2019学年高中数学新人教A版必修4教案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)

1、3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)教案一、教学分析1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究 具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的 . 在这些公式的推导中，教科书都把对照、 比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较COS(a - 3)与 COS(a + 3),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即a+3=a-(-3)的关系，从而由公式 C(a-3)推得公式 C(a+3)，又如 比较 Sin(a-3)与 COS(a-3)，它们包含的角相同但函数名称不同

2、，这就要求进行函数名的 互化，利用诱导公式(5)( 6)即可推得公式 S(a-3八Sa+3)等2. 通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解 因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力， 发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义 3. 本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆 本节几个例子主要目的是为了训练学 生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯

3、，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进 行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式， 使用公式时要具备什么条件等 .另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过 程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、 正切公式 ,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生 的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力 .2过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的

4、求值、化简、恒等证明，使 学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题 解决问题的能力 .3情感态度与价值观： 通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应 用意识，提高学生的数学素质 .三、重点难点教学重点： 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导 .教学难点： 灵活运用所学公式进行求值、化简、证明 .四、课时安排2 课时五、教学设想第 1 课时(一)导入新课思路 1. ( 旧知导入 ) 教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写 在黑板上或打出幻灯片 ,注意有意识地让学生写整齐 . 然后教师引导学生

5、观察 COS(a-3)与 COS(a+3)、 Sin(a-3)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(a+3)、Sta-3)、Sa+3)本节课我们共同研究公式的推导及其应用思路 2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若 sina二三，a(0,二),cos3(0,二)，求52102cos(a-3),cos(a+3)的值.学生利用公式C(a一3)很容易求得 COS (a-3),但是如果求 COS (a+3)的值就得想法转化为公式C(a-3)的形式来求，此时思路受阻，从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.(二)推

6、进新课、新知探究、提出问题1还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来2在公式 Ca-3)中，角3是任意角，请学生思考角a-3中3换成角-3是否可以？此时观察角a+3与a-(-3)之间的联系，如何利用公式Ga-3)来推导 COs(a+3)=?3分析观察 Ca+3)的结构有何特征？4在公式 Ca-3八Ga+3)的基础上能否推导sin(a+3)=?si n(a-3)=?5公式 S(a-3八S(a+3)的结构特征如何？6对比分析公式Ca-3)、Ca+3)、Sa-3)、S(a+3)，能否推导出 tan(a-3) = ?tan(a+3 )=？7分析观察公式 T(a-3)、T(a+3)的结构特征

7、如何？8思考如何灵活运用公式解题？活动：对问题，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式， 点拨学生思考公式中的a,3既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法 呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(a-3)与 cos(a+3)中角的内在联系，学生有的会发现a-3中的角3可以变为角-3，所以a-(-3)=a+3也有的会根据加减运算关系直 接把和角a+3化成差角a-(-3)的形式.这时教师适时引导学生转移到公式Ga-3)上来,这样就很自然地得到cos(a+3)=cosa-(-3)=cosacos(-3)+sinasin(-3)=cosacos3-sinasi

8、n3.所以有如下公式：cos(a+3)=cosaCOS3-sinasin3我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作Ca+3).对问题，教师引导学生细心观察公式Ca+3)的结构特征，可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式Ca-3)进行记忆，并填空：cos75 =cos(_)=_=_ .对问题，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到 两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到 利用诱导公式来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin2a+cos2a=1 来互化， 此法让学生 课下进

9、行),因此有JIsin(x+3)=cos-(a+3)】=cos(-a)-3】22nJI=cos(-a)cos3+si n(-a)sin322=sinacos3+cosasin3.在上述公式中，B用-3代之，则sin(a - 3)=si na+(-3)=si nacos(-3)+cosasi n(-3)=sinacos3-cosasin3.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(a+3八Sa-3).sin(a+3)=sinacos3+cosasin3，sin(a-3)=sinacos3-cosasin3对问题，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会

10、本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美为强化记忆，教师可让学生填空，如 sin(0+ $ )=_ ,2兀5兀2兀5nsin cos + cos sin =_.7777对问题，教师引导学生思考，在我们推出了公式Ga -3)、Ca+3)、Sa+3八 S(a-3)后，自然想到两角和与差的正切公式， 怎么样来推导出 tan(a-3)=?,tan(a+3)=?呢？学生很容易想 到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来.+3)=sin(a)二sincoicos sincos(a +P)cosacosPsi n

11、asi nP由此推得两角和、差的正切公式，简记为T(a-3八T(a+3)tan(a+3)=-1 - tana tan Ptan(a-3)=喻：-喻1 1 + tana tan P对问题，让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中导学生分析公式结构特征，加深公式记忆对问题，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得Ca+3八 S(a+3)、T(a+3)叫和角公式；Sa-3)、8 -3)、T(a-3)叫差角公式并由学生归纳总结以上六个公式的推 导过程，从而得出以下逻辑联系图可让学生自己画出这六个框图通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式同时教师应提醒学生

