【高教版】中职数学拓展模块：1排列与组合优秀教学设计

1、管理资源吧(),海量管理资源【课题】3.1排列与组合(一)【教学目标】知识目标：理解排列的定义，掌握排列数的计算公式.能力目标：学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高.【教学重点】排列数计算公式.【教学难点】排列数计算公式.【教学设计】复习两个计数原理，一方面它是复习回顾，另一方面是做好衔接，为下面的问题及排列数的计算奠定基础.一个排列元素是不可重复的.也就是说，利用排列研究问题时，元素是不可以重复选取.对于元素可以重复选取的问题是直接应用两个计数原理计算的问题.排列的概念中有两个要素.一个是不同的元素，另一个是一定的顺序.从n个不同元素中，取出m(mwn)个不同元素的所有

2、排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的排列数，用符号pm表示.采用这个符号是执行国家的新规定.有些教材中使用符合Am表示.例2是巩固排列数公式的题目.例3与例4是排列的实际应用题.其中例3是基础题，解题关键是搞清原来不同元素的个数、取出不同元素的个数、是否有序.例4是综合利用计数原理与排列知识的题目.讲解时要注意进行数学方法的渗透.首先考虑特殊元素或特殊位置，然后再考虑一般元素或位置，分步骤来研究问题，这种研究方法是本章中经常使用的方法.排列数的计算一般的数字都是比较大，比较麻烦，采用计算器来完成计算非常便捷.教材介绍了利用计算器计算排列数的方法.【教学备品】教学课件.【课时安排】

3、2课时.(90分钟)【教学过程】教学过程教师学生教学意图时问*揭示课题3.1排列与组合.介绍了解0教学教师学生教学时过程向向意图问*创设情境兴趣导入基础模块中，曾经学习了两个计数原理.大家知道：(1)如果兀成一件事，日N尘方式.第类方式后ki种方法，第一类方式后k2种方法，第n类方式后kn种方法，那么完成这件事的方法共有N=k1+k2+kn(种).(3.1)(2)如果完成一件事，需要分成N个步骤.完成第1个播放观看引导课件课件启发步骤有ki种方法，完成第2个步骤有k2种方法，完成第质疑思考学生n个步骤有kn种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事得出才能完成，那么完成这件事的方法共有结果N=

4、1k2kn(种).(3.2)卜面看一4"可题：在北京、重庆、上海3个民航站之间的直达航线，需要准备多少种小同的机票？这个问题就是从北京、重庆、上海3个民航站中，每次取出2个站，按照起点在前，终点在后的顺序排列，求不同的排列方法的总数.首先确定机票的起点，从3个民航站中任意选取1个，有3种不同的方法；然后确定机票的终点，从剩余的2个民航站中任意选取1个，有2种不向的方法.根据分步计数原理，共后3X2=6种小同的方法，即需要准备6种小同的H机票：15北星重庆，北星上海，重庆北星，重庆上海，上海一北星,上海一重庆.*动脑思考探索新知总结思考引导我们将被取的对象(如上面问题中的民航站)叫做兀

5、素，归纳学生上面的问题就是：从3个不向兀素中，任取2个，按照一定的发现顺序排成一列，可以得到多少种不同的排列.分析理解一般地，从n个不向兀素中，任取m(mwn)个兀素，按照解决一定的顺序排成一列，叫做从n个不向兀素中取出m个兀素的一个排列，m<n时叫做选排列，m=n时叫做全排列.关键词语记忆问题方法20*巩固知识典型例题例1写出从4个兀素a,b,c,d中任取2个兀素的所有用E观察歹U.引领注息分析首先任取1个元素放在左辿，然后在剩余的元素中观察任取1个兀素放在右辿.讲解思考学生解所有排列为说明是否教学过程教师向学生向教学意图时问ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da.

6、db,dc.主动求解理解知识【说明】点如果两个排列相同，那么不仅要求这两个排列的兀素完全相同，而且排列的顺序也要完全相同.25*动脑思考探索新知从n个不同兀素中，取出m(mwn)个兀素的所后排列的个数，叫做从n个不向兀素中取出m个兀素的排列数，用符号Pm表小.例1中，从4个兀素a,b,c,d中任取2个兀素的的排列数为戌.可以看到*12.下面研究计算排列数的公式.计算Pnm可以这样考虑：假定何E列顺序的m个空位(如图31)第1位第2位第3位第m位总结思考启发归纳引导图3-1铲步，从n个元素中任选1个元素，填到第1个位置，有n中方法；学生发现解决第二步，从剩余的n1个兀素中任选1个兀素，填到第2问

