2022年高考数学模拟试卷

1、2022年高考数学模拟试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)1. (2021德州模拟)已知集合A = x|-2<1 x<3, B=xGNFW3:,则(CrA)CB等于()A. (3,6B. (2,6C. 3,4,5,6)D. 4,5,6答案C解析 VA = x|-2<l-jc<3 = x|-2<v<3, B= xGNF<6x = 0,1,2,3,4,56,/rA = xIx一2 或xN3,(CM) C3= 3,4,5,6.2. (2021日照模拟)已

2、知复数2=5山至一icos豆，则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析z=sin普一icos誓=坐，所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限.3. 设直线/是曲线_/(x)=e*+cosx在点(0,2)处的切线，则直线/与x轴、y轴围成的三角形面 积为()A. 2 B. 1 C. e D. 4答案A解析 因为 _/(x)=er+cosx,所以 / (x)=e*sinx,所以/ (0)=e°sin0=l,所以直线/的方程为y-2=x-0,即y=x+2,令 x=0,得 y=2,令 y=0,得X=一2,所以直线/与x轴、y轴围成的三角形面

3、积为:X2X2=2.4. (2021绍兴模拟)函数八F+lx的部分图象是()ABD答案D解析函数危乎的定义域为又(1 *)sin xev+e-xfix),.y=/（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除A, B；对于C, D, ；x=l是人=0的一个解，且当Oal时，凡。0,排除C.5. （2021新高考全国H）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36 000 km（轨道高度 是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径为6400 km的球，其上点 A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表

4、面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2（l-cos a）（单位:km2）,则S占地球表面积的百分比约为（）A. 26% B. 34% C. 42% D. 50%答案C解析由题意可得，S占地球表面积的百分比约为6 4002兀户（1 cos a） 1 cos a6 400+36 000七? -2 二2七 042 =42%.6. （2021太原模拟）跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础 代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健 身计划，他第一天跑了 8千米，以后每天比前一

5、天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需 要（）A. 16 天B. 17 天C. 18 天D. 19 天答案B解析 依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程（单位：千米）构成等差数列，且首项为8, 公差为0.5, 设经过天后他完成健身计划，则8+“（，2 0X注200,整理得 n2+31n-8000.因为函数犬x）=*+31x8OO在1, +8）上单调递增，且共16）0,417）0,所以“217.7 . （2021全国乙卷）魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是 测量海岛的高，如图，点E, H, G在水平线AC上，OE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“

6、表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与的差称为“表目距的差”，则海岛的高A8等于（）A E H G,表高义表距，一 从表目距的差十表同表高X表距,充兀 C&H距的差+表距答案Ac表高义表距B表目距的差一表同表高X表距主而 D表目距的差一表距nrFGDF FH因为尸GA8,所以肉=解析77,所以GC=5*CA,因为OEAB,所以器=言，所以C/1/io/D ArtEH=AH,又 DE=FG,所以 GCEH=(CAAH)=XHC=X(HG+GC)X（EG-EH+GC）.由题设中信息可得，表目距的差为GC-E”，表高为表距为EG,则上式可化为，表目距的差=磊乂（表距+表

7、目距的差），所以AB=4目；：；,黄义（表距+表目距的差）=表高义表距 表目距的差上表高.8 .已知尸为抛物线丁=法的焦点，A为抛物线上的动点，点8（ 1,0）.则当忌骷取最大值时，依目的值为（）A. 2B邛C.乖D. 2小答案C解析 厂为抛物线V=2x的焦点，培，0）,准线为广一;，设4传，a）,则依8|=4俘+1+邕4L由基本不等式得/+$24,当且仅当。=地时取等号,故5；篝产坐当且仅当时取等号,此时|48| =二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德

8、在砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数。即，则下列不等式不一定成立的是（）A.l答案ACD解析 对于A中，当a= -1, 6=2时，满足>从 此时故A不一定成立;标+/对于 B 中，因为 a2+/?22ah=（ab）2>0,所以 a2+b1>2ab,即 ah<,a2+序所以aK2定成立，故B一定成立；h a对于C中，当a=l, b= 1时，满足a>b,此时,+= 1 1 = -2<2,故C不一定成立;对于D中，当a=l, b= 1时，满足0>

