2022年高考数学冲刺讲义专题 3 .7椭圆的综合问题

1、专题3.7 椭圆的综合问题I.与直线与椭圆有关的解答题的求解策略：(1)求解此类问题，时常把两个曲线的方程联立，消去X (或丁)建立一元二次方程，然 后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情 形.有时若直线过x轴上的一点，可将宜线设成横截式.2.求定点、定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个值与变量无关：(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点或定值.【预测题1】已知椭圆C： =长轴的顶点与双曲线O：二一与=1实a2 b2 y 74 b2轴

2、的顶点相同，且。的右焦点F到D的渐近线的距离为卫.7(1)求。与O的方程;(2)若直线/的倾斜角是直线y =(石-2)x的倾斜角的2倍，且/经过点/与。交于A ,B两点,与。交于A/，N两点，求,【答案】(1)椭圆的方程为三+ = 1，双曲线的方程为工- = 1； (2)叵. 43436【解析】(I)因为椭圆C长轴的顶点与双曲线。实轴的顶点相同,黑岑双曲线。的渐近线为y = gx,即bx2y = 0,所以右焦点E(c,()到渐近线瓜2y = 0的距离为由解得力2 =3，。2=1，2222所以椭圆的方程为工+匕=1,双曲线的方程为土-匕=1. 4 34 3（2）设直线y = （、后-2）x倾斜角

3、为6,则tan6 = 6-2,所以tan 20 =2tan6 _ 2（逐一2） _1l-tan所以|= Jl + |x3 x41 = Jl + k，（刍 + 七卜4七七=J1 + 彳, Jl + 260- 1-（5/5-2）2 2所以直线/的方程为y = J（xl）,设A（x，y）, B（x2,y2）, “（演,%），%（%”），1 ,八y=-U-D联立，2，得4/2%11=0,x- , y所以 X1 +*2=5，X|X2 =一,所以 I A8| = J1 + &2 |1 -X2 = yj+k2 - J（X1 +。2）2 _4中2 = J + ； ,y = l（X-l）联立，2.得2/+2x-

4、13 = 0,所以毛+4=T, XjX4 =-1315|AB| 7 V15所以丽=砺=丁.【预测题2】在圆V + y2=4上任取一点T,过点T作x轴的垂线段77）,。为垂足，点尸为线段7的中点.（1）求动点P的轨迹C的方程;（2）斜率为Z伏0）且不过原点。的直线/交曲线C于A, B两点，线段AB的中点为E,射线0E交曲线C于点M,交直线x = 6于点N,且=|咖卜。耳，求点”(0,1)到直线/的距离d的最大值.【答案】(1)+ /=1：.4 3【解析】(1)设点P的坐标为3,y),点T的坐标为(%,%),则x = %, y = &,x：+ y： =4 且% = x, y0 = 2y , x2

5、+4y2 = 4 ,动点P的轨迹。的方程为 + y2=l (2)设直线/:y = Ax+皿0,机60)的左，右焦点分别为K，8，过K的直 a- b线/与椭圆。交于M, N两点，圆。是&WV8的内切圆.当直线/的倾斜角为45。时,4 1直线/与椭圆。交于点|一，一 (1)求椭圆。的方程；(2)求圆。周长的最大值.【解析】（1）设椭圆C的半焦距为。（c0）,则6（-c,0）,当直线/的倾斜角为45时，直线/的方程为y = x+C,又直线/与椭圆C交于点（一,一；）,，c=l,将点一,一代入椭圆方程得9伍2+1）+万=1解得从=1 或=-g （舍），.=2，椭圆C的方程为工+ y2=i；2（2）设圆

6、尸的半径为r（r0）,巧宜线/的斜率不存在时，宜线/的方程为x = l, |MN| = J5, = g（|MN| + | 惆+ |N闾）r = 2a=；x2xVL=当直线/的斜率存在时，设为k，宜线/的方程为旷=履+人2设N8 ,丫2），（y = kx + kx2 ；得（2%2 + 1）*2+4攵2犬+2女2 一 2 =0 ,S心=彳内名恒一必|=1段|石一工2|2=| k | J（X + 工2 J - 4x,x2 =1 k I（2Jt2 + l）2 2k+ 1（2 公+ 1）综上，0/70)的右焦点厂恰为抛物线:产=4%的焦点, ci b(2向P %,三一是椭圆c与抛物线E的一个公共点(1)