7、题个位直，有n1种方法；的方第三步，从剩余的n2个兀素中任选1个兀素，填到第3法个位置，有n3种方法；第m步，从剩余的n-(m1)个元素中任选1个元素，填到第m个位置，有nm+1种方法；根据分步计数原理，全部填满空位的方法总数为n(n1)(n2)(nm+1).由此得到，从n个不同兀素中任取m(mwn)个兀素的排列数Pm为仔细理解rm，八，一、Pn=n(n1)(n2)(nm+1)(3.1)分析讲解其中，m,nWN，且mwn.公式(3.3)叫做排列数公关键式.词语教学过程教师向学生向教学意图时问当m=n时，由公式(3.3)得匕=n(n-1)(n-2)-3X2X1.(3.4)正整数由1到n的连乘积，

8、叫做n的阶乘，记作n!.【说明】规定0!=1即n!=n(n-1)(n-2)-3X2X1.因此公式(3.4)还可以写成P：=n!(3.5)一地，Pnm=n(n-1)(n-2)|Kn-m+1)_n(n-1)(n-2)|(n-m+1)1112M1(n_m“|2M1n!记忆（n一m）!因此，当mvn时，公式（3.3）还可以写成pm-n!/qeIn(3.6)(n-m)!40*巩固知识典型例题【例题】例2计算P2和P：解P2=5X4=20,P：=4=4父3M2M1=24.例3小华准备从7本世界名著中任选3本，分别送给甲、乙、丙3位同学，每人1本，共有多少种选法？分析选出3本/、同的书，分别送给甲、乙、丙3

9、位同学，书的不同排序，结果是不同的.因此选法的种数是从5个不同兀素中取3个元素的排列数.解/、同的送法的种数是P73=7父6M5=210.即共用210种小同送法.引领讲解说明引领分析观察思考主动求解观察思考注思观察学生是否理解知识点教学过程教师向学生向教学意图时问说明公式（3.3）与公式（3.6）都是计算排列数的公式.计算排列数，通常使用公式（3.3）;进行有关排列数的证明与研究通常使用公式（3.6）.例4用0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的3位数？分析因为百位上的数字不能为0,所以分成两步考虑问题.第一步先排百位上的数字；第二步从剩余的数字中任取2说明理解学生个数排列.自我解

10、所求二位数的个数为发现PP2=9父(9父8)=648.归纳【说明】象例4这样，“首先考虑特殊兀素或特殊位置，然后再考引领思考虑一般兀素或位置，分步骤来研究问题”是本章中经常使用的方法.讲解主动55说明求解*动脑思考探索新知【计算器使用】仔细思考启发利用计算器，可以方便地求出任意一个正整数的阶乘.以计分析引导算4!为例，计算方法是：输入数字4,然后依次按键SHIFT、fx!"|、=,显示24.即4!=24.讲解学生关键发现利用计算器，可以方便地计算排列数.以计算P；为例，计词语解决算方法是：输入数字6,然后依次按键SHIFT|、nPr,然问题后输入数字3,按键=,显示120.即p3=1

11、20.记忆的方法60*运用知识强化练习及时1.填空了解(1)已知P2=56,那么n=.提问动手学生（2）用1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的巡视求解知识二位数，共后个.指导掌握2.在A,B,C,D四个候选人中，选出正副班长各一个，情况65选法的种数是多少？*理论升华整体建构思考阱回答下面的问题：回答师生质疑共同排列数计算公式的内容是什么？理解归纳结论：强调从n个不向兀素中任取m（m<n）个兀素的排列数Rm为归纳强化重点70教学过程教师向学生向教学意图时问pm=n(n1)(n2)-(nm+1)强调*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆75*自我反思目

12、标检测培养本次课米用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？提问反思反学过思习程用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位巡视动手的能85数，其中偶数有多少个？指导求解力*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题3.1(必做)；学习指导3.1(选说明记录分次求层要做)(3)实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真止埋解有美知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通

13、过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】3.1排列与组合(二)【教学目标】知识目标：理解组合的定义，掌握组合数的计算公式.能力目标：学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高.【教学重点】组合数计算公式.【教学难点】组合数计算公式.【教学设计】组合与排列的区别是，组合与顺序无关.因此判断是排列问

14、题还是组合问题的关键是看元素是否有序.从n个不同元素中取m(mwn)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号Cm表示.组合数的计算公式及组合数的性质中，教学重点是组合数计算公式和性质1.利用它们可以方便地计算组合数.例5是组合数计算问题.例6是组合的实际应用.与排列数的计算一样，教材介绍了利用计算器计算组合数.【教学备品】教学课件.【课时安排】2课时.(90分钟)【教学过程】教学过程教师向学生向教学意图时问*揭示课题3.1排列与组合.介绍了解0*创设情境兴趣导入在北京、重庆、上海3个民航站的直达航线之间，有多少种不同的飞机票价(假设两地之间的往返票价和舱

