初三数学相似三角形典型例题含答案

1、初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1 .理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。2 .会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。3 .能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。4 .能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结

2、合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10 说右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍：1 .比例线段的有关概念：在比例式（a：bc：d）中，a、d 叫外项，b、c 叫内项，a、c 叫前项，bdb、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果 b=c,那么 b 叫做 a、d 的比例中项。把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,使 AC=AB-BC 叫做把线段 AB 黄金分割，C 叫做线段 AB 的黄金分割点。2 .比例性质：基本性质：cadbcbd合比性质：ac受以bdbdm,*c、ac,ma(bdn*0)nbdnb3

3、.平行线分线段成比例定理：定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图:等比性质：史 cbdl1/l2/l3o则任BCEFDEABDEBCEF 一，ACDFACDF例 2.如图, 已知 DE/BC,EF/AB,则下列比例式错误的是:ADAEABACDEADBCBDCEEAB.一一CFFBD.五如ABCB分析：由DE/BC,EF/AB 可知，A、B、D 都正确。而不能得到匹BCADBD故应选 Co 利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延

4、长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4 .相似三角形的判定：两角对应相等，两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似三边对应成比例，两三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5 .相似三角形的性质相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的

5、比等于相似比的平方【典型例题】例 1.(1)在比例尺是 1:8000000 的中国行政区地图上，量得 A、B 两城市的距离是 7.5 厘米，那么 AB 两城市的实际距离是千米。(2)小芳的身高是 1.6m,在某一时刻，她的影子长 2m,此刻测得某建筑物的影长是18 米，则此建筑物的高是米。解：这是两道与比例有关的题目，都比较简单。(1)应填 600(2)应填 14.4。例 3.如图，在等边ABC 中，P 为 BC 上一点，D 为 AC 上一点，且/APD=60,2,求ABC 的边长3解：ABC 是等边三角形./C=ZB=60又/PDCW1+/APD41+60/APB41+ZC=Z1+60/PD

6、C=APB.PD6APB.PCCDABPB设 PC=x,贝 UAB=BC=1+x.AB=1+x=&.ABC 的边长为 3。例 4.如图：四边形 ABEGGEFHHFCDTB 是边长为 a 的正方形,(1)求证：AEDCEA(2)求证：/AFB+ZACB=45分析：因为AERACEA 有公共角/AEF故要证明AEDCEA只需证明两个三角形中，夹/AER/CEA 的两边对应成比例即可。证明：(1)二.四边形 ABEGGEFHHFCD正方形.AB=BE=EF=FC=a/ABE=90线，C 中正很显然是两平行线段的比,BC例这一性质来写结论，即匹竺BCAB因此应是利用三角相似后对应边成比AEA

7、CBP1,CD .AE2a,EC2a.生叵史卫晚EFaAE,2a.AEECEFAE又/CEA4AEF.CEMAEF(2).AEFACEA /AFE 土 EAC 四边形 ABEG正方形 .AD/BC,AG=GEAG,GE /ACBhCAD/EAG=45 /AFB 吆 ACB4EAC4ZCAD 叱 EAG /AFB 吆 ACB=45已知：如图，梯形 ABCN,AD/BCACBD 交于点 O,EF 经过点 O 且和两底平行,交 AB 于 E,交 CD 于 F11OEOF从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论:例 5.求证：OE=OF证明：.AD/EF/BCOEAEOE一一，一BCABADO

8、EOEAEBCADAB111BCADOEEBABEBABABAB同理:LBC11ADOFOE=OFAD/EF/BCAD/EF/BCAD/EF/BC111ADBCOE八八1OEOF1EF2111ADBCOE1 一EF2-2 二OFADBCEF这是梯形中的一个性质，由此可知，在 ADBGEF 中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。例 6.已知：如图，ABC 中，ADBC 于 D,DEIAB 于 E,DFAC 于 F分析：本题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角”的基本图形，我们可以由基本图形中得到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解

9、决。解：在ADCABAC 中 /CADhB,/C=ZC AD6BACAEAC求证：AFAB分析：观察 AE、AF、AGAB 在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代换，通过ABDAADE,可得：胆殷，于是得到 AD2ADAE可得至 ijAD2AF-AC,故可得：AEABAF-AC,即学AF证明：在 4ABD 和 4ADE 中，/ADBhAED=90/BADhDAEAEAB,同理ACAB.ABWADE.ABADADAEAE2=AE-AB同理：ACDADF可得：AD2=AF-ACAE-AB=AF-AC.AEAC.AF

