2022年高考数学总复习数学亮点试题（函数）

1、2022年高考复习数学亮点试题函数函数是中学数学的核心内容。在整个中学数学课程中充当着联系 各部分代数知识的"纽带"，同时也为解析几何学习中所需的数、形结合 思想奠定了基础。函数是高中数学的主线，是每年高考必考查的重点 内容之一，函数与方程、函数与数列、函数与不等式的相互渗透和交 叉一直是高考的热点，近年来抽象函数问题、函数与向量结合、函数 与概率统计结合、探索创新性问题又成为新的视点，可以说是常考常 新。随着新教材课程改革的不断向前发展，高考函数命题已从理论和 实践上发生了深刻的变化，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许 多新的解题途径，拓宽了高考对函数问题的命题空间。下

2、面结合2009 年全国各省的高考试题，探讨高考函数问题命题新的趋势，供复习时 参考。1对函数定义的深化理解与函数图象的灵活运用的问题1.(2009年高考数学陕西卷)定义在R上的偶函数7(x)满足：对任意的 ,x2 e(-oo,0(x, * kJ,有(9一士)(/(尤2)-/(E)>。则当 w/V* 时，有(A) /(-«)</(«-1) </(n + l)(B)-1)</(-)</(+ 1)(C) /(»+1)< /(-«) < f(n -1)(D)/(« + 1)</(«-1)<

3、/(-«)【答案：】C解析：%，w 6(-oo,0( x2) > (x2 - %1 )(/(x2) - /(%1) > 0o 电Xi时，/(%2)/(百)u> /(x)在(一°°,0为增函数/(x)为偶函数=> /(X)在(0, + 8为减函数而n+lnnT>0,，f (驾+1) <f(n)< fn-Y) = /(n+1) < f(-n) < f(n-1)2. （2009年高考数学山东卷）函数y =与二的图象大致为（）.e - e【解析】：函数有意义需使婷-1，0,其定义域为卜|»0,排除C,D,又因

4、为y = 3a = F = l + -所以当x>0时函数为减函数，故选A."5 X X ZX 1I 'e -e e -1 e 1答案:A.【命题立意】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调 性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在 定义域内对其进行考察其余的性质.3. （2009年高考数学江西卷）如图所示，一质点F（x,y）在“伽平面上沿 曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影点Q（x,0）的运动速度 V = V的图象大致为Q(x,0)*ABCD答案：B【解析】由图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点 Q(尤,0)

5、的速度先由正到0、到负数，再到0,到正，故A错误；质 点P(x,y)在终点的速度是由大到小接近0,故。错误；质点P(x,y)在 开始时沿直线运动，故投影点Q(x,0)的速度为常数，因此C是错误 的，故选B.4. (2009年高考数学江西卷)设函数/3=，立+字+ /<0)的定义域为 D,若所有点(s,/Q)(s,fe£>)构成一个正方形区域，贝h的值为A. -2B. -4C. -8D.不能确定答案：B【解析】|占 - w 1= ZnaxS)，一产' 1。1=2>/，a = 4 选 B5 .(2009年高考数学山东卷)若函数f(x)=a-x-a(a>0且

6、a# 1)有两个零点， 则实数a的取值范围是 t【解析】：设函数y = av(a>0,且”1和函数y = x+a，则函数 f(x)=a1 -x-a(a>0且ax 1)有两个零点，就是函数> =优3>0,且“1与函数 y = x+a有两个交点,由图象可知当0<。<1时两函数只有一个交点，不符合，当。>1时，因为函数y = *a>l)的图象过点(0,1),而直线y = x + a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围 是a> 1答案:a>【命题立意】：本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系，隐含着对