9、;从 此时:=1>石=1,故D不一定成立.10. （2021黄冈模拟）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高三一段 时间的教学成果进行测试.高三有1 000名学生，期末某学科的考试成绩（卷面成绩均为整数）Z 服从正态分布M82.5 , 5.42）,则（人数保留整数）（）参考数据：若 ZN, a2）,则 P（/，一o<ZW+<7）"0.682 7, P（/i2o<Zn+2a）0.954 5, 尸仪 一3“<Z<+3b）Q0.997 3.A.年级平均成绩为82.5分B.成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等C

10、.成绩不超过77分的人数少于150D.超过98分的人数为1答案ABD解析对于 A, ：ZM82.5 , 5.42）, 4=82.5,（7=5.4,由正态分布概念知，年级平均成绩=82.5, A正确； 95+70对于B, 一=82.5=，成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等，B正确；,丁，1 -0.682 7对于 C, ；77心82.55.4="一。，:.P(ZW1 5P(Z0-o)=豆=0.158 65,VI OOOXO.158 65=«159>150,二成绩不超过77分的人数多于150, C错误；对于 D, ,.,82.5+5.4X3=9

11、8.7=99,、,1 -0.997 3.尸(Z299)七 尸(Z2+3c)=0.001 35,VI 000 X 0.001 351,；.超过98分的人数为1, D正确.11. (2021新高考全国)已知。为坐标原点，点 Pi(cos a, sin a), P2(cos尸，sinp), Pj(cos (a+份，sin (a+/?), A(l,0),则( )A. |dPi| = |dP2|B.丽尸而2|c.OAdPy=dPdp2D.OAOP=OP2-OP答案AC解析 由题意可知，OP =-/cos2 a+sin2 a = 1, |OPi=>/cos2(siny?)2 = 1,所以=IOP2I

12、，故A正确；取a=：,则尸1惇，乎)，取片笔 则外(一乎，乎)，则丽!I，故B错误；因为。4OP3 = cos(a+Q), OP OP2 cos acos £一sin asin 0=cos(a+万)，所以。4。8=OP OPi,故C正确；因为。4OPi=cosa, OP2,OP3=cos夕cos(a+/?)sin£sin(a+S)=cos(a+2/0，取仪=不'=不则殖而尸坐,励仍= cos+-乎，所以近1.mW办2旗，故D错误.12.如图，正方体ABCO48G。的棱长为a,点E为棱A。的中点，点P,。在正方体的 表面上运动，且4尸=也。,。£，3

13、3;>,若动点P的轨迹的长度为3兀,则下列结论正确的是( )A. a=lB.四面体ACBiOi的外接球表面积为12兀C. QE平面 AOiCD.动点Q的轨迹长度为3近答案BCD解析 如图，连接45, AC, ABi,则易知45=AC=A8i=6a,所以在平面ABCD,平面 ABBiAi,平面AOCiAi内各存在一个满足AP=/a,当点P在平面4BCQ1内时，连接 AiP,因为平面ABiCiOi,所以A4i，4P,所以4P=/4尸一44彳=4（&4）2一层=”,IT /77T所以点尸在平面45内的轨迹就是以4为圆心，a为半径的w圆弧，其长度为“义i=亏, 同理可得，点尸在平面8CG

14、8内的轨迹的长度为号，点P在平面CDGG内的轨迹的长度 为学，所以点P的轨迹的总长度为3Xm=3兀，解得a=2,故A错误.四面体ACBB的外 接球即为正方体A8CO481cl。的外接球，D,GAB所以2R=a=2小,R=S，所以5表=4兀/?2=12兀，故B正确.分别取 OU, DC 的中点 M, N,连接 EM, EN, MN, CD,所以 ENAC, EM/ADy,所 以平面AC£>i平面MNE,由正方体的结构特征易得BQ_L平面ACO”所以BQ_L平面MNE, 、回I-又所以点。的轨迹就是可£,显然MN=EM=EN=¥a=巾,所以点。的轨迹长度为3啦，

15、故C, D正确.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. （2021新乡模拟）若 tan a=2,则 sin（2a"5=.3答案5解析 由 tan a=2,得 sin a=2cos a,代入 sin2a+cos2a= 1,可得 cos%=g,14. (2021海南模拟)某班级班委包括4名女生和2名男生，要从中抽选2名女生和1名男生 参与毕业典礼志愿者工作，并把他们安排在3个不同的岗位，其中A岗位不安排男生，则不 同的安排方式种数为.答案48解析 先抽取2名女生和1名男生，共有C?a=12(种)，再把他们安排在3个不同的岗位上, 减去男生安排在4岗位的情形，则不同的安排方

