2019届高三文科数学(通用版)二轮复习训练：第1部分专题6突破点16导数的应用(酌情自选)

1、突破点16导数的应用( (酌情自选)核心知识聚焦核心提炼提炼 i 导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法在某个区间(a，b)内，如果 f (x) 0,那么函数 y= f(x)在此区间内单调递增；如果 f (x)v0,那么函数 y= f(x)在此区间内单调递减.(2) 常数函数的判定方法如果在某个区间(a, b)内，恒有 f (x)= 0,那么函数 y= f(x)是常数函数，在此区间内不具 有单调性.(3) 已知函数的单调性求参数的取值范围设可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f(x)在这个区间内f (x) 0(或 f (x)w0)，从而转化为恒成立问题来解决(注

2、意等号成立的检验)提炼 2 函数极值的判别注意点(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为 0 的点不一定是极值点，如函数f(x)= x3，当 x=0 时就不是极值点，但 f (0) = 0.极值点不是一个点，而是一个数X0,当 x = x0时，函数取得极值在x0处有 f (x0)= 0是函数 f(x)在 x0处取得极值的必要不充分条件.(3)函数 f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最 大值，函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小CWVMWIWWWdVWWWWWWIWWWWWWWMWWViWWMWWWrfWWWWWW

3、VWWWWWWWrfWA值.提炼 3 函数最值的判别方法(1)求函数 f(x)在闭区间 a, b上最值的关键是求出 f (x)= 0 的根的函数值，再与 f(a), f(b) 作比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.求函数 f(x)在非闭区间上的最值，只需利用导数法判断函数f(x)的单调性，即可得结论.真题回访回访 1 导数与函数的单调性11.(2019 全国乙卷)若函数 f(x)=xsin 2x+asin x 在( 8,+)单调递增，则 a 的取值12 2 f(x) = x sin 2x sin x, f (x)= 1 cos 2x cosx,但 f (0) = 1 - 12=-

4、v0,不具备在(8,+)单调递增的条件，故排除 A,B,D.故选 C.32 .(2019 全国卷H)设函数 f (x)是奇函数 f(x)(x R)的导函数，f( 1) = 0,当 x0 时，xf (x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是()g (x)0, g(x)0 时，f(x)0,0 x1 ,当 x0, g(x)0 , x0 成立的 x 的取值范围是(8,1)U(0,1)，故选 A.回访 2 函数的极值与最值3. (2019 全国卷I)已知函数 f(x) = ax3 3*+ 1,若 f(x)存在唯一的零点 心 且 x0，则 a 的取值范围是()A.(2, +8)B.(8,2)C.(1, +

5、8)D.(8,1)2B f (x) = 3ax 6x,范围是()A.( 8, 1)U(0,1)C.( 8, 1)U(1,0)B.(1,0)U(1,+8)D.(0,1)U(1, +8)A 设 y= g(x)=丰0)，贝 y g (x) =x2，当 x0 时，xf(x) f(x)0;不符合题意，排除 A、C.当 a= 时，f (x) = 4x2 6x= 2x(2x + 3)，则当 x| 时，f，(x)0, x(0,)时,f (x) a.(1)_若 a= 0,贝 U f(x)的最大值为;若 f(x)无最大值，则实数a 的取值范围是 _22 a 1 由当 x 1 时，f(x)有最大值；当 aa 时无最

6、大值，且一 2a(x一 3x)max，所以 a 1.热点题型 1 禾 U 用导数研究函数的单调性问题题型分析：利用导数研究函数的单调性问题常在解答题的第(1)问中呈现，有一定的区分度，此类题涉及函数的极值点、禾 U 用导数判断函数的单调性、不等式的恒成立等.(2019 辽宁葫芦岛模拟)已知 x= 1 是 f(x) = 2x+ - + In x 的一个极值点. x(1)求函数 f(x)的单调递减区间；3 亠 a设函数 g(x) = f(x) ，若函数 g(x)在区间 1,2内单调递增，求实数a 的取值范围x解因为 f(x)= 2x +b+ In x,所以 f (x)= 2 2+ -,因为 x =

