2019-2020年高中数学 1.1 空间几何体 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球课堂探究 新人教B版必修2

1、2019-2020年高中数学1.1空间几何体1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球课堂探究新人教B版必修2探究一概念辨析题(1) 对于旋转体，必须清楚直角梯形必须绕其垂直于底边的腰旋转才能形成圆台；直角三角形必须绕直角边旋转才能形成圆锥；圆柱是由矩形绕其一边旋转而形成的几何体，类比棱台的定义，圆台也可以看作是一个圆锥被一个平行于底面的平面所截得的(2) 对于组合体我们要弄清楚它是由哪几个简单的几何体组合而成的，尤其对于旋转体先要看清所选取的旋转轴，再结合圆柱、圆锥、圆台和球的定义加以判断【典型例题1】(1)下列说法中正确的是()A. 圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的氏圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的

2、C.圆柱不是旋转体D.圆台可以看作是由平行于底面的平面截一个圆锥而得到的解析：根据旋转体的定义及圆锥与圆台的内在联系易知D正确.答案：D(2)如图，由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个几何体，下面说法不正确的是()A. 该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B. 该组合体仍然关于轴l对称C. 该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D. 该组合体中的球和半球只有一个公共点解析：旋转180°后形成的组合体是由一个圆锥、一个球体、一个半球、一个圆柱和一个圆台组合而成，故选项A不正确.答案：A探究二简单旋转体的计算问题(

3、1) 对于圆柱的性质，要注意以下两点：一是轴线垂直于圆柱的底面；二是三类截面的性质平行于底面的截面是与底面全等的圆，轴截面是一个由上、下底面圆的直径和母线组成的矩形、平行于轴线的截面是一个由上、下底面圆的弦和母线组成的矩形.(2) 对于圆锥的性质，要注意以下两点：一是两类截面平行于底面的截面是与底面相似的圆，过圆锥的顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形；二是圆锥的母线1、高h和底面圆的半径R组成一个直角三角形.有关圆锥的计算，一般归结为解这个直角三角形，往往会用到关系式12=h2+R2.(3) 对于圆台的性质，要注意以下两点：一是圆台的母线共点，所以由任意两条母线

4、确定的截面为一等腰梯形，但是与上、下底面都相交的截面不一定是梯形；二是圆台的母线l、高h和上底面圆的半径r、下底面圆的半径R组成一个直角梯形，且有12=h2+(Rr)2成立，有关圆台的计算问题，常归结为解这个直角梯形.【典型例题2】轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱的轴截面面积为16cm2，求其底面周长和高.思路分析：作出圆柱的轴截面，建立轴截面边长和圆柱底面半径、高之间的关系，进而求解问题.解：如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD,由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为rcm，则AB=AD=2r.其面积S=ABxAD=2rX2r=4r2=16，解得r=2.所以其

5、底面周长C=2nr=2nX2=4n(cm)，高2r=4(cm).点评解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的基本量：底面半径、高(母线)与轴截面矩形之间的关系，注意在轴截面矩形中的一边长为圆柱的高，另一边长为圆柱的底面直径.【典型例题3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台的上、下底面半径的比是1：人，截去圆锥的母线长是1°,求圆台的母线长.解：作原圆锥的截面图如图所示，设圆台的母线长为1,截得圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x，Xx,根据相似三角形的性质得：=，所以1=1°(X1).点评圆锥平行于底面的截面是一个圆面，过圆锥的顶点作的截面是一个等腰三角形，利用相似三角

6、形的理论来求解圆台母线的长，体现了将立体几何问题转化为平面几何问题处理的基本思想探究三组合体问题组合体问题中常见的主要是切接问题，解决此类问题关键要画出组合体的核心截面，并保证截面图能搭建起两个或多个几何体的内在联系，能反映出各个几何体的核心元素，这样就将立体几何问题的计算归结为平面几何问题的计算【典型例题4】若圆锥的轴截面是一个面积为cm2的正三角形，那么其内切球的半径为()A. 4ncmB.6cmC.cmD.ncm解析：轴截面如图所示，设正三角形SAB的边长为acm,圆0,的半径为Rcm,贝VXXa=,所以a=6.又S+S+S=,S0,BS0,AA0,B所以3XX6XR=.所以R=.故选C

7、.答案：C【典型例题5】一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x的内接圆柱.(1) 用x表示圆柱的轴截面面积S.(2) 当x为何值时，S最大？思路分析：考虑应用轴截面中的平行关系列比例式解决.解：(1)根据题意作截面图如图所示，设内接圆柱的底面圆半径为r,由已知得=,所以r=.所以S=2x=X2+4x，其中0VxV6.4(2)当x=2=3时，S最大.2x(-3)点评涉及立体几何中的最值问题,一般是设出变元,利用函数思想来解决探究四球中的计算问题解决有关球的问题时常用到如下性质：(1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直(2)如果分别用R和r表示球的