15、位票价是相同的)：飞机票的价格后如卜二种：北与重庆(重庆北东)北与上海(上海北东)北庆上海(上海重庆)这个问题，是从3个不同的兀素中任取2个，不管是怎样的顺序总认为是一组，求一共有多少个不问的组.播放观看引导一M地，从n个不同的兀素中，任取m(mwn)个小同兀课件课件启发素，组成一组，叫做从n个不同兀素中取m个不同兀素的一个学生组合.质疑思考二地之间/、向的H机票价种数，就是从3个小同兀素中，得出取出2个小同兀素的所用组合的个数.结果：组合问题与排列问题的区别是：从n个不向兀素取m(m<n)个兀素的一个组合，与m个兀素排列的顺序无关，而从n个不同兀素中取m(m&n)个兀素的一个排

16、列，与m个兀素的排列顺序有关.15*动脑思考探索新知一般地，从n个不同兀素中取m(mwn)个不同兀素的所后组合的个数，叫做从n个不同兀素中取出m个不同兀素的组合数，用符号Cm表示.下面我们通过研究计算C：的方法来研究组合数的计算公式.我们用两种不同的方法来计算p3.方法1：P3=4X3X2.方法2:从4个小同兀素中取3个小同兀素的一个排列，可以分两步完成.第一步，从4个不同兀素中取3个兀素组成一组，后C；种取法；第二步，对每一组中的3个不同兀素进行全排列.教学教师学生教学时过程向意图问根据分步计数原理，得p3=c；国所以C3一£L/4一3!类似地，可以得到组合数的计算公式.一般地，求

17、从n个小同兀素中取m(mwn)个小同兀素的总结归纳思考引导学生组合数为心P：n(n-1)(n-2).Cn-_m-,Pmm!.(n-m+1)(3.7)发现解决问题方法由十Dm_n!om_nmlom一，、，'n-nl-'m,(n-m)!故组合数公式还可以写作cm=n(m!(n-m)!3.8)-4-U4*、.一其中n,m=N,并且m<n.可以证明，组合数具有如下性质(证明略):性质1Cm=C；R(mWn).利用这个性质，当m>口时，通过计算2C：H可以简单得分析理解至UCm的值，如18_2048C20C20c220M194=2！=190.关键词语记忆性质2Cm十=Cm+C

18、；(mwn).性质2反映出组合数公式中的m与n之间存在的联系.35*巩固知识典型例题例5计算C；、C：和c0.引领观察注思解c4-c7-Pl-73!M6M535;3!讲解说明一思考主动求解观察学生是否理解教学过程教师向学生向教学意图时问n4_P4_4xsx21知识-1-点C44!4!八。5!5!Cc-1V/50!(5-0)!5!1,说明一般地，可以得到C；1eI)en=工例6圆周上有10个点，以任意三点为贝点圆圆内接三角形，一共可以画多少个？分析只要选出二个点二角形就唯一确定，与二个点的排列顺序无关，所以是计算从10个不同兀素中取3个兀素的组合数问题.解可以画出的圆内接三角形的个数为ex鳖”s

19、o个.3!即可以画出120个圆内接三角形.说明公式(3.7)与公式(3.8)都是计算组合数的公50式.计算组合数，通常使用公式(3.3);进行有美组合数的证明与研究通常使用公式(3.6).*动脑思考探索新知【计算器使用】利用计算器可以方便地计算组合数.以计算e6为例，计算仔细分析讲解关键思考引导学生发现解决方法为：输入数字6,依次按键SHIFT、叵,然后输入数字记忆问题2,按键口,显示15.即e6=15.词语方法60*运用知识强化练习1 .计算卜列各数：(1) C2;(2)e5;(3)e3；(4)e10，提问动手及时了解学生2.6个朋友聚会，每两人握可1、次,一共握手多少次？巡视求解知识3.从

20、3,5,7,11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不相等的积？指导掌握情况65*理论升华整体建构思考阱回答下面的问题：组合数计算公式的内容是什么?质疑回答理解师生共同归纳结论：归纳强化强调重点70教学过程教师向学生向教学意图时问从n个不同兀素中任取m(m<n)个兀素的组合数Cm为强调心Pnmn(n-1)(n-2).(n-m+1)»nm-Pmm!*归纳小结强化思想引导回忆本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？75*自我反思目标检测培养本次课米用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？提问反思反学思习你的学习效果如何？过程1学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3巡视