7、 1 是 f(x) = 2x+b+ In x 的一 xxxx个极值点，所以f(1) = 2 b+ 1 = 0，解得 b= 3,经检验，符合题意，所以 b = 3.则函数 f(x)3=2x+ - + In x,其定义域为(0 ,+ ).4 分x313令 f (x)= 2 -2+-0 在 1,2上恒成立，即 2 +1+电0 在 x1,2上恒成立，所以 a ( 2x2x)max，而在1,2上，(一22- x)max=3,所以 a3.所以实数 a 的取值范围为一 3,+).12 分I方法指澤I根据函数 y= f(x)在(a, b)上的单调性，求参数范围的方法：热点型探究卜例E1y= f(x)在(a,

8、b)上单调递增，转化为 f(X)A0 在(a, b)上恒成立求解.b)上单调递减，转化为 f (x)w0 在(a, b)上恒成立求解.若 f(x)在 3,+ )上为减函数，求 a 的取值范围.解对 f(x)求导得(6x+ a卢(3x2+ axp；f (x)=23x + 6 a x+ a.2 分因为 f(x)在 x= 0 处取得极值，所以 f (0)= 0,即 a= 0.23x2 3x + 6x33当 a= 0 时，f(x)=_eT, f (x) =X，故 f(1) = -, f (1) = e 从而 f(x)在点(1, f(1)33处的切线方程为y 一= (x 1)，化简得 3x ey= 0.

9、6 分e e23x + (6 a x + a(2)-由(1)知 f (x)=2令 g(x) = 3x + (6 a)x+ a,6 aJa + 36由 g(x)= 0,解得 X1=,6 a + . a + 36X2=6.8 分当 xvX1时，g(x)v0, 即卩 f (x)v0,故 f(x)为减函数；当 X1 0,即 f (x) 0,故 f(x)为增函数；当 xX2时，g(x)v0, 即卩 f (x)v0,(1)若函数(2)若函数y= f(x)在(a.(3)若函数或恒负.y= f(x)在(a,b)上单调，转化为f(x)在(a, b)上不变号即f(x)在(a, b)上恒正(4)若函数 y= f(x

10、)在(a,b)上不单调,变式训练1 (2019 重庆模拟)设函数转化为 f (x)在(a, b)上变号.2 ,“ 、3x + axf(x)=X(a R).(1)若 f(x)在 x= 0 处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线 y= f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;x 2(e)故 f(x)为减函数.6 一 a + /a + 36” /口9由 f(x)在 3,+)上为减函数，知 X2=-9,6 2故 a 的取值范围为 一|,+g12 分热点题型 2 利用导数研究函数的极值、最值问题题型分析：利用导数研究函数的极值、最值是高考重点考查内容，主要以解答题的形式 考查，难度较大.x112(20

11、19 株洲一模)已知函数 f(x)满足 f(x)= fex 1-f(0)x+2x2.(1)求 f(x)的解析式及单调区间；若 f(x) 1x2+ ax+ b，求(a+ 1)b 的最大值.1解(1)f(x) = f (1)ex1-f(0)x+ 2x2? f (x) = f (1)ex-1-f(0) + x,令 x= 1,得 f(0) = 1，所以”x-1, 1 2f(x) = f (1)e x+ x ,令 x= 0,得 f(0) = f (1)e-1= 1,解得 f (1) = e,故函数的解析式为f(x) = ex-x+ x2.3 分令 g(x)= f (x)= ex-1 + x,所以 g (

12、x)= ex+ 1 0，由此知 y= g(x)在 xR 上单调递增.当 x0 时，f (x)f (0) = 0;当 xv0 时，由 f (x)vf (0)= 0 得：函数 f(x)= ex-x + *x2的单调递增区间为(0,+m)，单调递减区间为(一g,0).6 分1(2)f(x)?x2+ ax+ b? h(x) = ex- (a + 1)x- b 0，得 h (x)= ex- (a+ 1).8 分1当 a+ 1 0? y= h(x)在 xR 上单调递增，-g时，h(x)fg与 h(x) 0 矛盾.2当 a+ 1 0 时，h (x)0? xIn(a+ 1), h (x)v0? xvIn(a+