7、指数函数的性质的考查，根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的 图象解答.2函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用问题新课标高考中，求函数的值域(或最值)及活用奇偶性、单调性、 周期性及对称性成为热点问题，重点考查二次函数、指数函数、对数 函数、分段函数及抽象函数的有关性质，并且利用函数性质灵活解题. 函数的单调性常用来判断、证明、比较大小，求单调区间及有关参数 的范围，奇偶性则经常扩展到图象的对称性，且与单调性和周期性联 系在一起，解决较复杂的问题.尤其值得注意的是，凡涉及到函数、方 程和不等式的问题，必须首先考虑定义域，这也是学生解决问题时容 易忽略的地方.6 .(2009年高考数

8、学山东卷)已知定义在R上的奇函数满足 /。-4) = -/(x),且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间 -8,8上有四个不同的根苞,工2，覆，*4，则% +x2+Xj+x4=.【解析】：因为定义在R上的奇函数，满足/(x-4) = -/(x),所以 /(x-4) = /(-x),所以，由/(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x=2对称 且/(0) = 0,由/。-4) = -)知/(-8) = /),所以函数是以8为周期的周 期函数，又因为/(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间12,0上也是增函数.如图所示，那么方程f(x)=m(m0)在区间-8,8上

9、有四个不同的 根司,毛,七，巧，不妨设王 工2 覆与由对称性知玉+ %2 = T2覆+X4 = 4所以 Xy + / + 七 + %4 = - 12 + 4 = 8【命题立意】：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性,周期性，以 及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思 想解答问题.7 .(2009年高考数学山东卷)定义在R上的函数/(x)满足/(x)=log2(l-x),x<0/(x-l)-/(x-2),x>0，则/ (2009)的值为(A.-1B. 0C.lD. 2【解析】：由已知得了(-1) = 1呜2 = 1,/(0) = 0,八1) = /(0)-

10、/(-1) = -1, /= /(1)-/(0) = -1, /(3) = /(2)- /(1) = -1-(-1) = 0, /(4) = /(3)-/(2) = 0-(-1) = 1, /(5) = /(4) 一 /(3) = 1 ,/(6) = /(5) - /(4) = 0,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.，所以f (2009) =f (5) =1,故 选C.答案:C.【命题立意】：本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算./(%一4) = -/(此,且在区间0,2上是增函数,则( ).A./(-25)</(l 1)</(80)B. /(80)</(11

11、)</(-25)C. /(11)</(80)</(-25)D. /(-25)</(80)</(11)解析】：因为/(%)满足/(x-4) = -/(x),所以/(x-8) = /(%)，所以函数是以 8为周期的周期函数，则/(-25) = /(-1),/(80) = /(0),/(11)=八3),又因为 /(x)在 R 上是奇函数,/(0) = 0,/(80) = /(0) = 0,/(-25) = /(-I) = -/(D/ 而由 /(x-4) = -/(x)得/(11)=八3) = -/(-3) = -/d-4) = /(D，又因为 f(x)在 区间0,2上是

12、增函数，所以/(1)>/(0)=0 ,所以-/<0 ,即 f(-25)<f(80)故选 D.答案:D.【命题立意】：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质, 运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.3以分段函数为主线的问题r 79. (2009天津卷文)设函数/(x)= x、4x + 6,xN0则不等式/(幻>/的 x + 6, x < 0解集是()A (-3,1) u (3,+oo)B (-3,1) u (2,+oo)C (-l,l)u(3,+oo)D (-oo,-3) u (1,3)【答案】A【解析】由已知,函数先增后减再增当xNO, /(x)N

13、2/=3令/=3, 解得x = I,x = 3 o 当x<0, x + 6 = 3,x = 3故/(x)>/=3，解得-3<x<l或x>3【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。0.1 + 151n,(% < 6)10. (2009年高考数学上海卷)有时可用函数/(x)="一"x-4.4 , 八-,U>6).x-4描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(xgN*), /表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识 有关。(1)证明：当xN7时，掌握程度的增加量/(x + 1