10、AB例 7.如图,D 为ABC 中 BC 边上的一点,/CADhB,若 AD=6AB=8,BD=7求 DC 的长。.ADDCACABACBC/AD=6AD=&BD=7.DCAC3AC7DC4DC3即ACC43解得：DC=97DC4例 8.如图，在矩形 ABC 邛,E 是 CD 的中点，BEXAC 于 F,过 F 作 FG/AB 交 AE 于 G,求证：A(j=AF-FC证明：在矩形 ABCD,AD=BC/ADChBCE=90又 E 是 CD 的中点，DE=CE RtAADERtABCEAE=BE FG/AB.AEAGBEBFAG=BF在 RtABC 中，BFAC 于 F RtABFCR

11、tAAFB.AFFBBFFCBF2=AF-FCAG=AF-FC例 9.如图，在梯形 ABCD43,AD/BC 若/BCD 的平分线 CHLAB 于点 H,BH=3AH 且四边形 AHCD 勺面积为 21,求HBC 勺面积。分析： 因为问题涉及四边形 AHCD 所以可构造相似三角形。 把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解：延长 BA、CD 交于点 P .OHLAB,CD 平分/BCDCB=CP 且 BH=PH BH=3AH .PAAB=1:2 .PAPB=1:31.AD/BC.PADPBC,S四边形AHCD21一 SAPAD6SAPBC54一、填空题1.已知a2b9,则 a：b2ab52

12、.若三角形三边之比为 3:5:7,与它相似的三角形的最长边是 21cm,则其余两边之和是 cm3.如图，ABC 中，DE 分别是 AB.AC 的中点，BC=6 则 DE=;ADEAABC 的面积之比为：。4.已知线段 a=4cm,b=9cm,则线段 a、b 的比例中项 c 为 cm。5.在ABC 中，点 DE 分别在边 ARAC 上，DE/BC 如果 AD=&DB=6EC=9 那么 AE=6.已知三个数 1,2,J3,请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是PAD-PBC1:9,SAPCH1SA20APBCSAPADS四边形AHCD2:7SAHBC2sPBC277.如图，在梯形

13、 ABCD 中，AD/BC,EF/BC,若 AD=12cmBC=18cmAEEB=2:3,则 EF=二、选择题8.如图，在ABC 中，AB=24,AC=18,D 是 AC 上一点，AD=12 在 AB 上取一点 E,使 A、DE 三点为顶点组成的三角形与ABCffi 似，则 AE 的长是1.如果两个相似三角形对应边的比是 3:4,那么它们的对应高的比是A.9:16C.3D.3:72.在比例尺为的实际面积是1:m 的某市地图上,米2规划出长a 厘米,宽 b 厘米的矩形工业园区，该园区A104mA.42-10mB.ababCabm.104D.呵103.已知，如图,DE/BC,EF/AB,则下列结论

14、:在跑ECFC正 DEABBC其中正确的比例式的个数是A.4 个 B.3BCCE3）一CFC.2EABFD.1 个BC=10 则梯形的面积为:8.如图，在梯形 ABCD43,9.如图，在 RtABC 中，/BAC=90,D 是 BC 的中点，AEAD,交 CB 的延长线于点则下列结论正确的是A.AAEDACB、解答题：1.如图，AD/EG/BC,AD=6BC=9AE:AB=23,求 GF 的长。2.如图，ABC 中，D 是 AB 上一点，且 AB=3AD/B=75,/CDB=60,求证：ABSCBD3.如图，BE 为ABC 的外接圆 O 的直径，CD 为ABC 的高,AA.16B.14E,C.

15、ABAEACED.AESDACD.16 或 9B.AAEEACD求证：AC-BC=BE-CD4.如图，RtABC 中，/ACB=90,AD 平分/CAB 交 BC 于点 D,过点 C 作 CHAD 于E,CE 的延长线交 AB 于点 F,过点 E 作 EGBC 交 AB 于点 G,AE-AD=1GAB4(2)求 EG 的长参考答案一、填空题：1.19:132.243.3;1:44.65.126 .只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如：2亚、乏等。27 .14.48.166二、选择题：1.C2.D3.C4.D5.C三、解答题：1 .解：AD/EG/BCEGAE 在ABC 中，有BCABEFBE在ABD 中，有ADAB .AE:AB=2:3 .BE:AB=1:3-2-1EG-BC,EF-AD33BC=9,AD=6EG=6EF=2，GF=EGEF=4(1)求证:CE=EF2.解：过点 B 作 BEXCDT 点 E,/CDB=60,/CBD=75/DBE=30,/CBE4CBD-/DBE=7530=45CBE 是等腰直角三角形。.AB=3AD 设 AD=k,贝 UAB=3k,BD=2k.DE=k,BE、3k.BC.6k,BD2kV2BC-、6k、,3BC6k2AB,3BDBCBCAB.ABSACBD3.连结 EC,.