2022年高考数学冲刺讲义专题 3.1 1 函数的零点问题

1、专题3.11函数的零点问题i.由零点求参数的值或取值范围的常用方法与策略：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象，利用数形结合的方法求解：(3)分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解 法为从/(x)中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据 题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；(4)分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围， 通常解法为结合函数的单调性，先确定

2、参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数 是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.2.判断零点个数的常用方法与策略：(1)直接法：令/(x) = 0,如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点：(2)利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象 在区间珏上是连续不断的曲线，并且还必须结合函数的图象与性 质，(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)图象法：画出函数/(x)的图象，函数/(x)的图象与x轴交点的个数就是函数 f(x)的零点个数；将函数拆成两个函数，(x)和g(_r)的形式，根据 /(x) = O = (x

3、) = g(x),则函数/(X)的零点个数就是函数y = /i(x)和y = g(x)的 图象交点个数；(4)利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函 数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零 点个数.【预测题1己知函数/(*) =依一xlnx在(0,+8)上的最大值为1.(1)求外幻的解析式;(2)讨论函数/(x) = /(%)-cos尤在e,+8)上的零点的个数.【答案】(I) /(x) = x-xlnx； (2) 1 个.【解析】(1)由/(x) = fcc-xlnx,得/= A 1-lnx,函数在(0, +8)上行最值

4、，可知函数不是单调函数.令/'(x)>0,得0<x<ei：令/'(x)<0,得x>e"L所以/(x)的单调递增区间是(0,ei),单调递减区间是(dL+oo).故/(x)在x = e*-'处有极大值/(十)=eJ ,也是的最大值，所以ei=l,所以攵=1,故/(x) = x-xlnx.(2)因为/(xjux-cos九一xlnx,所以 jF'(x) = sinx-lnx,设(x) = sinx-lnx, (1)当xe(e,+oo)时，所以人(%)=尸力<0,所以尸(x)单调递减.333又尸(e) = -cose>

5、0, F( n) = 7c(l-ln n)<0,37r从而尸(x)在(e,y)上存在唯零点.也即在(e,中»)上存在唯一岑点.JT(2)当X£(g,e时，/2z(x) = cosx-<0,所以尸'(X)隹©,e上单调递减, x2因为/(e) = sine-1 <0, Fr(-) = l-ln->0, 22所以存在/e(5,e,/(毛) = 0,且在fl，/)上尸'(x)>0,在(x(),e上尸(x)<0 ,所以尸(%)为尸(x)在g,e上的最大值，JTTTTT因为 E(e) = -cose>0, F() =

6、 (1-ln) >0, 222所以尸(x)在(5,e卜.恒大于零，无零点.综上，函数F(x)在成，收)上的零点个数为1.【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的零点，解题的关键是求出了(X)的单调区间，确定最值，讨论尸(X)的单调性，考查了讨论思想、数学运算, 综合性比较强.【预测题2】已知函数”x) = 3(x-l)e'-或有两个不同的零点(其中e为自然对数的底数).(1 )当 XV-1 时，求证：(工_)«1_&3；(2)求实数&的取值范围； 若函数/(X)的两个零点为百、X-求证：e'+d<e.3【答案】(1)

7、证明见解析：(2) -<k<0-. (3)证明见解析.e【解析】(1)当x<l时，要证(x 1”1一eT，只需证明"一1"丁+1>0-令x-l = f，则f<-2.设g(f) = fe5+l,=+当r<2时，g'")<0,在(一8,-2)上，g(f)为单调递减函数，2此时g«)>g(2) = 1>0,所以原不等式成立.e(2)/'(X) = 3旄"当x<0时，当x>0时，/,(x)>0.可得/(X)在(,0)上为单调递减函数，在(0,+/)上为单调递增函数，