14、)-/(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,(121 121,127,(121,133 o当学习某学科知识6次时,掌握程度 是85%,请确定相应的学科。证明(1)当XN7时，f(x + )-f(x) = 一- (x-3)(x-4)而当x2 7时，函数y = (x-3)(x-4)单调递增，且(x-3)(x-4) >0故/(X+1) -/单调递减当XN7时，掌握程度的增长量/(X+D-/(x)总是下降(2)由题意可知 0.1+15ln'-=0.85 a-6整理得，_ = e0°5 a 60.05解得 a = 6 = 20.50 x6

15、 = 123.0,123.0g(121,1 27J e -1由此可知，该学科是乙学科4以抽象函数为主线的问题11. (2009年高考数学四川卷)已知函数/(x)是定义在实数集/?上的不恒为零的偶函数，且对任意实数X都有犷(x + l) = (l + x)/(x),则/(/($)的 值是()()(A.OB.-C.l D.-22【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。(同文12)解析：令* = 一；，则一；/(；)= ；/(一；)= ；/(；)=八；)=0；令x = 0,则 /(0)= 0« I 1_由 (+1) = (1 + 为/(%)得/(*+1) =/(X),所以

16、X53=/(/(1)= /(0) = 0 , 故选择 Ao2212. (2009年高考数学全国卷I )函数的定义域为R,若/(x+1)与 都是奇函数，贝弘 )(A) /(x)是偶函数(B) /(x)是奇函数(C) /(x) = /(x+2)(D) /(x+3)是奇函数解：/(x+1) 与 /(x-1) 都是奇 函数，./(-X+1) = -/(x+l),/(-x-l) = -/(x-1),.函数/(x)关于点(1,0),及点(-1,0)对称，函数/(x)是周期7 = 21-(-1)=4 的周期函数./(一x-l + 4) = /(x-1 + 4), /(-x + 3) = -/(%+3),即/

17、(x + 3)是 奇函数。故选D13. (2009年高考数学江西卷)已知函数/(x)是(to,收o)上的偶函数，若 对于 x2 0,都有/(x + 2) = /(x),且当 xw0,2)时，/(x) = log2(x+i),则/(-2008) +/(2009)的值为()A. -2B. -1C. 1D. 2答案：C【解析】/(-2008) + /(2009) = f(0) + f(l) = log"log；=l做选 C.点评：本题融抽象函数、函数的单调性、数列等知识于一体，解题 思路是：赋值(化抽象为具体)f作恒等变形f逆用函数单调性将函数关 系式转化为自变量间的关系式(数列中an与S

18、n的关系)。利用抽象条件, 通过合理赋值(赋具体值或代数式)、整体思考、找一个具体函数原型等 方法去探究函数的性质。如奇偶性、周期性、单调性、对称性等，再 运用相关性质去解决有关问题，是求解抽象函数问题的常规思路。其 中合理赋值起关键性的作用。对抽象函数问题的考查在近几年高考中 有逐年增加数量的趋势。5以三次函数为主线的问题14.(2009年高考数学山东卷)已知函数/(x) = go?+bx2+x+3,其中(1)当“力满足什么条件时,/(x)取得极值？(2)已知a>0,且/(x)在区间(0,1上单调递增，试用n表示出b的取值范 围.解：(1)由已知得八%)=d + 2" + 1

19、,令/”(x)=0,得ar? +2" + 1 = 0,/(%)要取得极值,方程办2 +次+1 =()必须有解,所以 = 4Z?2 -4 >0,即2 >%此时方程ar? +2Z?x + l = 0的根为_ -2b-飞4b2 -4a _jb2 -a_ -2b + “Z? -4a _ 一力 +-a12aa 9 22aa所以/'(x) = (x X )(x-x2)当a0时,X(-°0,X1)X1(X1,X2)X2仅2,+8)f'(x)+00+f(X)增函数极大值减函数极小值增函数所以/(X)在X1, X2处分别取得极大值和极小值.当”0时,X(-00,X