13、1),得当 x= ln(a+ 1)时,h(x)min= (a+1) (a+ 1)ln(a+1) b0,即(a + 1) (a+ 1)ln(a + 1)b, 所以(a+ 1)bw(a+ 1)2 (a + 1)勺 n(a+ 1)(a+ 1 0).令 F(x)= x2- x2ln x(x 0)，则 F (x)= x(1 - 2ln x),卜例所以 F (x) 0? OvxvJe, F (x) e,当 x = e 时，F(x)max= 2 即当 a= e 1, b=时，(a + 1)b 的最大值为 .12 分I方法指津I利用导数研究函数极值、最值的方法1 若求极值，则先求方程f (x) = 0 的根，

14、再检查 f (x)在方程根的左右函数值的符号.2 .若已知极值大小或存在情况， 则转化为已知方程 f (x) = 0 根的大小或存在情况来求解.3.求函数 f(x)在闭区间 a, b上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a), f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.变式训练 2 (2019 全国卷n)已知函数 f(x) = In x+ a(1 x).(1) 讨论 f(x)的单调性；(2) 当 f(x)有最大值，且最大值大于2a 2 时，求 a 的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0 ,+), f (x)=丄一 a.2 分x若 a 0，所以 f(x)在(0 ,

15、+)上单调递增.若 a0，则当 x 0, * 时，f (x)0 ;当 x 1+a时，f (x)0 时，f(x)在 x=匚处取得最大值，最大值为a令 g(a)= ln a+ a 1，贝 U g(a)在(0, + a)上单调递增，g(1) = 0.于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0.因此，a 的取值范围是(0,1).12 分热点题型 3 利用导数解决不等式问题ln a + a 1.1011=因此 f2a 2 等价于 ln a + a 10.题型分析：此类问题以函数、导数与不等式相交汇为命题点，实现函数与导数、不等式及求最值的相互转化，达成了综合考查考生解题能力的目的.(1) 若函数

16、f(x)在(1 ,+ )上为减函数，求实数 a 的最小值；(2) 若存在 xi,x2 e, e2，使 f(xi)0,解由得 x0 且 XM1，则函数 f(x)的定义域为(0,1) L(1,+s)，因为 f(x)在mXM0,In x 1f (x) =|n x2 aw0 在(1, +g)上恒成立.In x 12 a=(lnX)1 121故当 nx= 2，即卩 x= e2时，f (x)max= 4 a.1 1 1所以 4-aw0,于是a4,故a的最小值为 1.4 分命题若存在 X1, x26e, e2，使 f(x1)wf(X2)+ a 成立”等价于当 xGe, e2时，有21f(x)minWf (x

17、)max+a由(1)知，当 X, e时，f(X)max= 4a，1f (X)max+ a=：.5 分41问题等价于：当 xg, e2时，有 f(x)minw4”.121当 a4 时，由 知，f(x)在 e, e2上为减函数，2e22111则 f(x)min= f(e )= aew4，故 a？ 42.6 分12112当 a0, 即卩 aw0, f (x)0，在 e, e 上恒成立，故 f(x)在 e, e 上为增函数，1于是，f(x)min= f(e) = e aee4，不合题意.8 分卜例X(2019 长沙十三校联考)设函数 f(x)= 亦ax.(1, +g)上为减函数，故又 f (x) =(

18、ii) a0,即 0a1 由 f (x)的单调性和值域知,存在唯一 xqe, e2)，使 f (x)= 0，且满足：当 x(e, xo)时，f (x)0 , f(x)为增函数；10 分Xo/ 12所以，fmin(x)= f(xo)= “ 乂。 axw4, x(e, e ),11111111所以，a厂 厅一 7=;，与 0a2 42.12 分I方法指律I1.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形.构造新的函数 h(x).(3) 利用导数研究 h(x)的单调性或最值.(4) 根据单调性及最值，得到所证不等式.特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函

19、数的最值问题.2 构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f(x)g(x)(f(x)o(f(x) g(x) A 的不等式，可选 X1(或 X2)为主元，构造函数f(x,x2)(或 f(X1, x).(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数.变式训练 3 (2019 太原一模)设函数 f(x) = ax2in x+ b(x 1)(xo)，曲线 y= f(x)过点(e, e2e+ 1)，且在点(1,0)处的切线方程为 y= 0.(1) 求 a, b 的值；2(2) 证明：当 x 1 时，f(x) (x 1)；若当 x 1 时，f(x) m(x 1)2恒成立，求实数 m 的取值范围. 解函数 f(x)= ax2in x+ b(x1)(x0)，可得 f (x) = 2aln x + ax+