8、所以/(以=/(。)= -3-或.(，')当一业23时，/(*)“而20,不合题意；(")-ek W 0 时，/(1) = ek,若x<l，fx<-ck, %>1，/(x)2-狄，此时/(x)至多有一个零点；(")当0<e左<3时,/(0)<0, /(1)>0,所以/(X)在(0,1)上有唯一的零点.因为当x<-l时，由(1)得2，由_ 或 > 0 得 x < 2/(一或)+1,取/满足/ < 一1且%)< 2勿(一或)+1,则/(%) > 0,3所以“力在(F,l)上有唯一的零点，综上一

9、工vZ<0.(3)由题得3(玉一1),=ek,3因为<左<0,所以王<一1,元2 <一1，曷一|(*2 - 1)*t >-e 2由(1)得当 XV-1 时，(>_0 2所以+*因为百<一1,所以转<0,所以0<e* <,为+1 'l+le 2 e 2<(:+-:),1 Xj 1 %211< 1 Xj2币+1*2+1.+1必+1所以二<1,同理£2_<,，所以上L + H<i<e，所以C+e* <e.%1 - 1 21x2 21 - X| 1 - x2【名师点睛】解答本题

10、的关键是第(3)问，关健一，是能灵活运用第(1)问的结论；(2).V1 +1关键二，是能证明"_<_L.王-1 2【预测题3】己知函数f(x) = lnx+ + l.(1)若函数/(x)在l,e上单调递增，求实数。的取值范围;(2)讨论函数/(x)零点的个数.【答案】(1)(0,1 ； (2)答案见解析.【解析】(I) ."(X)的定义域为(O,+8), ./'(x) = *20在xel,e上恒成立,.a<(x)in，n =1,因此 实数。的取值范围是(田；(2)由/(x) = lnx+曰+ 1 = 0, uj得a = -xlnx-x ,令g(x) =

11、-xlnx-x ,其中x>0, g'(x) = -lnx-2, 令g'(x)=。，可得尤=二，列表如下：X(响Ie2战g)g'(x)+0g(x)单调递增极大值二单调递减作出函数g (x)与直线y = a的图象如卜图所示:当0<x一时，g(x) = -x(lnx+l)>0；当x>，时，g(x) = -x(lnx+l)<0. 由图可知，当或a=±时，函数/(x)只有一个零点；当0<“<。时，函数/(x)有两个零点；当a，时，函数/(x)没有零点.综匕所述：当或a =5时，函数/(X)只有个零点："10 <

12、a < /时-，函数/ (x)有两个专点；0>时，函数/ (x)没仃零【预测题4】已知函数/(x) = _xe'-ax.(1)若/(x)在R上单调递增，求a的取值范围；(2)设g(x) = /(x) x2,若g(x)有三个不同的零点，求。的取值范围.【答案】(I )18,- ； (2) 一,1 <J(1,+oo).【解析】f'(x) = e，+xe，-a,若x)在R上单调递增,则r(x)“，即e'+xe'Na.设力(x) = ex + xev,则 /?' (x) = (x+2)ev,令"'(x) = 0得x = 2,当

13、xv2时，/(x)<0,当x>2时，Ax)>0,所以/l(x)之(-2)= -y ,因此。的取值范围为1-8,-5.(2)由题意 g(x) = xe' - axx2,贝ij g'(x) = e* + xe' - a-ax = (e、-a)(x+l).若a 40, g'(x), g(x)随X变化的情况如下表:X(-00,-1)-1(-1,+00)g'(x)一0+g(x)%极小值此时g (x)不可能有三个零点.若a>0，令g'(x) =。，得x = lna或x = -l.若lna>T,即a>5，g'(x),

14、 g(x)随x变化的情况如下表：X(-00,-1)-1(-IJntz)Ina(in +oo)g'(x)+0一0+g(x)*极大值极小值/耍使g(x)有三个不同的零点，需<g(-l) =+g。,、e 2xq 21得a一且awl .g(lna) = -(Ina)2 0,、2若lna = 1，即a =1，此时g'(x)NO, g(x)单调递增，不可能有三个零点.若lna<l,即0<a<：, g'(_x), g(x)随x变化的情况如下表：X(-oo,lntz)-1(-l,+oo)g'(x)+00+g(x)极大值*极小值/要使g(x)行三个不同的零