8、半径和截面圆的半径，用d表示球心到截面的距离，则R2=r2+d2.球的有关计算问题，常归结为解这个直角三角形问题.【典型例题6】已知A,B,C是球0上的三点，AB=10,AC=6,BC=8,球0的半径等于13,则球心0到AABC所在小圆的距离为.思路分析：本题考查了球的性质及截面的性质应用，同时考查了学生识图能力和运算能力.解答本题的关键是AB为小圆的直径.解析：因为AB=10,AC=6,BC=8,所以ABC为Rt且AB为点A,B,C所在小圆的直径.所以r=5轴截面图如图,所以d2=R2r2=13252=122,所以d=12答案：12探究五易错辨析易错点：不理解球面距离的含义而致误【典型例题7

9、】设地球半径为R,在北纬45。圈上有A,B两地，它们的纬线圈上的劣弧长等于R,求A,B两地间的球面距离.错解：如图所示，A,B是北纬45。圈上两点，0为此纬线圈的圆心，易知ZAO'B所对的劣弧的长为所求球面距离故A,B两地间的球面距离为R.错因分析：没有理解A,B两地间的球面距离是过A,B两点的大圆在A,B间的劣弧长度正解：如图所示，A,B是北纬45。圈上的两点，A0,为此纬线圈的半径，所以00丄A0，00丄B0.因为Z0A0z=Z0B0z=45°,所以AO=BO'=OAcos45°=R.设ZAO'B为a则A0，=R=R,所以a=90.连接AB,则A

10、B=R.在AAOB中，AO=BO=AB=R,则厶AOB为正三角形，所以ZA0B=60°.所以A,B两地间的球面距离为=R.2019-2020年高中数学1.1空间几何体1.1.4投影与直观图自我小测新人教B版必修21. 晚上放学后,当你走路回家经过一盏路灯时,你会发现自己的身影是()A.变长B.变短C.先变长再变短D.先变短再变长2. 如果图形所在的平面不平行于投射线,那么下列说法正确的是()A.矩形的平行投影一定是矩形B.梯形的平行投影一定是梯形C.正方形的平行投影一定是矩形D.正方形的平行投影一定是菱形3. 如图所示,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形,则原来图形的形

11、状是()4A.y=x+lB.y=x1C.y=2x+2D.y=2x2利用斜二测画法，作出直线AB的直观图如图所示，若O,A，=O,B，=1,则直线AB在平面直角坐标系中对应的函数表达式是()5.6.三条线段中(A.最长的是AB,C.最长的是AB,一个水平放置的平面图形的直观图是个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，如图所示，是水平放置的三角形的直观图，D为AABC中BC边上的中点，则AB,AD,AC则该平面图形的面积等于(A.B. 1C. 1D. 27.如图所示，矩形A，B，CD，是水平放置的图形ABCD的直观图，其中A，B，=6,ADz=2,则图形ABCD的形状为8. 已知正三

12、角形ABC的边长为a,那么ABC的平面直观图的面积为-9. 给出下列说法： 正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1：2，有一内角为45°； 水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形; 水平放置的不等边三角形的直观图是不等边三角形； 水平放置的平面图形的直观图是平面图形写出其中正确说法的序号10. 用斜二测画法画出图中水平放置的四边形0ABC的直观图.11. 用斜二测画法画出底面边长为4cm，高为3cm的正四棱锥（底面是正方形，并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥）的直观图.12. 如图所示，在水平放置的平面a内有一个边长为1的正方形A，

13、B，CD',其中对角线A，C，在水平位置.已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积.参考答案1. 解析：由中心投影的性质知，身影先变短后变长.答案：D2. 解析：结合平行投影的性质去判断.答案：B3. 答案：A4. 解析：由直观图还原规律可得A，B在平面直角坐标系中的位置如图所示.令函数表达式为y=kx+b.将A(1,0)，B(0，2)代入上式得解得故函数表达式为y=2x2.答案：D5. 解析：逆用斜二测画法把直观图还原，原图还原后为ZB是直角的直角三角形，如图,则AB为一条直角边，从图上可以看出，AC>AD>AB.答案：B6.

14、 解析：建立如图所示的坐标系x0,y，,梯形为A，B，CD，.所以梯形A，B，C，D，的底A，B，=1+,对应还原到xOy中图形为下图.梯形为直角梯形ABCD,所以AB=A，B，=l+,AD=2A，D，=2,DC=D，C，=l.所以S=(CD+AB)XAD=(1+1+)X2=2+，故选D.答案：D7. 答案：菱形8. 解法一：实际图形和直观图如图所示，根据斜二测画法规则可知，A，B，=AB=a，0，C，=0C=a，作CD丄A，于点D,=OZC'=a.=XaXa=a2.所以AA'BzC的面积=AB，CD解法二：由于该正三角形面积为S=a2,所以由公式S'=S可得其平面直观

15、图面积S'=a2=a2.答案：a29. 解析：对于，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴,由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长的比不为1：2；对于，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于，只要坐标系选取的恰当，水平放置的不等边三角形的直观图可以是等边三角形.答案：10. 解：如图所示.画x轴，y轴，两轴相交于点O'，使Zx'O'y'=45°,x'轴，y'轴与xOy坐标系中对应轴的单位长度相同.(2)在乂'轴上取点H,使O'H=3,作HA'y'轴，并取A'H=1，在y'轴上取C',使O'C'=1，在x'轴上取B'，使O'B'=4.顺次连接O',A',B',C',便得到四边形OABC的直观图O'A'B'C'.11. 解：(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD,使ZBAD=