7、求椭圆C的方程； (2)过点/且不与x轴平行的直线/交椭圆C于A、B两点，线段AB的中垂线分别交X、ABy轴于M、N两点，求、mn 的取值范围22【答案】（1） + - = 1； （2） 12,-ko）.43255【解析】（1）由点夕在抛物线七上知”则P到抛物线准线的距离为屋所以I。/1=：， 设椭圆左焦点为耳，则尸耳=J（g） +（半 =:,S 7丫2 .2所以2。= ； +彳=4,。= 2，又c = l,所以b = G，椭圆C的方程为工+匕=1;3 3、43(2)设直线/的方程为x = my + l,与椭圆C的方程联立得(3帆2 + 4)/ +6my-9 = 0 .设Aa，y), 8优,%

8、)，则y+ %y,y2= 9 3机 +43m +4由A8_LMN知|AB|A/N|y -乃Xm |弘 一 %| = J（M + %-4yM =，设 AB 中点坐标为（元0，%），5m + 4X +必23m3M + 4%)=+1 =43m2 + 44x3w +43m故AB中垂线方程为y +7 = m3m +4令y =。得知=二二，所以上粤=12标丁Te12,+8）. 3m-+4 MNAB【名师点睛】解决本题的关键，T定义的运用，二是时砌的化简与求范围.X? y22预测题6已知椭圆C: +L=1（。 0）的左、右顶点分别是点N , B ,直线/ ： x =-与晒C相交于E两个不同点，直线DA与直线

9、DS的斜率之积为j的面积为逑.（1）求椭圆C的标准方程;2（2）若点p是直线/:x = j的一个动点（不在x轴上），直线AP与椭圆C的另一个交点为Q , 过P作的垂线，垂足为M，在x轴上是否存在定点N,使得为定值，若存在， 请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（I） y + y c 8-=ITlt - 2, /. t=， 3m .TPA.BQ, ：.fP-BQ = (-xoxl-2) + tyi=O,2 fy. 28 4m /n2 +4 八.x =一 + !- = 一+= 0,3 2 3 3m ni 4- 4 16二直线PM过定点T（0,（），存在定点N（l,0）,使得=【名师点睛

10、】此题考查椭圆方程的求法，考杳直线与椭圆的位置关系，考杳计算能力，解题的大键是设宜线PM与x轴相交于点丁（七,0），山即意得TPLBQ,设直线A尸的方程为x = my-2,然后宜线方程与椭圆方程联立方程组，可求出。点的坐标，再由7PL5Q, =1； （2）存在，定点为N（1,O）.【解析】（1）设。（9%）,由题意得,Kda Kdb 22 4F CICL 332、2同=次4 +, =19a2 b-b = 1x2,2，椭圆C的方程为工+y2=i；/=44 （2）假设存在这样的点N，设直线PM与X轴相交于点丁（七,0），由题意得TP-LBQ，由（1）得8（2,0）,设Q（X1，X），由题意可设直线

11、AP的方程为犬=冲-2,x = my-22 X2 2，得(+4)丁一4冲=0, y =一或凹=0(舍去)，x =至二+ y = 1m-+4m +4 可得x（）=0,从而可行答案，属于中档题.【预测题7】已知椭圆G：* + 4 = l（ab0）,其短轴长为26，离心率为勺，双曲 cT b一22线C,：二一二=1 （p0, q0）的渐近线为y = JIx,离心率为02,且4注2=1.p q（1）求椭圆G的方程： （2）设椭圆G的右焦点为F，动直线/ （/不垂直于坐标轴）交椭圆G于M，N不同两 点，设直线FM和FN的斜率为勺，&，若匕=-他，试探究该动直线/是否过x轴上的 定点，若是，求出该定点；若

12、不是，请说明理由.【答案】（1）+ 21 = i；（2）直线过定点（4,0）. 4322【解析】（1）由题意知，椭圆c：0+2=1（。人0）,其短轴长为2g，可得力=百，椭圆的离心率为，22双曲线C,：二 = 1 （ p0,夕0）的渐近线为y = 土百X, p q即聆=6,即：=3,所以离心率为02= Ji = 2,且42=1.所以弓=! = = =竺=X，解得。=2,2 a a v a22所以椭圆方程土+匕=1:43（2）假设该宜线过定点。,0）,设宜线/的方程y =%（工一。,y = &(xT)*2 y2 ,消去y整理得(3 + 4左2卜2-8%2rx+4&2产-12 = 0,I 4 3设

