2017北京市海淀区高中二年级下学期期中数学(理)试卷

1、2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分1.（4分）复数1-'.：及的虚部为（）2. （4分）】xdx=（）J0A.0B.C.1D.-1223. （4分）若复数Z,z2在复平面的对应点关于虚轴对称，且Z=1+i,则Zz2=（）A.-2B.2C.-2iD.2i4. （4分）若a，b,c均为正实数，则三个数a+，b+丄，c+丄这三个数中不小于2的数（）bcaA. 可以不存在B.至少有1个C.至少有2个D.至多有2个5. （4分）定义在R上的函数f（x）和g（x）,其各自导函数f，（x）f和g'（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x

2、）-g（x）极值点的情况是（）A只有三个极大值点，无极小值点B. 有两个极大值点，一个极小值点C. 有一个极大值点，两个极小值点D. 无极大值点，只有三个极小值点6. （4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2-a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A.1B.-C.D.丄或-丄22227. （4分）函数y=ex（2x-1）的大致图象是（）8（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同

3、学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级试问：丙同学所在的社团是（）A.楹联社B.书法社C.汉服社D.条件不足无法判断二填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. （4分）在复平面，复数导对应的点的坐标为_.i10. （4分）设函数f（x）,g（x）在区间（0,5）导数存在，且有以下数据:x12fx）23f(x)34g(x)31g'(x)24则曲线f（x）在点（1,f（1）处的切线方程3424141123；函数f（g（x）在x=2处的导数值是11.（4分）如图，f（x）=1+sinx,则

4、阴影部分面积是12.（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0,0）,（4,8）,（8,0）,（12,8）四个点，试用“，=,V”填空：f-巩刀刃-f（刃13.（4分）已知平面向量a=（X,yx）,b=（x2，y2）,那么a>=x1x2+y1y2；空间向量于（x】，yx，z】）,b=（x2，y2.z2）,那么a>=x1x2+y1y2+z1z2.由此推广到n维向量：=（ax，a2，,an）,b=（b1?b2，b）,那么日b=.214.（4分）函数f（x）=ex-alnx（其中aR,e为自然常数） maR,使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线； 对VaV0,函数f（x）的导函数f（x

5、）无零点； 对VaV0,函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是.（写出所有正确的结论的序号）三解答题：本大题共4小题，共44分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （10分）已知函数f（x）=X3-3x2-9x+2（I）求函数f（x）的单调区间；（口）求函数f（x）在区间-2,2上的最小值.16. （10分）已知数列an满足a1=1,an+1+an=：石！-H，n$N*.（I）求a2，a3，a4；(口)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明.17. (12分)已知函数f(x)=x-(a+1)lnx-皀，其中aR.x(I)求证：当a=1时，函数y=f(x)没有极值点；(口)求函数

6、y=f(x)的单调增区间.18. (12分)设f(x)=et(x-i)-tlnx,(t>0)(I)若t=1，证明x=1是函数f(x)的极小值点；(口)求证：f(x)三0.参考答案与试题解析一选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分1【解答】复数1-<3i的虚部为-極.故选：D.2【解答】抄寺2|沽故选：B3【解答】复数Z、z2在复平面的对应点关于虚轴对称，Z=1+i,z2=-1+i./.zxz2=-(1+i)(1-i)=-2.故选：A4【解答】假设a+,b+丄，c+丄这三个数都小于2,bcaa+b+丄+c+L<6bcaVa+b+2+c+L=（a+丄）+（b+丄）+（c+）

7、±2+2+2=6,bcaa这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5【解答】F(x)=f，(x)-g，(x),由图象得f'(x)和g(x)有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故xe(-，a)时，F'(x)VO，F(x)递减,xe(a，b)时，F'(x)>0，F(x)递增，xe(b，c)时，F'(x)VO，F(x)递减，xe(c，+«)时，F'(x)>0，F(x)递增，故函数F(x)有一个极大值点，两个极小值点，故选：c.6【解答】由题意，f'(x)=丄,g'(x)=2ax,T函数f(x)=lnx与函

8、数g(x)=ax2-a的图象在点(1,0)的切线相同，*.l=2a，:a=L,故选C.7 【解答】y'=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),令y'=0得x=-寺，当xV-丄时，y'VO,当x时，y'>0,22y=ex(2x-1)在(-g,-丄)上单调递减，在(-丄，+*)上单调递增，22当x=0时，y=eo(0-1)=-1,函数图象与y轴交于点(0,-1)；令y=ex(2x-1)=0得x=,f(x)只有1个零点x=,22当x时，y=ex(2x-1)V0,当x时，y=ex(2x-1)>0,22综上，函数图象为A.故选A.8 【解答】假设乙在高一