20、2)X2(X2,X1)X1(Xl, + 8)f'(x)一0+0一f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以/(%)在x 1, X2处分别取得极大值和极小值.综上，当a力满足。? >"时，/(x)取得极值.(2)要使/(%)在区间(0,1上单调递增，需使fx)=/+ 2版+1 n 0在(0,1上恒 ,p- -1-成乂.即此一与;,X(0,l恒成立，所以2(-与 2 2x2 2xa 2x2:a /、 奴 1 八 a 1设 g(x)= W，g(x) = -5 + * =令屋(x) = ()得x =或工=-舍去), yja yla当a>l时,0<!< a1,当

21、xe(0,2)时屋(x)>0,g(x) = -单调增函数;当 x e (-L,l时 g '(x) < 0, g(x)= -竺-单调减函数, yja2 2x所以当时，g(x)取得最大，最大值为=-a .所以之一6当0<aWl时,21,此时g，(x)NO在区间(0,1恒成立，所以g(x) =-竺-工 Ja2 2x在区间(0,1上单调递增，当x = l时g(x)最大，最大值为g6 = -,所以2综上，当 a>l 时，b>-y; 当 0<aWl 时，b>-【命题立意】：本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调 性和函数的最值，函数在区间上为单

22、调函数，则导函数在该区间上的符 号确定，从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程 的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题.15. (2009年高考数学天津卷)(本小题满分12分)设函数/(尤)=-；X3 +X2 +(/ -1)X,(XG 4)其中7>0(I )当加=1时，曲线y = /(x)在点(1, f (1)处的切线斜率(II)求函数的单调区间与极值；(III)已知函数/(x)有三个互不相同的零点0,七,吃，且再<。若 对任意的xe区,超,/(x)>/恒成立，求m的取值范围。【答案】(1)1(2) /(x)在(-oo,l - m)和(1 + m,+<

23、;x>)内减函数,在(1 + m)内增函数。函数/(%)在x = l + m处取得极大值/(I+ M，且 /(I + w) = m3 + m2 -函数/(x)在x = l-m处取得极小值/(I-ni),且/(I-=-；疝+m2 - 【解析】解：当= 1时，/'(X)=，尤3(X)= / +2无，故/''=1所以曲线y = /(x)在点(1, /)处的切线斜率为1.(2)解：/ (x) = -X2 + 2x + /?22 -1,令八幻=0,得至 lX = 1 2,X= 1因为2 > 0,所以1 +m> 1 -6当X变化时，/(x),/1(x)的变化情况如

24、下表：X(00,1 ni)(1 zn,l + z)1 +团(1 + 机,+8)/(X)+0-0+f(x)、极小值极大值f(x)在(-00,1 - m)和(1 +m,+8)内减函数，在(1 - /nJ + ni)内增函数。函数/(x)在x = 1 + "7处取得极大值/(I + m) 9且/(I + m)=2/+*函数f(x)在x = 1-zn处取得极小值,且= +疗-g (3)解：由题设，/(x) = x(-x2 +x+ m2 -1) = -x(x-x,)(x-x2)所以方程呈+% +4-1=0由两个相异的实根%,*2,故X + %2 = 3,且 =1+3(加2-)>0,解得加

25、<_!_(舍)，W>1 322因为玉 v /，所以2% > X)4- x2 = 3,故/ > > J若玉41<片,贝旷=_$1_再)(1_%2)20，而/(为)=0,不合题意若1<$ <松则对任意的XGpC,/有X-Xx > 0,x-x2 < 0,则 /(x) =-%(%-%)(%-%2) > 0 X /(x,) = 0 ,所以函数/(x)在彳区, 的最小值为0,于是对任意的尤，/(x) >/恒成立的充要条件是 /(I) = m2 -g < 0，解得 一 <m<综上，m的取值范围是(；，4)数与方程的根的

26、关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决 问题的能力。16. (2009年高考数学福建卷)已知函数/a) = +办2+法,且尸(一1)= 0(1)试用含。的代数式表示b,并求/(x)的单调区间；(2 )令” =-1 ,设函数/(X)在看,工2(须 <r2)处取得极值，记点M (X,/(X), N(x2,/(x2),), % < ? < 9,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：(I)若对任意的m e(x” x2),线段MP与曲线/(x)均有异于M,P的公 共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；(II)若存在点Q(n/m及x使得线段PQ与