15、点，椅g(T)=+ S<0，e 2 无解. g(lna) = -y(lna)1 2 >0,a的取值范围是,+<»综上所述: 【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立和零点问题求参数的取值范围，本题第二问的关键 是求导后讨论的思想的应用，分和。0两种情况讨论极值点的个数，*。0时，还 需讨论极值点的大小关系.【预测题5】已知函数/(x) = lnx+ a.(1)函数/(x)的图象能否与x轴相切？若能与x轴相切，求实数。的值；否则请说明理 由：/、 / 、 1 1(2)若函数/(X)恰好有两个零点X、w(°石w)，求证：9 + 一 【答案】(1)能，a =1； (

16、2)证明见解析.【解析】(I)假设函数/(x)的图象能与x轴相切，设切点横坐标为m,则毛0,T = 0 天)升)由题意可得/(x0) = lnx0+ + a = 0,解得<xo% =1a = -Xj x2x0 >0x2 -x,所以中2 =n五要证 + >2 9只需证为+2% >3百工2，3(x9 %.)r 亏十 2x? +X. > 只需证 2n X1.因为0<玉<，所以2>1,从而lna>0只需证In巧、35一王) >2x2 + x,只需证m强丙生_ + 2 -党">1),则(叱-9_4r-5r + l+ 炉( + 2

17、)2( + 2)2>0,% * *113所以函数(。在(i,+°°)上增函数，从而(r)>(l) = 0,所以 + >-.LX?/【预测题6】设。为实数，M f(x) = ex-ax.(1)求f(x)的单调区间与极值:(2)若函数/(x)在(0,2)内存在两个零点，求。的取值范围.【答案】(I)答案见解析:【解析】(1)函数f(x) = e*-ar,故/'(x) = e*-a.若a V0,则/'(x) > 0,所以/(x)在(fo, +8)上单调递增，无极值:若 a>0,则当 x(-8,lna)时，f'(x) <

18、0,当 xe(lna,+8)时，f'(x) > 0,所以/(x)在(-8,Ina)上单调递减，(Ina,+8)上单调递增，则于(x)的极小值为f (In a) = elna 一 a In a = a - a In a ,无极大值；(2)由(1)知，a40, /(x)在(0,2)上单调递增，无极值，不可能有两个零点，故不满足题意:当0<。41时，由xe(0,2),则/'(幻=/一。>0,/(外单调递增，无极值，不可能有两个零点，故不满足题意； 当a>l时，由(1)知0<lna<2时，f(x)的极小值为/(lna) = a-alna,7(o)&g

19、t;0/(lno)<0乂/(x)在(0,2)上存在两个零点，故,/>00<lna<2fl>0a a In a < 0c 2。> 0综上所述，实数a的取值范围为.【预测题7】已知函数/'(x) = |lnX+ax(a<。).(1)讨论函数/(x)的单调性：(2)若函数/(X)恰好有三个零点，求a的取值范围.【答案】(1)当一1<。<0时,函数/(X)在区间(0,1)上单调速减，在区间1, 调递增，在区间+8上单调递减；当。4一1时，函数/(x)在区间(0,+8)上单调递 减；(2) <。<0.e【解析】函数"

20、;X)的定义域为(0,+8),由 /(x) = |ln x| + ar = <lnx+ar,x> 1-lnx+ax,0< x< 1山丁 a<0,则一，+ a<0,即在区间(0,1)上/'(x)<0,函数/(x)单调递减;X(,4)aMTr(x)+0增减当aWl时，- + tz<0,即在区间l,+oo)上/'(x)W(),函数/(x)单调递减.综上，当一 l<a<0时，函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,一：)上单调递增，在区间(一：,也)上单调递减；当-1<<0时，/(l) = 6Z<

21、0,/(e") =ln(e")+ad=a(e"-l)>0(0<e"<l 在区间(0,1)上恰好存在一个考点：在区间1,+<»)上存在两个零点，需要保证/(一!) 且此时y(i)=a<o, /(一B)>0在区间(i，-J 同时4>一- ,2Inf + ,aa ya- J a) a设/ = 一一>e,对于函数y = 21nf-f, >/ = <( a1故/(二)<0,且/(_L>0，在区间(一J,+81( 1A总之，当一一<。<0时，在区间(0,1)、1 1,-1.