12、注意：不仅要掌当 cos(a+3)丰0 时，tan(a如果 cosacos3工 0,即 cosa丰0 且 cos3丰0 时，分子、分母同除以 cosacos3得tan(tan：亠a+3)=1一tan：tan(J，据角a、3的3用-3代之，则tan(tan：tan(-：)a-3)=.1 - tanot tan(-P)tan：-tan：的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知,a3都不能等于JI-+kn(k Z)，并引23的取值是任意握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用如两角和与差的正切公式的变形式(三)应用示例思路 13HHH土亠例1已知 sina=,a是第四象限角，求 sin( a),co

13、s( +a),tan( a)的值.5444活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要 求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中,要先求出 cosa,tana的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学 生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成二a)=S in Lcosa-cousina =2 4一二444252510点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯3解:由 sina =5,a是第四象限角，得cosa=1 - sin

14、2a =.i5)2si n a3-tana=cos a44 4 5 5tana+tan3=tan(a+3)(1-tanatan3),tana-tan3=tan(a - 3)(1+tanatan3),在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当 tana, tan3或 tan (a3)的值不存在时，不能使用T(a3)处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(二-3)，因为 tan 二的值不存在,2 2所以改用诱导公式tan(二-3)=叫一叱来处理等.2cos)sin：于是有 sin(JIHcos( +a)=cos cosa

15、-sin44JIsin4(-3)257 210Jitan(a-)=JItan a tan4亠14_1 ta nata n1 tan a1 (-？)44tan a -1变式训练1.不查表求 cos75 ,tan 105 的值.解: cos75 =cos(45 +30 )=cos45 cos30 -sin45 sin302.设a (0,),若 sina=3,则 2sin(a+一 )等于()254717A.B.C.-D.4552答案：A例 2 已知 sina :2:-,a ( ,n),cosB 323,B (n,43:土).求 sin(a-B),cos(a+2B),tan(a+B).活动：教师可先让

16、学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学 生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式 S(a-B八Ga+B)、T(a+B)应先求出 COSa、sinB、tana、tanB的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号 解：由 Sina=2,a (上，n)，得3213TT又由cos3 = ,B (n ,-).32sinB =_訥_cos2P= _1 (_3)2=44a-B)=sinacosB-cosasinB cos(a+B)=cosacosB-sinasinB=( -二)X(-3)-23433 52.712点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的

17、还是让学生熟练掌握公式的应 用，训练学=3x (W(12tan105 =tan(60+45)=tan 60tan451一tan60 tan45=-(2+ .3).cosa = -sin2a=-2.55tan(a+B)=-675+5/7二-325 + 27巧15 2 3517sin(生的运算能力变式训练引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识30解：设电视发射塔高 CD=x 米，/ CAB=x，贝Usina=一 ,67在 Rt ABD中, tan(45 +a)=X二30tana.30于是 x=30tan(452)_30,tana1+1tan (45+a)=1中怕n吧_

18、2=3,1 -ta no1 1_2. x=303-30=150(米).1例 3 在厶 ABC 中，si nA一3(0 A45 ),cosB一5(45 B90 )，求 si nC 与 cosC 的值.513活动：本题是解三角形问题，在必修5 中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问 题的路子教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件解：在 ABC 中,A+B+

19、C=180 , C=180 -(A+B).34又Tsi nA 一一且 0 A45 , cosA一一.55512又TcosB=5且 45 B 1,则厶 ABC 是 ()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰非直角三角形又Tsin_30a一,67JI60 x1a(0,),cosa ,tana 26722答：这座电视发射塔的高度约为150 米.思路 2例 1 若 si n（ +a）= ,cos（ 工-3）=,且 0atB ,求 COS（a + 3）的值.4134544活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻 辑思维能力很有价值尽管学生思考时有点难度

20、，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可 直接给出解答对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找 所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪 个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确 定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键学生完全理清思路后,教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等如教师可变换a,3角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值=5x3-(_1

21、2)x(一4)=一33.13513565本题是典型的变角问题，即把所求角利用已知角来表示，实际上就是化归思想变式训练3 :兀JI3 :Va+32n,V3-V-22444n5cos(a+3)=,cos(3-):_5413JI兀cos(a+ )=cos(a+3)-(3-)】44JI=cos(a+3)cos(3-)+si n(a+3)sin(3-)444、/ /531256=x(-)+(-)x- = 51351365答案：C解： /0aJI3二3二3二3VV an4444又已知3 -53sin(+a)=,cos(-3)：_141345 cos(3二+a)=-12JI)=-4,si n( -34134

22、5:+(a+3):=sin2：(34+a)-(=sin(+a)COs(兀-3)-cos(4+a)sin(.这需要巧妙地引导，充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力已知a,3(,n),sin(43二(,n),sin(4、3a+3)=一,sin(53a+3)=_ ,sin(3- _)= _3-工)=12,求 COs(a+巴)的值.4134:、12413Tt JT-30,24 cos(a+3)=sin例 2 化简Sn (a-B)+sin (P-日)+si n(8-a). sin a sisin P sin日sinTsina活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先 让学生自己独立地探究，然后进行讲评3 :JI/ si n(a+B)=-cos(+a+B)=-cos(一 +B)-(-a门2443二JI3兀兀=-cos(+B)cos(-a)-sin(+B)sin(a)4444/ 1235456()x-x(-)=:-13513565解: 原式=sin acos ?cosasin :sin asin :sin : cos：- cos：sinvsin 0 sinlsinv cosacos：sinasin v sinasi