的值.解析把，代入，得.把，代入，得.解方程组得4.1.10甲、乙两人解方程组由于甲看错了方程中的以而得到方程组的解为乙看错了方程中的而得到的解为假如按正确的、计算，求出原方程组的解.解析因为甲只看错了方程中的，所以甲所得到的解应满足无的正确的方程，即.同理，应满足正确的方程，即.解由、联立的方程组得所以原方程组应为解之得4.1.11已知方程组无解,、是绝对值小于 10 的整数，求、的值.解析因为方程组无解的条件是参照这个

6、条件问题便可解决.原方程组可化为因为方程组无解，所以有，所以，且，因为，所以，又因为是整数，所以，0，1，2，3，相应地，-6，-3，0，3，6，9.所以，当时，原方程组无解.4.1.12已知关于和的方程组3x+4y=-5,5x+6y=-9,（n-8m）x-8y=10,5x+（10m+2n）y=-9有解，求的值.解析首先解方程组得到，代入原方程组中后两个方程，得到1再解上面关于和的方程组，得到，.4.4.13已知，求的值.解析根据题意有a+b_1ab2a+c1_,ac5b+c_1be4-+-_&ab22一，5m-H 三 1.I2解得.因为是整数，所以.将代入和式,、的值均为正整数.故.

7、4.1.15*解方程组解析因为表示两个方程，即和，或者和，或者和，所以原方程组实际上是由三个方程组成的三元一次方程组，将原方程组改写为3160 x_y=2x+3y-4z=-7,3=2,3直仝=22由方程得，代入化简得由得得所以，将代入，得.将代入，得所以x=2,y=-1,、z=2为原方程组的解评注本题解法中，由、消去时，采用了代入消元法；解、组成的方程组时，若用代入法消元,无论消去还是消去，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中的系数是一正一负，且系数的绝对值较小这一特征，采用加减消元法较简单4.1.16已知xyz求的值.解析-消去得，即.消去得，即.消去得，即.所以，即为所求.4.1.

8、17解方程组fx-y-z=5,y-x-z=1,zxy=-15.解析将+，得.由+得，.由+得，.由+得，.所以，原方程组的解为x=7,y=5,z=-3,f123一+一xyz1-6-5=0,=0.x+y+z=1,y-z+u=2,4.1.18*解方程组z-u+v=3,u-v+x=4,v-x+y=5.解析注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程1+得，2+得，3+得，4+得又+得.一一得，把代入得，把代入得，把代入得，把代入得.所以x0,y=6,z7,u3,v-1为原方程组的解.4.1.19解方程组=11,xyx5xy解析得，由得，代入得，代入得.再把，代入得，所以x=5,10

9、z=33为原方程组的解.解析 2 令，则原方程化为1+1-2xyx-4,A+B+2C=-4,AB+4C=11,A+2B=5.解得，即x=5,10z=33为原方程组的解，评注解法 1 称为整体处理法， 即从整体上进行加减消元或代人消元(此时的“元”是一个含有未知数的代数式， 如、 等)； 解法 2 称为换元法， 也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程4.1.20*解方程组x(y+zx)=392x2,y(z+xy)=522y2，z(x+yz)=782z2.解析原方程组可化为+y+z)=39,+y+z)=52,i+y+z)=78.+得故.将分别代入、，得原

10、方程组的解为x=3,2y=4,2z=6.24.1.21解方程组5x一y+3z=a,5y-z+3x=b,5z-x+3y=c.解析消去、，得，所以.由，得由，得所以，原方程组的解为2a+bc142b+ca142c+ab144.1.22*解方程组(x(x(xyzx=3,1y=4,1z=6,x+2y=5,y+2z=&z+2u=11,u+2x=6.x=5-2y,解析有原方程得 r=82z,z=11-2u,u=6一2x.所以x=5x2y=52(82z)=11+4z=11+4(112u)即，解之得，将代入得将代入得将代入得.所以原方程组解为x=1,y=2,z=3,u=4.4.1.23解方程组r111

11、+=二,xy+z2111_+=；,yz+x3111+=.、zx+y4解析先把各方程左边通分，再对每个方程两边取倒数，并设，则原方程可化为rxy+xz=2k,yz+yx=3k,zx+zy=4k.+，得.用分别减去、，可得1kxy=k,25kyz=2k，3kzx=k.2显然，.由上面三式易得，又，所以则有，所以所以，原方程组的解为（经检验）23x=102323z=.24.1.24*解方程组xy+x2,x+y+1xz+2xc厶x+z+2(y+l)(z+2)=4.、y+z+3解析原方程可变形为111xy+2111xz+3111+y+1z+24解得，.所以，方程组的解为2419z=22.4.1.25*解

12、方程组1x+y+zx=,21y+z+xy=2,1z+x+yz=.2解析得，则把式代入、，整理分别得3y+2y2+x+2xy2一2x2y=1，得若，由式得解得将代入式，得.若，同理，将，代入式得分解因式得故（，）为（，2，）、（2，）（，2）综上，共有 5 组解Iy=i,x2-2xy-y2+x-2y+4=0与Iy=一2,x2一2xy一y2+x一2y+4=0,得原方程组的解-1+V6-2+V6一2+V6222一2-V6一2-V6-2-晁222，2，）（2，）（，2）4.1.26*解方程组2x2+4xy-2x-y+2=0,3x2+6xy-x+3y=0.解析得解方程组得4.1.27*解方程组2x2-4

13、xy+y2+2x-y+2=0,x22xyy2+x2y+4=0.（解析得所以，.解方程组4.1.28*解方程组解析由得，所以或.因此，原方程组可化为两个方程组与解两个方程组得原方程组的解为评注方程组至少有一个方程可以分解为一次方程时，可用因式分解法解 4.1.29*解方程组解析由得，即，所以或.所以或.分别解下列两个方程组得原方程组的解为x=-J13,x=713,313413y=J713;y=-/13.313413评注如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解4.1.30*解方程组解析原方程组可变形为得(x+y)2+2(x+y)=10+6：2.令，则所以，即或.32当

14、时，代入得解方程组可得，；，当时，代入得.而方程组无实数解 综上所述， 方程组的解为评注由于一般的二元对称式总可以用基本对称式和表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用和作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组4.1.31*解方程组解析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式由得.将代入，得，所以.由、可得基本对称方程组于是可得方程组的解为 4.1.32*解方程组解析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程，从而使方程降次化简.，再因式分解得所以或.解下列两个方程组得原方程组的四组解为10104.1.33解方程组解析 1 用换元法.设则有1丄J5A-9+7B=6,2VA+1J5B-9=6,2即并平方得=4A+5B-9+4pA(5B-9),整理得A-B=4C5AB-9A5AB-9B),所以4R_4(5AB-9A-5AB+9B)5AB-9A+45AB-9B，化得(A-B)C5AB-9A5AB-9B+36)=因为v5AB-9A+0,因此解方程组得经检验，适合方程