22、)1=In1 1>0,即1<a v0 ,-|上存在一个零点，),yv21ne-e = 2-ev0,上.存在一个零点.(一 J，+8)上各存在一个零点.(2)结合第(I)问冷案，只仃节一1<。<0时函数x)才可能存在三个冬点:当aW-1时，函数/(x)在区间(0,+8)I二单调递减.【名师点睛】寻找零点方法：求导数，确定函数单调区间及极值点；由单调区间找到零 点发生的大致区间；在特定区间上寻找合适的值，运用零点存在性定理确定理.【预测题8已知函数/(x) = 2x/na-(x + a)/nx.(1)当a = e时，求曲线y = /(x)在x=|处的切线方程：(2)讨论函数

23、/(©的零点个数.【答案】(I) (l-e)x-y + l+e = O； (2)答案见解析.【解析】(1)当a = e时，/(x) = 2xlne-(x + e)-lnx = 2x-(x+e)-Inx ,定义域为(0,e)，r(x) = 2-lnx-,又/=2,=1e,X所以曲线y = /(x)在4 = 1处的切线方程是y-2 = (l-e)(九一 1),即(l-e)xy+l + e = 0：r 4- /7(2)显然。>0,函数的定义域为(0,+ 8), fr(x) = 2na-nx，x令 g(x) = r(x) = 2 In a In x 火 + a , 则 g'(x

24、) = _，+ 二=，XXX" X当Ovxva时，g'(%)>0,当时，g'(x)vO,所以g(x)在(0,。)上单调递增,在(a+8)上单调递减,所以g(x)有最大值g (。) = In。- 2 ,当 lna 2W0，即时，(a)<0,于是 g(x)KO,即 f(x)WO,所以在(0，+ 8)上单调递减，又/()=。，所以/(x)只有一个零点，当lna-2>0，即时，g()>0, (l) = 21na-l-a,22-a令(a) = 2lna - l a(a>e2) 则h'(a) 1 =<0a a所以"(a)在(/

25、,+ 8)上单调递减，/z(a)<4-l-e2=3-e2<0,所以g vO；2 .2 .g” / 2、 ci 12a + aa + a 八所以 g(a) = 2 In a - In = < 0,a a-乂 g(a)>O|.g(x)在(0, a)上单调递增，在(a,+ 8)上单调递减, 所以存在X| G(l,a),使得g(X) =。，存在X2G(a, a2),使得g(X2)= 0,所以当 0<x<X| 时，f'(x) < 0 ,当 X1<x<x?时，fx) > 0 ,当 x>x?时/'(x)<0,即/(x)在

26、(0，%)上单调递减，在(用，工2)上单调递增，在(X2，+ 8)上单调递减，又/(。)=。，且X <”，所以"X)在(不七)内有唯一零点，且/()<°、/5)>°，又 /=2 In a > 0, f(a2) = 2a2 na-(a2 + a) In a2 =-2alna<0,所以/(X)在(0,芭)与(*2，+ 8)内均有唯一零点，故当a > /时,函数/(x)有三个零点,因此当0<aWe2时，函数/(x)有一个零点，当a>e2时，函数有三个零点.【名师点睛】本题的第2问的关键是对函数/(X)的：次求导，根据函数的