27、曲线/切有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程) 解法一：(I )依题意，得/。) = /+2"+人由 /(-l) = l-2a + b = O得8= 2a-l.iflj f (x) =x3 + ux + (2a l)x, Ulf (x) = (x + 1)(x + 2a 1).令尸(x) = 0,得x =-1物=1 - 2a.当 3>1 时,l-2a<-l当X变化时，f'(x)与/(x)的变化情况如下表：X(-00,1 2。)(1 功,一 1)(-1,4-00)/'(X)+/(X)单调递增单调递减单调递增由此得，函数/(x)的单调

28、增区间为(3-2a)和(-l,+oo),单调减区间为(1一2。,一1) o当a = l时，1 -2a = -1此时有尸(x)>0恒成立,且仅在x = -l处/(x) = 0 ,故函数/0)的单调增区间为R当4<1时，1-为>-1同理可得，函数/(X)的单调增区间为(Y0,-1)和(l-2a,+oo),单调减区间为(-1,1-2a)综上：当4>1时,函数/(X)的单调增区间为(-oo,l-2tz)和(-L+00),单调减区间为(1 -;当a = l时，函数/的单调增区间为R;当a<l时，函数/(x)的单调增区间为(-oo,-l)和(1 - 2«,+Q0),

29、单调减区间为(-1,1 - %).(H )由 a = - 得 /(x)-x?-3x令/(*)=工2-23一3 = 0得玉=-l,x2 = 3由(1)得/(x)增区间为(fo,-1)和(3,+oo),单调减区间为(-1,3),所以函数/(x)在处 =-1,=3取得极值，故M (-1,| ) N(3,-9 )o观察/(x)的图象，有如下现象：当m从-1 (不含-1)变化到3时，线段MP的斜率与曲线/G)在点P 处切线的斜率/(x)之差Kmp-/(M的值由正连续变为负。线段MP与曲线是否有异于H, P的公共点与Kmp 一/(的m正负 有着密切的关联；Kmp一/(加)=0对应的位置可能是临界点，故推测

30、：满足Kmp fm) 的m就是所求的t最小值,下面给出证明并确定的t最小值.曲线/在 点 P(z, /(?)处的切线斜率 f rri) = M - 2/n - 3 ;线段MP的斜率Kmp 一丁7当Kmp /(加)=0时，解得? = 1或加=2古 r a c -t*工口 斗i/" 4/71 - 5 77广一477Z直线MP的方程为y = (X +令 g(x) = /(x)-(m 4m-5 nr 4tnXH当帆=2时，g，(x) = x2_2x在上只有一个零点x = 0,可判断/(x)函数 在(-1,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减，又g(-l) = g(2) = (),所以g(x

31、)在 (T,2)上没有零点，即线段MP与曲线/(x)没有异于M, P的公共点。当m e(2,3时，g(0) = -r-4w > 0. g(2) = -(m-2)2 < 0所以存在/e(0,2使得g(5) = 0即当me(2,3吐MP与曲线/(x)有异于M,P的公共点综上，t的最小值为2.(2)类似(1)于中的观察，可得m的取值范围为(1,3解法二：(1)同解法一.(2)由a = -1得/(%) = 一一x3-x2-3xt 令 fx) = x1-2x-3=0 » 得 =-1,£ =3 由(1)得的/(x)单调增区间为(F,-1)和(3,+00),单调减区间为(-1

32、,3), 所以函数在处取得极值。故M(/).N(3,-9)(I )直线MP的方程为丫 =加一4，”-5»心驯得x3 -3x2 - (nr -4/n + 4)x-nr + 4m = 0线段MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点等价于上述方程在(一 l,m)上有 根,即函数g(x) = %3 - 3x2 -(m2 - 4m + 4)x -m2 + 4ffl在(T, m)上有 零点.因为函数g(x)为三次函数，所以g(x)至多有三个零点,两个极值点.又g(-l) = g(m) = O.因此，g(x)在(-1,山)上有零点等价于g(x)在内恰有 一个极大值点和一个极小值点，即g'(x