21、动手的能门，共有多少种不问的选法,指导求解力2现有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，多少种小同的选法？85*继续探索活动探究(1)读书部分：教材说明记录分层次要(2)书面作业：教材习题3.1(必做)；学习指导3.做)(3)实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题1(选求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真止埋解有美知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的

22、想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善叶倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】3.1排列与组合（三）【教学目标】知识目标：利用排列数组合数计算公式解决简单的应用问题.能力目标：学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高.【教学重点】排列与组合的综合应用.【教学难点】排列与组合的综合应用.【教学设计】实际应用过程中，要注意区分以下3点：（1）元素是否允许重复.元素不允许重复的是排列与组合问题；元素允许重复的是直接应用计数

23、原理的问题.（2）元素是否有序.有序是排列问题，无序是组合问题.（3）是否需要分类或分步骤来进行研究.例7是简单的排列与组合训练题.要注意分清是排列问题还是组合问题.例8是产品检验的抽样计算问题，是组合应用的典型问题.在题目的说明中，介绍了对立事件.例9是照相排队问题，是排列应用的典型问题.要注意“先考虑特殊元素或特殊位置，再考虑一般元素或位置”这种分步骤研究方法的使用.例10是排列组合综合应用问题.“先取出元素，然后再安排”是这类问题的典型方法.例11元素可以重复，不是排列与组合问题，直接应用分步计数原理计算.【教学备品】教学课件.【课时安排】2课时.(90分钟)【教学过程】教学过程教师向学

24、生向教学意图时问*揭示课题3.1排列与组合.介绍了解1*巩固知识典型例题例7从5名学生中，选出2名学生.(1)去参加一个调查会，有多少种小同的选法？引领观察注思观察学生是否理解知识点(2)担任两项不同的，作，有多少种不同的选法？分析两个人参加一个调查会，是无序的，是组合问题；两个人担任两项不同的工作，是启序的，是排列问题.解(1)不问的选法共有25M4C5=10(种).52X1讲解说明思考主动求解_2_.一一，(2)不同的选法共有Fs=5父4=20(种).例8100件产品中有两件次品，从中任意抽取3件产品进行检查.问引领(1)一共有多少种小同的抽取方法,(2)抽取的3件产品中，恰有一件是次品的

25、不向抽取方法有多少种？讲解观察(3)抽取的3件产品中，至少有一件是次品的不向抽取方法有多少种？说明思考注思解(1)不同的抽取方法的总数为从100件产品中取出3件的组合数持100M99M98C100161700，3M2父1(2)分成两步来完成.A本从2件次品中抽出1件，第二步从98件正品中抽出的2件中.由分步计数原理知，恰有引领分析主动求解观察观察学生是否理解知识点1件次品的小同抽取方法的种数为18、，98父97C2C982父一9506.2M思考(3)从任意抽取小何的3件广品的抽取方法思数中，减去3件全是正品的抽取方法种数，就是至少有一件是次品的不同抽取方法种数.即C；00-c98=161700

26、-152096=9604.教学过程教师向学生向教学意图时问【想一想】例8（3）是否还用具他的解法？例9如果7名学生照集体像，要排成一列，后两名学生必须要相邻，那么共用多少种小同的排法？分析分成两步来排队.第一步，将这两个人的顺序排好；第二步，将这两个人作天-个总体，与剩下的5名学一起排队.解不同的排法共有P琮=2乂1乂6乂5乂4乂3/2乂1=1440（种）.【说明】要注意“先考虑特殊兀素或特殊位置，再考虑一般兀素或位置”这种分步骤研究方法的使用.例10从6名男生和5名女生中选出3名男生和2名女生排成一行，有多少种/、同排法？分析可以首先将男生选出，再将女生选出，然后对选出的5名学生排序.解/、

27、同排法的总数为3256M5M45M4C6c5P5=6-一x5-X5M4M3M2M1=24000（种）.3><2><12x1例11某城市的电话号码是从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中取8个数字组成（允许数字重复），但0和1不能作为电话号码的首位数.问该城市最多可以装多少部电话？分析将一个电话号码的组成分成两个步骤.第一步，选首位数字，从2、3、4、5、6、7、8、9中取1个数；第二步，从第2位至第8位，每个位置填入上述10个数字中的任意一个数.再根据分步计数原理计算.解城市最多可以装电话的数量为c8c；0c1。C；0c；0c；0c0C；0=8父107=80000000（部）.【4】研究实际问题的时候，一途注意区别是否允许重复，是台后序的问题.说明引领讲解说明理解思考主动求解学生自我发现归纳45*运用知识强化练习1.平囿内后8个点.（1）以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？2 .某城市的电话号码是由0到9中的7个数字组成（