27、最大值的正负性 进行分类讨论求解.【预测题9】已知函数，(x) =-力Inx ,其中aNl, beR.(1)当时，证明不等式lnxWa<x-l)恒成立；(2)若2>e(e = 2.718)，证明/0)有且仅有两个零点. a【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.1 njr【解析】(1)令m(x) = lnx。 ,则6<%) =,X当xNl时，加(x)W。，所以加x)在口，+ 8)上单调递减，所以m(x) < m(l) = 0,即不等式In x 4 a(九一 1)恒成立；(2) fCO 的定义城为(0，+ 8),且 r*) = a(x 1)靖+/ '二匕、XX

28、令 g(x) = a,f ex-b , gx) = ax(x + 2)ex > 0 ,则 g(x)在(。，+ 8)上单调递增,bh当一>e时， 所以 g(l) = ae v0 , aa八 b、八b、?in-八b、？b., r 八b、?g(ln ) = q (In )2-e 一人=o (In )b =仇(In )2 -1 >0 *aaciaa故g(x) =。在(0, + 8)上有唯一解，从而/'(x) = 0在(0, + 8)上有唯一解,h不妨设为小,贝收a当x £ (0, Aq)时，(%) = <以。=0 ,所以/(x)在(。，%)上单调递减， X X

29、当工(知+ 8州寸，r(X)= W">里以=0,所以/(X)在(如+00)上单调递增， X X因此X。是/(X)唯一极值点，因为0<1<%，所以/(/)</=。，即/(x)在(0, %)上有唯一零点，bb in-h/(In-) = a-(In一一l)e "力ln(ln) a aabbbbb= a(ln-l)-/pln(ln-) = Z?ln-l-ln(ln-), aaaaabbbb因为 In >1,由(1)可知 In 1 > ln(in),所以/(In)0,aaaa即/。)在(如+ 8)上有唯.零点，综I：, )(X)在(0,+ 8)上有

30、且仅有两个零点.【名师点睛】本题的关键是构造函数证明(1)的结论，利用(1)的结论证明(2).【预测题10】已知函数/(x) = aei-lnx+lna -1,其中a>0, e为自然对数的底数.(1)当。=1时，求函数/(x)的单调区间；(2)讨论函数f(x)的零点个数.【答案】(1)单调递减区间是(0/)，单调递增区间是口,冲)；(2)答案见解析.【解析】(D当a = l时,/(x) = ex-'-lnx-l ,函数析x)的定义域为(0,+8)所以r(幻=。7-1(%>0),设 g(x) = ei-1(x>0),则 g'(x) = ei+4>0 XXX

31、所以函数/'()=/“一上在(。，茁)上单调递增. XX/,(D = e°-l=0,所以当 0<x<l 时，f'M<0.当 x>l 时，f'(x) > 0所以当a = l时，函数/(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是LKO).(2)当a = l时，山(1)可知,函数/(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是口,+8),所以/(X)min=/XD=°，所以函数,(X)有且仅有一个零点.当时，f(x) = aex-' - In X + In -1 > e- In x -1 > 0 ,所

32、以函数/CO 没有零点.当 0 V。< 1 时，/'(X)= ae' 1 (x > 0),设 h(x) ae' 1 (x > 0),则 '(x) ae' 1 4r- > 0» XXX所以函数fx) = aez 一,在(0, +00)上单调递增， X11-11-1又/'=。_1<0，f'(一) = ae" -a = a(ea -1)>0» a所以存在七 6 (l,i),使得f'(XQ ) = 0, a当 0c xv % 时，/'(x) < 0 ；当x&g

33、t;%o 时，fx) > 0 ,所以函数fix)在(0, X。)上单调递减，在(七, 48)上单调递增.又/'(l) = a + lna-l 且。<。<1,所以。一1<0，ln«<0.所以/(l)<0.令西=,则 < 1 且/(X1) = /(g) = aee ' >0.令 x, =(2/ =3 , eea ar1-44-i4-i则七 > > 1 且 f(x2) = f (r) = aea -In -+-Ina-1 = ae+31n-1 - 21n2 . aacr卜面先证：er', > x(x