33、) = 3x? -6x-("-4»/ + 4) = 0在(1,利)内有 两不相等的实数根.=36 + 12(疗-4m + 4) >0r ,-<m<5等价于 3(-1)2 + 6 -(> -痴 + 4) > 0即 “ 2或m < -1,解得2 <53m2 6w - (m2 - 4m + 4) >07ah>1又因为-1<桃43,所以m的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.点评：以上三题融三次函数、导数、不等式、方程等知识于一体, 主要考查导数在三次函数的极值与单调性问题中的应用。新增导数内 容后，近几

34、年高考卷中陆续出现考查三次函数的最值、极值、单调性、 图象等内容，导数为这类问题的解决提供了新的方法。这类问题虽然 难度不大，但具有内容新、背景新、方法新等特点。6以向量知识为背景的函数问题17. (2009年高考数学四川卷)设V是已知平面M上所有向量的集合， 对于映射KaeV,记。的象为了。若映射/W V满足：对所 有a、力eV及任意实数尢都有了(而+ 勿=皿(4)+ /(b),则/称为平面 M上的线性变换。现有下列命题：设/是平面M上的线性变换，a. beV,则/(a+b) =/(a) + /S)若e是平面M上的单位向量，对a w V,设/'(a) = a + e ,则/是平面M上

35、 的线性变换；对aeV,设，则/是平面M上的线性变换；设/是平面M上的线性变换，asV,则对任意实数%均有f(ka) = kf(a) o 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号)【答案】【解析】：令丸= =1,则/(a+。) =/(a) +/(b)故是真命题同理，：令2 =匕 =0,则/伏“)=左/(a)故是真命题：V f (a) = -a > 则有/(力=-。f(Aa + jub) = -(Aa + "力=丸 (a) + (-b) = 2f(a) + 麻b)是线性 变换，故是真命题：由/(a) = a + e 9 则有 f(b) = b + ef(Aa + jLib) = (

36、Aa + /jb) + e = /l(a + e) + S + e) - e = Af(a) + 博助e ,e是单位向量，eHO,故是假命题【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关 知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具 有选拔性质。点评：本题融向量、函数、导数、含参数的不等式等知识于一体，解 题思路是：将向量间的几何(位置)关系数量化(坐标关系)，利用导数研 究函数的单调性。由于向量具有几何表示和代数表示的特点，这就使 其成为近几年高考表述函数问题的重要载体。以向量知识为背景的函数问题常常在高考中作为“把关题"，对此，复习中我们要引起高度重视。7函数

37、与其他知识网络交汇点问题现实世界中的问题解决往往不只是由单一的知识能解决，而是需 要几科或一科内的几个知识综合起来才能解决.考试说明明确要求 要注重学科的内在联系和知识的综合，高考命题充分体现了这方面的 要求.函数与其它数学知识、其它学科知识的结合，渗透大学的数学知 识联系等，这些综合问题，需要扎实掌握各部分的知识，科学架设桥 梁，全面分析问题，从而达到解决问题的目的.18. (2009高考数学陕西卷)设曲线y = jcFeN")在点(1, 1)处的切 线与X轴的交点的横坐标为x“，则苍 .巧Z的值为()(A) -(B)(C)白(D)l答案:B解析：对y = x"“(eN*

38、)求导得y =( + 1)/,令x = l得在点(1, 1)处的切线 的斜率4= + 1,在点(1, 1 )处的切线方程为y-l = k(x“-l) = (" + l)(x“-l),不妨设 J = 0,= ,7+1 则 %/工2 Xn = X X X.X_-X 11-=,故选 B.234 n n+1 +1【考点定位】本试题考察了导数的应用，求切线的方程以及错位相消 的数学思想。19. 若曲线力=加+而存在垂直于y轴的切线，则实数。的取值范围是.一解析 解析：由题意该函数的定义域x>0,由/'") = 2如+工。因为存在 X垂直于y轴的切线，故此时斜率为0,问题