9、,则加入“汉服社”,与(2)矛盾,所以乙在高二,根据(3),可得乙加入“书法社”,根据(1)甲同学没有加入“楹联社”,可得丙同学所在的社团是楹联社,故选A.二填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9【解答】复数耳=-1-i在复平面对应的点的坐标(-1,-1).ii2故答案为：(-1,-1).10.【解答】f'(1)=3,f(1)=2,曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是y=3x-1,f(g(x)'=f'(g(x)g'(x),x=2时，f'(g(2)g'(2)=3X4=12,故答案为y=3x-1；1211【解答】由图象可得S&quo

10、t;；("sinx)dx=(X-COSX)1-=n-cosn-(0-cosO)=2+n故答案为：n+212【解答】(1)由函数图象可知=,=2,2244二f(4)-玖R(刃.(2)Tf(x)在(4,8)上是减函数，在(8,12)上是增函数，穿(6)V0,f(10)>0,穿(6)Vf，(10).故答案为(1)>,(2)V.13【解答】由题意可知b=a1b1+a2b2+a3b3+.+anbn.112233nn故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+.+anbn14【解答】对于，函数f(x)=ex-alnx的导数为f'(x)=ex-皂，设切点为(m,f(m),贝Ve=e

11、m-皂，em=em-alnm,可取m=1,a=0,贝归aR,使得直线y=ex为函数f(x)的一条切线，故正确；对于，VaV0,函数f(x)的导函数f'(x)=ex-皀，由x>0,可得f'(x)>0,则导函数无零点，故正确；对于，对VaV0,函数f(x)=ex-alnx,由f(x)=0,可得ex=alnx,分别画出y=ex和y=alnx,(aV0)的图象，可得它们存在交点，故f(x)总存在零点，故正确.故答案为：.三解答题：本大题共4小题，共44分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15【解答】(I)f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),令f

12、'(x)=0,得x=-1或x=3,当x变化时，f'(x),f(x)在区间R上的变化状态如下:x(-1(-1,3)1)f'(x)+0-f(x)极大3(3,+x)0+极小刁所以f(x)的单调递增区间是(-x>,-1),(3,+*)；单调递减区间是(-1,3)；(口)因为f(-2)=0,f(2)=-20,再结合f(x)的单调性可知，函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-20.16【解答】(I)由题意ax=1,a2+a=i2,a3+a2=i3-1,a4+a3=2-.'2解得：a2=T2-1,a3=T3-i2,a4=2-;3(口)猜想：对任意的nGN*,ann-石

13、匸I, 当n=1时，由a=1=iT-i'匸I，猜想成立. 假设当n=k(kGN*)时，猜想成立，即ak=ik-'k-1则由ak+1+ak+l-血二，得ak+1=佰！-血，即当n=k+1时,猜想成立,由、可知，对任意的ngn*,猜想成立，即数列an的通项公式为an=.石-i百.17【解答】(I)证明：函数f(x)的定义域是(0,+-).当a=1时，f(x)=x-2lnx-,K函数f'(x)=三0,所以函数f(x)在定义域(0,+*)上单调递增，所以当a=1时，函数y=f(x)没有极值点；(口)f'(x)=1-空1L+亠,xe(0,+-)令f'(x)=0,得

14、X=1,x2=a, aW0时，由f'(x)>0可得x>1,所以函数f(x)的增区间是(1,+-)； 当0VaV1时，由f'(x)>0,可得0VxVa,或x>1,所以函数f(x)的增区间是(0,a),(1,+-)； 当a>1时，由f'(x)>0可得0VxV1,或x>a,所以函数f(x)的增区间是(0,1),(a,+-)； 当a=1时，由(I)可知函数f(x)在定义域(0,+*)上单调递增.综上所述，当a<0时，函数y=f(x)的增区间是(1,+*)；当0VaV1时，所以函数f(x)的增区间是(0,a),(1,+*)；当a=1时，函数f(x)在定义域(0,+*)上单调递增；当a>1时，所以函数f(x)的增区间是(0,1),(a,+*).18【解答】证明：(I)函数f(x)的定义域为(0,+*),(1分)若t=1，则f(x)=ex-1-lnx,f'二/T丄.(2分)因为f'(1)=0,.(3分)且0VxV1时，/二，即f'(x)V0,所以f(x)在(0,1)上单调递减；(4分)x>1时，/二，即f'(x)>0,所以f(x)在(1,+-)上单调递增；(5分)(6分)所以x=1是函数f(X)的极小值点；（7分）(II)函