2022年高考数学考前训练题及答案解析

1、2022年高考数学考前训练题1 .如图，在直三棱柱A8C-4B1C1中，M, N分别是棱BC, CG的中点，点E在棱4B1 1上，且 4E=/EBi.(1)证明：BE平面A1MN.(2) ABLBC, AB=3, BC=2, BBi=在,求平面4MN与平面ABC所成锐二面角 的大小.【分析】(1)连接BCi, CiE,延长MN,加。交于点凡 连接4F,分别证明CiE4i凡可得8。平面4M尸,CiE平面AMF,进一步得到平面8C1E平面AMF, 从而得到BE平面A1MN.(2)由(1)知，平面与平面A8C所成锐二面角等于平面BCiE与平面481。 所成的锐二面角，取C1E的中点”，连接BH, B

2、1H,可得平面8CiE与平面4助。所成 的锐二面角的平面角为求解三角形得答案.【解答】(1)证明：如图，连接BCi, CiE,延长MN, BiCi交于点F,连接A1R由M, N分别是棱8C, CC1的中点，得8CiM凡 且GF = MC = *8传1，B】Ci B】E=,从而 CE/AF,B1F B1A1,.BCiC平面 4M尸，M/u平面 AiMR CiEC平面 AiM凡 AiRz平面 AiMF,；.BCi 平面 AiMF, CiE平面 4MF,且 BCiCCiE=Ci,平面BCiE平面AMF,而BEu平面BCiE,.BE平面 AlMF.即 BE平面 AMN.(2)解：由(1)知，平面AiM

3、N与平面ABC所成锐二面角等于平面BOE与平面48iCi 所成的锐二面角，又 88i_L平面 AiBiCi, AB±BC, AB=3, BC=2, BB= y6,取CiE的中点“，连接8", BH,'：BE=BC=2, ：.BHLCE,可证 BAMCiE,平面BCiE与平面AifiiCi所成的锐二面角的平面角为由已知求得8/=夜，；tan4BHBi = * =b，一一7T即平面与平面48c所成锐二面角的大小为.【点评】本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练 了空间角的求法，考查运算求解能力是中档题.2 .如图在四棱锥P - ABCD中，

4、底面ABCD是矩形，尸E=l, AB=2BC=2, PC=PD, E 为CO的中点，面尸仪_1_面48。£).(1)证明：8七，面PAE；(2)求二面角B- PD-C夹角的余弦值.【分析】(1)利用面面垂直的性质定理、等腰三角形的性质可得再利用勾股定 理的逆定理可得：BELAE,利用线面垂直的判定定理即可证明结论：面以E.(2)取A8得中点F,分别以EF, EC, EP为x, y, z轴建立空间直角坐标系，可得面 PCO的一个法向量为加 = (1, 0, 0),利用数量积运算性质可得面PBO的一个法向量， 再利用向量夹角公式即可得出结论.【解答】证明：(1) 面PCOJ_面ABC。，

5、PC=PD, E为CO的中点，APElffi ABCD, B£cjg ABCD, ：.BE±PE-(2 分)又；ABC£)为矩形且 AB=2BC=2, :.BE = AE =立,AE1+BE1=AB2,BE .LAE - -(3 分)PEDAE=E, PEcffi PAE, AEu面 PAE,：.PAE.(5分)(2)解：取AB得中点凡 分别以防，EC, EP为x, y, z轴建立空间直角坐标系，：.B (1, 1, 0), P (0, 0, 1), D (0, - 1, 0), F (1, 0, 0)面PCD的一个法向量为6 =(1, 0, 0)(6 分)设面P

6、BD的一个法向量为 = (x, y, z),»»DP = (0, 1, 1),。8 = (1, 2, 0), T TT TVn - DP = y + z = 0, n - DB = % + 2y = 0, 令y= - 1 则x=2, z=l£ = (2, - 1, 1)(9 分)， cos(n, EF)=1=等(10 分)二面角B-尸。-C为锐角6 =(亡FF), /. cosd = cos(n, EF)=苧(12 分)X【点评】本题考查了面面垂直的性质定理、等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理、线 面垂直的判定定理、法向量的应用、数量积运算性质、向量夹角公式，考查

7、了推理能力 与计算能力，属于中档题.3.如图所示，已知四棱锥P-ABCO中，四边形ABCO为正方形，三角形以8为正三角形， 侧面附8,底面ABC。，M是棱4。的中点.(1)求证：PC1BA/：(2)求二面角8-PM-C的正弦值.【分析】(1)方法一：取48的中点0,连接OP, 0C,证明POLBM, BM1OC,推出8M，平面POC,即可证明BM_LPC.方法二：取AB的中点O,连接。尸，并过O点作BC的平行线0E,交CD于E,以O为坐标原点,08的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，通过PC 0M = 0, 证明PC±BM.(2)求出平面的一个法向量，平面尸MC的一个法向

8、量，录音空间向量的数量积求 解二面角B - PM - C的正弦值即可.【解答】(1)证明：方法一：取AB的中点。，连接OP, 0C,.三角形PAB为正三角形且侧面以底面ABCD,底面 ABC3,BMu底面 ABCD, ：.PO.LBM, : RtAABMRtABCO, :./AMB=NBOC,：.N48M+NAM8= NA8M+NBOC=90° , ：.BMtOC,POGOC=O, BM_L平面POC,TPCu 平面 POC, :.BMLPC.方法二：取AB的中点O,连接OP,并过。点作8C的平行线OE,交CD于E,则 三角形以3为正三角形，C.POLAB, 平面底面ABCD且平面%

9、BA底面ABCD=48, PO_L底面ABC。，以O为坐标原点，。8的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，令 =2,则 B (1, 0, 0), P(0, 0, V3), A7 ( - 1, 1, 0), C (1, 2, 0) PC = (1, 2, - V3),BM = (-2, 1, 0), PC - CW = 1 x (-2) + 2x14- (-V3) x 0 = 0,:.PC IBM.(2)解：PM = (-1, 1, - V3), CM = (-2, -1, 0),设平面PM8的一个法向量为薪=(x, y, z),则心少巾=0,即尸+ y 一任=°, tfiM - m = 0 lx + y = 0令x=l, m = (l, 2,设平面PMC的一个法向量为ri = (%, y , z),p&F = o,即CM - n = 0-x + y y/3z = 02x - y = 0令 x=l, n = (I