39、转化为x>0范围内导函数 (x) =存在零点。解法1 (图象法)再将之转化为g(x) = -2依与(力=，存在交点。当a = 0X不符合题意，当a>0时，如图1,数形结合可得显然没有交点，当a<0如图2,此时正好有一个交点，故有a<0应填(f,0)或是a|a<0 o图1解法2 (分离变量法)上述也可等价于方程2+： = 0在(0,包)内有解,显然可得。=-5G(-OO,0)20. (2009江苏卷)设a为实数,函数 f(x) = 2x2 +x-a)x-a.若/(0)21,求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；设函数6(x) = /(x),x(a,+oo),禀段

40、写卡(不需给出演算步骤)不等式 力(x) 21的解集.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等 式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探 索、分析与解决问题的综合能力。(1)若 /(0)> 1,则一 |1 n °a W -1a >1(2 )当 xN a, f (x) 3厂一2cuc +。，/(%)f(aa>02a2,a>0当xWa时，f(x) = x2 +2ax-cr. /(x)min =/(-a),6?>0 f(a),a<02。,a 2 0 2a2,a<0-2a2,a>0综上，*濡=<2/

41、,。< 03(3) xe (a,+oo) 时 ， h(x) > 1 得 3%2一2奴+4-120A = 4a2-12(a2-l) = 12-8a2当士当或。冷时，A < 0, X G(4, +00);当一巫 <a< 四时，>(),得：hx-a-)(x-a + )>0 22'J讨论得：当4G（日，手）时，解集为（a,+00）；当ae（Y，W）时，解集为3”与纥3里运,+8）； 2233当“小日当时，解集为增运，+8）.21. （2009年高考数学广东卷）已知二次函数y = g（x）的导函数的图 像与直线y = 2x平行，且y = g（x）在x =

42、 -l处取得极小值，-1（6工0）.设（1）若曲线y = /（x）上的点尸到点Q（0的距离的最小值为后,求加的值；(2) Z(&eR)如何取值时，函数y = /(x)-依存在零点，并求出零点.解：(1)依题可设g(X)= (+1尸+加-1( QWO ), 则g'(x) = 2a(x 4-1) = 2ar+ 2a ;又小的图像与直线y = 2x平行：,2a = 2 a = g(x) = (x +1)2 -F /n -1 = x2 + 2x + m ,/(x) = x4- - + 2 ,XX设尸(qJ，则|PQ=x：+(y0-2)2 =x+(x0+)2文()=2x(； H + 2m

43、 N 2y12m + 2m 2V2 | m +2m A 2当且仅当2/=勺时，|PQ取得最小值，即|PQ|取得最小值四 痴当? > 0 时，J(2& + 2)m = V2 解得 w = V2-1当7<0时，-J(-2V2 + 2)w = V2解得”=-亚 -1(2 )由 y = /(x)-履= (l-k)x+二+ 2 = O(xhO), -M(l-)x2 +2x+/n = 0 (*)当左=1时，方程(*)有一解了 =4，函数y = /(x)»有一零点x = W；当时，方程(*)有二解oA = 4-4/(l-Z)>0 ,若机>0, k > 1-,

44、m函数y = f(x)-kx有两个零点*=-2±44一4皿1心，即 2(1 无)1 i J1 - ?(1 - k)X= k-若6<0，k < 1 -, m函数y = f(x)-kx有两个零点-2土,4-4砥12 ,即m( - k)x =；k-l当 Z W1 时,方程(*)有一*解u> A = 4-=。/k = l /m函数y = /(x)-质有一零点x = h = 'n综上，当 = 1时，函数y = /(x)-日有一零点工=-令；k5k< 1- ( /n<0 )时，mm函数y=/(x)-"有两个零点"1土/；一心；当A = l