34、> 1),令，(x) = e'7-x(x>l),则(x) = ei -1>0故函数f(x)在(l,+o。)上单调递增，所以心)>e-1 = 0 ,所以ei>x(x>l)A-1A4助以/(为)= /(-?) =+3In«-l-21n2>a+ 31n6z-l-21n2 = - + 31nt7-l-21n2.aaa44 3 3_4令 r(a) = + 31na l-21n2(0<a vl),贝ij ra)=-+ =-<0 aa a a"所以函数«)在(0,1)上单调递减,所以"a)>4 + 3

35、1nlT-21n2 = 3-21n2>04ci4所以/(二)>o，所以函数/(X)在(-,1)和(1,二)内各有一个零点， aea所以函数/(x)有两个零点，综上，当。>1时，函数f(x)没有零点：'"ia = l时，函数/(x)仃IL仅有一个零点：力0<。<1时，函数有两个零点.【预测题11】已知函数/(x) = (x-2)e*-ax + alnx, x>,其中aeR, e为自然对数的底数.(1)当a = 2e?时，求函数/(x)的单调区间；(2)当a 20时，求证：函数了。)有且仅有一个零点.【答案】（1）单调递减区间是U,2,单调递增

36、区间是（2,+8）； （2）证明见解析.【解析】(1)当a = 2e2时，/(x) = (x-2)er-2e2x + 2e2Inx,则 fx) = (x- l)e' - 2e2 + = (x- l)(eJ -), XX因为 x21,所以当 1KxW2 时，/(x)<0,当 x>2 时，fx) > 0,所以函数/(x)在1,2上单调递减，在(2, +8)上单调递增，故函数f(x)的单调递减区间是1,2,单调递增区间是(2,+8).(2)证明：因为/(x) = (x-2)e*-ax + alnx,所以 fx)= (X- l)ev -a+- = (x-l)(e' -

37、). XX(1)当。=0时，令/(x) =。，则(x-2)e*=0,得x = 2,即函数f(x)有且仅有一个零点x = 2；(2)当。>0时，令g(x) = eX-, gx)=e'+=>0, XX故g(x) = e* 3在口,内)上单调递增. x当。=e时，/(x) = (x-2)er -ex + elnx ,则 /r(x) = (x-l)(er-), x当xNl时，f'M>0,所以/(X)在L+OO)上单调递增，fi/(l) = -2e<0, /(3) = e3-3e + eln3>0,则存在须e(l,3),使得%)=0,所以函数/(X)有且仅有

38、一个零点x = M.当0<a<e时，因为g6 = e-a>0,所以当xNl时，r(x) = (x-l)(er-)>0 , %所以/(X)在L+OO)上单调递增；当a>e时，因为g6 = e-a<o, g(a) = e"-l>0,所以存在不(1,。)，使得g(%)= e*-巴=0,所以当 工(1,飞)时，f'(x) < 0 ,当xw(Xo，+oo)时，f'(x) > 0,则/(x)在(1,与)上单调递减，在(/，+8)上单调递增， 因为D = -e-a<0,所以当0<，<e或a>e时，函数/(

39、x)在l,+o。)上至多有一个零点. 而 f(a + 2) = aea+2 - a(a + 2) +。ln(a + 2) = aea+2 + n(a + 2) - (a + 2),令，= a + 2 , /?(r) = er + lnr-r(/>2)»则”(，) = e'+l - l(f>2),则 “«)>0,故/?«)在(2,例)上单调递增, t所以6(r)>e2+ln2-2>0,即f(a + 2)>0,故存在 w(La+ 2),使得/(±) = 0,所以函数fx)有且仅有一个零点x =.综上所述：当aNO时

40、，函数3有且仅有一个零点.,【预测题 12已知函数/(x) = -x +(a-l)x-alnx(a#O).(1)当aN；时，证明：/(x)>0；(2)若/(x)有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】(I)证明见解析：(2)(0,()【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+8),又 r(x)= x+(a_l)上=(x+a)d), XX因为a?g>0,所以令/'(x) = 0,得x = l./'(x), /(x)的变化情况如下表：X(0,1)1(1,+8)/'(X)0+小)极小值/所以当x = l时，“X)取得极小值，也是最小值,即人北由:/二一:口所以当“之