16、式有12X(AAa2)=48(种).15. (2021合肥联考)如图，已知圆。的半径为2, A8是圆。的一条直径，E尸是圆。的一条 弦，且E/=2,点P在线段E/上，则丽丽的最小值是.E答案T解析如图，连接OP,由题意可知, PAPB=(PO+OA)(PO+OB)=(PO+OA)(PO-OA)=PO2-OA1=PO2-4,连接OE, OF,在OEF中，当尸时，。尸最小，因为 OE=OF=EF=2,所以OP的最小值为，=小，因此荷丽的最小值为- 1.X2- 1. %<1.16. 已知函数«x)=« nx 、若关于x的方程2/(x)尸+(12m况一机=0有5个不同的实数解

17、，则实数，的取值范围是.答案(0，)解析 设y=¥，则y'=三磬，由y' =0,解得x=e,当x£(0, e)时，y' >0,函数单调递增，当xW(e,+8)时，<<0,函数单调递减.当x=e时，函数取得极大值也是最大值为土方程 2/(x)2+(l 25双0一相=0 化为伏x)刈R/(x)+l=O.解得以尸团或人外=一去 画出函数凡T)的图象如图，可得机的取值范围是(0,1八三，” CrT1 2四、解答题(本题共6小题，共70分)17. (10分)(2021铁岭模拟)补充问题中横线上的条件，并解答问题.在asinC=6,°

18、=小 b,。=6这三个条件中任选两个，分别补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b, c的值；若问题中的三角形不存在，请明理由.问题：是否存在ABC,它的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且, , (2c-Z?)cos A=acos B?注：从条件任意选择两个填入问题中解答即可，如果多组分别解答，按第一组解答计 分.解 由(2cA)cos A=acos8 及正弦定理，可得 2sin Ceos A sin Bcos A=sin Acos B.则 2sin Ceos A=sin(A+B),因为 sin(A + 8)=sin C#0,所以 cosA='TT因为0<A&l

19、t;7T,所以A=§.方案一：选条件.因为 a=、J3b>b,所以 sin A=，sin 8, sin B=y 故为.所以 C=.这样的三角形存在.由 csin A=asin C=6, 得 c=4，§, 所以 b=2*5.方案二：选条件.冗TI由 asin C=6, a=6,得 sinC=l, C=5，8=不这样的三角形存在.由 csin A=asin C=6,得 c=4巾，所以 b=痴 0 =2小.方案三：选条件.因为。=小仇a=6,所以b=2小.由 a2=b2+c2bct 可得 c22小c24=0,解得 c=4小.18. （12分）（2021南通联考）已知等差数列

20、的前项和为S”，6=5, S6=36.（1）求数列斯的通项公式；（2）记"为log"在区间（0, &J（/nWN"）中正整数七的个数,求数列时的前m项和.解（1）设等差数列m的公差为乩= 1,d=2.。3=。|+2d=5,则，6X5解得Ss 6 + 2 d 36,。=1+5 1)X2=2 - 1.由 0vlog2kWa,=2ml,解得 14W22"门'为logzR在区间（0, 4,J（m£N"）中正整数的个数，.瓦=2为一 1=2X4”门一 1,设数列瓦的前?项和为Tm，2(1 4")" m = t

21、1432 my19. （12分）（2021赣州模拟）遵守交通规则，人人有责.“礼让行人”是我国道路交通安全 法的明文规定，也是全国文明城市测评中的重要内容.道路交通安全法第47条明确规 定：“机动车行经人行横道时，应当减速行驶，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行.机 动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过道路，应当避让.否则扣3分罚200元”.下 表是2021年1至4月份某市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数 据：月份1234违章驾驶员人数12510510090（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的线性回归方程y=bx+a,并预测该路口 2021 年5月不“礼