13、M。，y），N（w，%），则D tKJ 十4K 0=-3 4标0,M =上+_2z_ = MxT) + Mz-f) = k (国一)(七一1)+&，)(1-1)X1 Xj 1%)1Xj1(%)1)“弋消黑甫上”/.gwY+w+s+zuo,即24左25一 12 / ,、8 AA73(/ + 1)773+4公，3+4公+ 2f =8A2 / 一 24 - 8A - 84 2f + 61 + 8A2r3 + 4公所以24+6，= 0,解得，=4,即直线过定点（4,0）.【名师点睛】圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用根 与系数关系、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，

14、距离关系，面积等）直接计算，即 可求出结果，运算量较大.r2 v2【预测题8】已知椭圆Ei + JuKa。）的左、右焦点分别为力,居,P是椭圆E上 a b3的一动点，且|P制的最小值是1,当尸垂直长轴时，|产制=一.（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在斜率为- 1的直线/与以线段EK为直径的圆相交于A,8两点，与椭圆E相交于C、。两点，且|。|.|48|=处但若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.22【答案】（1） + - = 1： （2）存在；y = -x+l或y = -x-l.43【解析】（1）由题意，点P在椭圆上的个动点，且|尸国的最小值为1,得ac=l,3序 a因为当下式垂直长

15、轴时，|尸耳| =二,所以幺=2,即2=3a，11 2a 2又由。2=+。2,解得a = 2力=% , 22所以椭圆。的标准方程为L+匕=1.43（2）假设存在斜率为-1的直线/,设为丁=一+胴,由(1)知，式(-1,0),8(1,0),所以以线段FF?为直径的圆为f + y2 =,由题意，圆心(0,0)到直线/的距离=1，得|帆|后, 所以IAB = 241 -/=2,1 一等=0Xl2-m2，22X J 1+ - 1联立, 43，得7%2 8m+4/2 12 = 0，y = x + m由题意， = （8相-4x7x（4m2-12） = 336-48w2 =48（7-/n2）0,解得病7,又

16、|帆|四，所以疝2，设。（与，y），。（9,%），niI 8m 4/n2 -12则%+入2=7，须马=- 所以| C）|= J1 + k , _%| = &x +）_ _4X|X,若皿1诏苧，则而疡3竽xK =竽, 所以m4 一9m2+8 = o,解得/=1,或/ =8又n?/2 1丫2所以椭圆。的方程为土+匕=1 .42(2)当A8斜率为0时，AB = 2a = 4, |CD| = = 2. AB+CIJ = 6 ,同理，、iA8斜率不存在时，也有|A8|+|cq=6.当A8斜率存在且不为0时，设斜率为k,则A8方程为丁 =左一3).设A&，X), 8(右见)，f 22工+2_ =联立 42

17、 - 得(1 + 2&2)/-40炉工+4k2-4 = 0,y = k(x-y/2)4k2-4dj2k2易知 = 1622 +16 0, 且 + 与=71 - 1 + 2 左 240 + 二）l + 2k2由弦长公式得，|AB| = y/+k2 - J（X +）2 -4尤X, = l + k2 4岳2丫4/一 4 + 2k2)1 + 2 左 2设 C(&,%)，。(4,)，因为A3_LCO，所以直线CD的斜率为-J,+ 2l + 2x所以，IM+|cq=40 +左 2) 4(14公)4(1 + 公)(3 公+3)12 仰+2公+1) 八-2+2)- 214+5公+21 + 2kk2+22k4

18、+ 5 k2+ 2=6-= 6-6& 22K+5攵2+22 k2 +因为公+22,当且仅当左2 =1即土时取“=”,所以|A5| + |C| = 6 =3,显然360）的左、右顶点分别为A3,上、下顶点 才 b-分别为C,。，右焦点为尸，离心率为其中4|E4|=|FB|C）F（1）求椭圆的标准方程；（2）设Q是椭圆M上异于A3的任意一点，过点。且与椭圆M相切的直线与x =-。， x = a分别交于S,T两点，以ST为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在，请说明理由.22【答案】（1）+ - = 1： （2） ST为直径的圆过定点（1,0）.43【解析】（1）由条件可得4（a