41、:时,x)N0(2)当a>0时，由(D可知，当x = l时，/(x)取得极小值/:。一；.又由(1)知，当时f(x)20,要使得/(x)有两个零点，则/=。，<0,即0<":,此时/(2) =。(2 ln2)>0, 22(1-LA f e a7所以/a当一 1</'(X)，1 2 二=e " + ()在a<0时，4.f(x)的变4，1、C i-Y)e a -a 1> (a-1) e 0 -1V a)和(1,2)上各有一个零点，满足题意.> fx) 0 ,得 X = 或工2 = 1 .二情况如下表：>0X(0, a

42、-a1(L+x)r(x)+0一0+/(x)/极大值极小值/当 x = -a时,)(可取得极大值/(一。)=一5a1 + a a ln(-a) = aa + l ln(a) a»令"(a) = 一-a + l-ln(a)(-l < a <0),则 u'(a) = -="+ > 0, 22 a 2a所以在(一1,0)上，“(a)单调递增，3因为 “(a) > w(-l) = ->0,所以 /(-«) = au(d) < 0,所以/(x)不可能有两个零点.N0,当 a = -1 时 f'(x) =(XT)一在

43、(O,+8)t, /(X)单调递增*所以不可能有两个零点.当4<一1时，/'(x), /(X)的变化情况如卜表：X(0,1)1(1,-a)-a(-«,+<»)/'(x)+00+.f(x)/极大值极小值/当X = 1时，/(x)取得极大值/6 =。一；<0,所以“X)不可能有两个零点，综上所述，若/(X)仃两个零点，则实数。的取值范围为(0,；).【名师点睛】借助导数求解单调区间，研究最值情况，带参问题需要分类讨论，从而确定函 数零点情况.【预测题 13】己知/(x)= in(l + x) + 2cosx-(l + x)T，g(x) = co

44、sx - l + 6 .(1)若g(x)N0恒成立，求实数。的取值范围；(2)确定/(x)在(-1,万)内的零点个数.【答案】(1) a> (2) /(x)恰有两个零点.2(解析(1)因为 g(x) - cos(-x)-1 + a(x)2 = cosx-1 + ax2 = g(x),所以g(x)为偶函数，故只需g(x) N 0在0, +00)上恒成立即可,由 g(yr)NO知。>0，g'(x) = -sinx + 2ar,令(x) = -sinx+2ar,则力'(x) = -cosx+2a ,若2。21,则"(x)N0, g'(x)在(0,+oo)

45、上单调递增，.g'(x)>g(0) = 0,所以g(x)在0,+8)上单调递增，.g(x)Ng(0) = 0,故满足条件.若0<a<g,则存在h'(xo) = O,当X(0,%)时，h'(Xu)<0, g'(X)单调递减, g'(x)<g'(O) = O. g(x)在0,+8)上单调递减，g(x)<g(O) = O,不成立，故0<。<!不满足条件，所以所求a的范围为a 2工.221_21_2(2) f'(x) =2sinx + (14-x) -当无=0时，y = l,当工=2时，y = *

46、+1x()2 =14- >0,.令0(x)=2sin尤+ (1 + x) ,1 + x21 + x213-(px) =- 2 cos x(1 + x) 2,(1 + x)4当无(-1,0时，0(x)<O, /'(x)单调递减，/,(x)>/,(0)>0, f(x)单调递增,当又/(0) = 1>0,3=-21n2 + 2cos 2 < 04"(x)在(-LQ)内恰有一个零点;时,可以证明ln(l + x)>x Yll 1 (1)知cosX > 192/(x) > X + 2X1 .2+ X11 +x+1_3x2>x+