45、_l时，函数y = x)一日有一零点x = _L = _m.mk-22. (2008年高考数学江苏卷第18题)设平面直角坐标系丁中，设二 次函数f(x) = x2+2x+b(x e R)的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交 点的圆记为C。(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请 证明你的结论解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.(I )令x=0,得抛物线与y轴交点是(0, b)；令/()=£+2%+6 = 0,由题意 bwO 且>(),解得 bVl 且 bwO.(II )设所求圆的一般方程为/+y2+Dx+Ey+

46、尸=0令y=0得/+瓜+f=0这与寸+ 2+人=0是同一个方程，故D = 2, F b.令x =0得丁 +3=0,此方程有一个根为b,代入得出E = b1.所以圆C的方程为f+ V+2x-(b+l)y + Z; = 0.（Ill）圆c必过定点，证明如下：假设圆C过定点（面,打）（如外不依赖于勿，将该点的坐标代入圆C的方程, 并变形为片 + y：+2%-%+优1-汽）=0（*）为使（*）式对所有满足 <1（6x0）的b都成立，必须有1 - %=。， 结合（*）式得片+ y： + 2xy0=。，解得二：或二：2，经检验知，点（0,1）,（-2,0）均在圆C上，因此圆C过定点。8现实生活中函数

47、的实际问题23. （2009年高考数学山东卷）两县城A和B相距20km,现计划在两县 城外以AB为直径的半圆弧&上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市 的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度 为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km,建在C处 的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理 厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数 为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系 数为k，当垃圾处理厂建在&的中点时，对城A和城B的总影响度为 0.065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1

48、）中函数的单调性，并判断弧麓上是否存在一点，使建 在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该 点到城A的距离;若不存在，说明理由。解法一：（1） 如图，由题意知cr 4 kAC±BC, SC2 =400-x2,y = +-(0<x<20)x 400-厂其中当x = 10&时,y=0.065,所以k=9所以y表示成X的函数为y = 3 + *_ J(0<x<20) x 400 x(2 ) y- 4 I 99x(-2x) =18/-8(40°-/)2 令，=o 得 X2 400-x2 , - x3 (400-x2)2?(400-

49、x2)2'、'18无4 =8(400-V)2 ,所 以 X2 =160 ,即 x = 4>/io ,当 0<x<4历 时， 18x4<8(400-x2)2 ,BP1<0所以函数为单调减函数，当4#<x<20时, 18/>8(400-犬)2,即">()所以函数为单调增函数.所以当X = 4而时，即 当C点到城A的距离为4何时，函数y = ： + _(0<x<20)有最小直 r 400-%解法二：(1)同上.(2 )设机= /, = 400 - x2,则 m+ n = 400, y = + /所以 m n4

50、 9 z4 9、z + 1 rio An 9机、11一、 l 止口 m 土y = + - = ( + -)=13 + (一 + ) >(13 + 12) = 当且仅当m n m n 400400 w n 40016例=%即( =240时取”=".m n /n = 160下面证明函数y = 臼 + F在(0,160)上为减函数，在(160,400)上为增 m 400 m函数.、门n 4949设 0<mi<m2<160,贝I %=+-(+)"4 400 -叫 m2 400 - m244 . .99、 4(%-犯)9(犯一%)+ () =- +!叫 m2

51、400-叫 400-根2 mym2 (400 - )(400 -m2)、49i ,、4(400-in,)(400-/n,)-9m.m.)-=(机。一叫)-tt-77-班机2 (400-)(400-，%)mxm2 (400 - mx )(400 -m2)因为 0<mi<m2<160,所以 4(400-nz,)(400-m2)>4x240x2409mm2v。所以4（能需。；赢二普。,所以（吗-町）>。即y>%函数尸在4(400 一班)(400 -zn2)- 9，%，%m?(400 一 町)(400 7n2)（0,160）上为减函数.同理，函数y = & +一在（160,400）上为增函数，设160<mi<m2<400,贝IJ m