19、+ c） = （a-c）（2b所以从= =上 = 3, ac 1ec 11七二5,所以八/二3,解得a-，所以椭圆的方程为三+亡= 43（2）设Q（玉），No），2）,所以3 + = 1.对椭圆片+=1求导得，+y=o.所以切=一理，43434yo所以切线方程为y-yo = 一：%（xxo）,4 yo将代入上式，得切线方程期+纯=1, 43分别联立x = -2,x = 2 ,得 s| -2,-/ 6-3x0I 2% J所以以ST为直径的圆，圆心为0, I %,半径V所以 |ST=4, =(2 + 2 +6 3%)6 + 3x02% 2yo9x2= 16 +冬%I 2%22(.2、43所以, 3

20、6，=4 HQ斯因为无+及=1,所以片=4 1 一之 433(3 Y9所以网的方程为%2 + y= 1H Iy0Jy0z (3 丫 9,令2 = 1，得 y=-7得 = 1 时，y = 0,Iy0)%所以ST为直径的圆是过定点(1,0).22【预测题14已知椭圆E： +二=l(Qb0)的右焦点为尸(C, 0),圆O： +/=472,过点 a b尸与x轴垂直的直线在第一象限交圆与椭圆分别于点A, B,且点P 1,在椭圆上.(1)求椭圆E的方程；(2)过点F且斜率为的直线/与E交于C,。两点，CQ的中点为M,直线与椭圆 有一个交点为M若加。=；丽，求AMN尸的面积.【答案】(I)+ - = 1；

21、(2)生且. 429*b2【解析】(1)由题意知A(c, b), B(c,),因为依/7= J5 BFt 所以 b= y/2, 所以J5 b,a乂点产(I，9)在椭圆上，所以f + y=l,解得斫2, k垃,2a4b义22所以椭圆E的方程为土 +匕=1 42(2)依题意可得直线/： y=k(x - 72).y = k(x-/2)x2 v2 , W( 1+2 - 4 72 lcx+4lc - 4=0,+ = 142则 4=32产-(-4)(l+jt)2=36k?+40,，x()=l + 2k2设 C(, Vl), D(X2, ”)，M(X0，Vo) 所以 X|+X2=rrl + 2k2所以、二所

22、以M1 + 2小2折:2 一五k1 + 2k2， + 2k2因为血=,丽，所以N3-6疯 2 30/1 + 2公1 + 2公72k因为点N在椭圆上，所以即干+际千=1解得F=-舍去)或R=J_,所以七立, 2771y/2/2 -yflk2 l + 2k2 1+2火2M 以 SxMNF= - |OF|va- - V.v/|=|vz - vm|二2224也 k =J- = ,所以MNf面枳为生旦. 1+2标 .2991 H722【预)则题15】已知椭圆M： + 上j = 1 (ab0)过A (2, 0), B (0, 1)两点.a2 b(1)求椭圆M的离心率;（2）设椭圆M的右顶点为C,点尸在椭圆

23、M上（尸不与椭圆M的顶点重合），直线AB与 直线CP交于点Q,直线8P交x轴于点S,求证：直线SQ过定点.【答案】（1）在；（2）证明见解析. 2【解析】 因为点（一2,0）, 8（0,1）都在椭圆M上，所以。=2, b = ,所以c = Ja2_=j5.所以椭圆M的离心率6 = =且.a 22（2）由（I）知椭圆M的方程为土+y2=l, C（2,0）.4山题意知直线AB的方程为x = 2y-2.设2(%,%) (%工0, 为h1), Q(2yQ-2,yQ) , S(xs,0).因为CP,。三点共线，所以有丽，CP = (x0-2,y0),CQ = (2yQ -2-2,yQ).所以(与-2)% = %(2%-4),所以 = . 2y0-x0 + 24% + 2%4 4yo 、所以。(才1，-幼一.2% 一 % + 2 2y - + 21yLi%因为B,S,尸三点共线，所以=,即4=丁久一. _Xs Xo1-Jo4y+2x-4x(,所以S(4,0),所以宜线QS的方程为x= 2%_%：2 l +4,1f4%l-j02yox0 + 2即 X = /2 4城-4% +8% -4 + 再4%(1-%) 1一%因为点P在椭例M上，所以x02 = 4-4%2.所以直线QS的方程为* =丹(一1) + 2. i-y。所以直线QS过定点(2,1).【名师点睛】本题考杏求椭