47、1_3x2设 y = X+l -，2, 2则 y' = l-3x,所以f(x)>x+l-故/(x)在内无零点;jjr由 y'>0得0<x(一，由 y'<0,得一<xW, 333Q|1所以 y = x-¥ x"在(),)上增,(,上减， 71 71I 71 当xe 时，/(x)<0, /(X)单调递减，r(x)<r § <0. /(X)单调递减,/”图>0,故F(x)在(U无零点；当 xJl，% 时，-l + -(l + x)-<0, /*)单调递减， 1261 + x22又/O 出

48、（1 +一痒（1 +1）21n2_石0, “在住到内恰有一零点:当xe（K，）时，/（x）0, /'（x）单调递增，又/'（乃）0.0 ,所以存在唯一/e停，fxo） = O,当时,f'（x） 0 , /（x）递减,当xe (%,)时,fx) > 0,f(x)递增,f(x)V max/,/(乃)><0, f(x)在57r,兀6内无零点;综上，"X）恰有两个零点，【名师点睛】（2）中，两次求导，对x分类讨论进行求解是解题关键.【预测题14】已知函数4x） = lnx-gox2 + （1）若曲线y = /（x）在x = l处的切线与直线x-y =

49、 0垂直，求函数y = /（x）在（0,1最大值;（2）当。=1时，设函数/（x）的两个零点为4X2,试证明：x,+x2 2.6 I【答案】（I） In注+上；（2）证明见解析.22【解析】（1）函数"x） = lnx - g"2 + i的定义域为（0收），r（x） = g-ox,），=/（%）在尤=1处的切线与直线工一旷=0垂直，1-。= 1 =。= 2,由/'（X）=4-2x = 0,x = 乂2 （负值舍去）， x2所以函数/（X）在0,上单调递增，在-y.l单调递减，（五、 r 1故/（x）有最大值/+5.1 _大2（2）当。=1 时，f（x） = Inx-

50、x2 + -f'（x） = -.2 x函数/（x）在（。,1）单调递增，在（1,内）单调递减.且/ >0J（e）<0J（£j<0,故函数/（x）的两个零点为3,占满足0<%<1<%，令"x） = /（x） f（2x）,0<x<l,p（x）=r（x）+r（2-x）=±X+匕生立=丝二立 >0 在（0,1）恒成立，x 2-xx（2-x）所以尸（x）在（0, 1）递增，/?（九）<1） = 0在（0,1）恒成立，所以一），又/（%） = /（毛），所以工2）</（2玉），因为毛>1,2-七&

51、gt;1,又/（X）在（1,+8）单调递减，所以 > 2 - X,即 X, + 彳2 > 2 .【名师点睛】对称法解决极值点偏移的基本原理是利用函数的单调性，把耍证明的 无I+工2 > 2*0 （ X。是极值点）转化为证明为>2%-刍，再转化为/（芭）/（2七一马）（根 据单调性不同，表示不同的大小关系），又根据/（xj = /（9）,可以转化为证明 /（w）/（2/一%）,而%是固定的，是变量，这样就把一个双变量不等式转化为r 单变量不等式，从而以X,为未知量来构造函数证明不等式即可.【预测题 15已知函数/（x） = -x3 -ar2 +3x + Z?（6（,Z?e

52、 R）.（1）当a = 2, b = 0时，求x）在0,3上的值域；2（2）对任意的b,函数g（x） =/（x）-§的零点不超过4个，求。的取值范围.-4【答案】（1） 0,- ； （2） -2<a<2.【解析】(1)由/()=一/ 一2丁+3x ,得/'(x) = x2-4x+3 = (x-1)(x-3).当xe(O,l)时，/'(x)0,故/(x)在(0,1)上单调递增：当xg(1,3)时，/'(x)<0,故在(1,3)上单调递减.4_4又。)=3)= 0, /(1)= -,所以力在。,3上的值域为0,-；(2)由题得/'(x) = x2-2or+3, A = 4a2-12.当AKO,即.2