22、让行人”驾驶员的大约人数（四舍五入）；（2）交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人，调查驾驶员不“礼让行人”行 为与驾龄的关系，得到下表：不礼让行人礼让行人驾龄不超过2年1020驾龄2年以上812判断是否有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？n n 一 x y Y 出一x )8 y )Ai=参考公式：b=氏一AX?(X,T)2i=l产 P(K2 2 kt)0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879其中 =a+b+c+d.)Madbe?K (+h)(c+d)(a+c)(h+d)，解(1)由表中数据易知，x1+2+3+4 5

23、=4=29125+105+1(X)+90 y =7-105,gr 渺一 4x jr,1=1995-1 050" 一 ：5则6= 7T tt = -11, u- y -b x = 105-(-11) X'z- 132.5»4 SU - ZjZ浸一4 X 2故所求线性回归方程为y=-llx+132.5,A令x=5,则>=-11X5+132.5=77.5-78,预测该路口 5月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为78.口 , 50X(10X12-20X8)2(2)由表中数据可得K2=*不=力"七0.23<2.706, 1 o A JZ A JU A Z

24、U没有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关.20.(12分)(2021西安模拟)在如图所示的几何体中，平面AC瓦L平面A8CD,四边形A8C。为平行四边形，ZCAD=90°, EF/BC, EF=BC, AC=2, AE=EC=也(1)求证：A, D, E, F四点共面，且平面AOERL平面CQE；(2)若二面角E-AC一尸所成平面角为45。，求点。到平面AC/的距离.(1)证明.四边形A8C。为平行四边形，.,.AD/BC,"JEF/BC, ：.EF/AD,.'.A, D, E, F四点共面.V ZC4D=90°, ：.AC±AD,平面

25、ACE_L 平面 ABCD,平面ACED平面ABCD=AC,.AO_L 平面 ACE,；CEu平面 4CE, A CELAD.'：AC=2, AE=EC=y2,：.CE?+AE2=AC2,：.CELAE,.,AEC4£)=4, AD, AEu平面 4OEF,；.CEJ平面 ADEF,；CEu 平面 CDE,：.平面 ADEFL 平面 CDE.(2)解 I平面 ACE_L平面 ABC。，ZCAD=90°,.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 AQ=2am>0),则 A(0,0,0), C(2,0,0), £(1,0,1), F(l,充=(2,0

26、,0),亦=(1, -a,l),设平面AC尸的法向量为m=(x, y, z),m-AC=2r=0,则J取 y=l,得，”=(0,1, a),m-AF=xay+z=0,平面ACE的一个法向量为"=(0,1,0),.二面角E-AC-F的平面角为45。，.mn 1y2c°s 45 |词|厂疝了一 2，解得a=l,：.AD=2,则 4O=AC=2, AF=CF=, Sxco=；X2X2=2,X2X.(小4- 1 =y2,设点。到平面 ACT7 的距离为人，则 Vd-acf= Va 4cd> 即，XS<mcfX/i=XSaxcoX 1,解 得 h='/2,.点。到

27、平面ACF的距离为啦.21. (12分)(2021南昌模拟)设椭圆C：，+g=l(a>6>0),。为原点，椭圆的右顶点和上顶点 分别为A, B,点。(0,2),椭圆C的离心率为叩，且NQ4B=NOD4.(1)求椭圆C的方程；(2)不与x轴平行的直线/与椭圆C交于不同点P, Q,已知点尸关于x轴对称点为点M,点 。关于原点的对称点为点M且。，M, N三点共线，求证：直线/过定点.y2(1)解椭圆C的离心率为竽， a=yic, b=c,又.NOA8=NOOA,/. tan Z OA8=tan Z ODA,=?,:W=2b, 2庐=2b,故椭圆的方程为5+=1.证明 由题意，可设直线/:

28、 x=my+n, P(x9 y)9Q(X2, J2)» A/(xi, -yi), N(X2, -yz), x=my-n,联立方程 3 .、#(/n2 + 2)y2+2/nny+«22=0,-2mn y'+y2=+i' n22 *二鬲5A=Wn2 - 4(/r+2)(n2 - 2)>0,即 m2+2>n2.DM=(x9 一一2), DN=(X2,一及2), ,:D, M, N三点共线，：.DM/DN, ：.x(-y2-2)=x2(y+2),(wyi + n)(yz-2) = (my2+2),； 2my tj2+(2m+n)(y +”)+4=0.n22(l2mri. 2z2+2+Qm+) ? +