2022年高考数学冲刺讲义专题 3.6空间向量与立体几何

1、专题3.6空间向量与立体几何1 .利用向量求异面直线所成的角的方法：ac-bd设异面直线AC, BD的夹角为P，则cos p= j可扇.2 .利用向量求线面角的方法：（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹 角（或其补角）;（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其 余角就是斜线和平面所成的角.3 .求二面角的方法通常有两个思路：（1）利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐 二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大;（2）传统方法，利用垂直关系和二面角

2、的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面 角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.（3）要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.4 .利用空间向量计算二面角的常用方法：（1）法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量 的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小：（2）方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量, 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.【预测题1】如图，在多面体A5CDE/中，四边形ABCO是等腰梯形，AB=BC = , AD = 2,四边形是直角梯形，且 Ab=1，DE = 2, AFA

3、.AD, AF/DE,平面 48CD_L 平面 ADEE.（1）证明：平面3£应_1_平面ABE.A（2）线段EF上是否存在一点P，使平面PAB与平面CQE所成锐二面角的余弦值为?4若存在，请说明P点的位置；若不存在，请说明理由.B C【答案】（1）证明见解析；（2）存在，P为"的中点.【解析】（1）证明：在等腰梯形4BCZ）中，AB = BC = l，A£） = 2，可得N84T>=60。.在A8O中，由余弦定理可得BO = Ji，所以432 + 3。2=452，所以他_16。.因为平面A8CDJ.平面A£>£户且交了A£

4、;>, DE1AD，所以OEL平面48CD.因为ABi平面4BCD，所以A3J_0E.因为BDcDE = D，所以A6_L平面BOE.因为ABi平面相£，所以平面或）EJ_平面相£.（2）解：如图，过3作A£>的垂线交AO 丁 0,过0在平面A£>防内作AZ>的垂线Or，建立空间直角坐标系O-xyz,则 A（0,-万,。），b|o,O,亨），C 0,1,- . I）（。,。），E（2，a，0）,-,0而= （1,2,0）,设丽=之而，则 +DE =(2,0,0), DC = 0,-,_( i _,AB = =(2 + 1,22,0

5、).设平面CDE的法向量为，" = （X，X，zJ .则<in - DC = - - y, +z. =02 12 ,令 4 =1,得 m =(0,6,1).设平面PA5的法向星:为 = （w，%，Z2）,n-AB = - y2- z2 =0人 】-(2-2 rr则 j 2 ''2 ' ，令z?=l,得=7y，-13,1n - P = (4 + l)x2 + 22y2 =。解得4 = ；,即当P为Eb的中点时满足题意.【预测题2】如图，在水平桌面上放置一块边长为1的正方形薄木板ABCQ.先以木板的AO 边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面AqC。，此时的大

6、小为火0<6<3.再 以木板的AB边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面AB|GR,此时NGB|G的大小也为e.（1）求整个转动过程木板扫过的体积;（2）求平面AgGR与平面A8C。所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）6>：（2） cos2 0.【解析】（1）整个转动过程木板扫过的几何体由两个底面为网心角为。，半径为1的扇形,n高为1的直棱柱组成，故其体积丫 = 2x（丁x兀x F x 1）=6.2兀（2）以A为坐标原点，方方向为x轴正方向，涵方向为y轴正方向，建江如图所示的空间直角坐标系A-xyz ,ZGC则 A(0, 0, 0), 8(0, cos0, -sin。), D(

7、-l, 0, 0), B/0, 1, 0), D(cos。, 0, sin0),AB = (0, cos<9, -sin。)，AD = (-1, 0, 0), 福= (0, 1, 0), AD = (-cos0, 0, sin。).设 = （x,y,z）是平面AB。的个法向量,则AB = 0一，即AD = 0ycos。一 zsin6 = 0-x = 0不妨令 y = sin。，可取 = (0, sin0y cos0),同理平面A81G。的一个法向量 z=（sin。，0, cos。），设平面八瓦。2。与平面A8CO所成锐二面角为9，eIIcos2 0，a则 cos cp - cos <

8、; ny m > = / -.= = cos' 0 ,Vsin2 +cos2 0 - vsin2 + cos2 0所以平面A耳GA与平面ABC。所成锐二面角的余弦值为cos?。.【预测题3】如图所示，在四棱锥PABCO中，ABHCD , AD=AB = -CD ,2ZDAB = 60，点E,尸分别为CD, 4尸的中点.（1）证明：PC/面 BEF；（2）若Q4，P£）,且Q4 = P。，面上4£>，面ABC。，求二面角C 的余弦值.【答案】（1）证明见解析：（2） 2叵13【解析】（1）连接AC,交BE点H ,连接FH ,因为 AB = CE, NHAB

9、 = NHCE, NBHA = /CHE,所以 4ABH ±CEH,:.AH = CH,:. FH UPC ,因为7u面EBE，PC平而EBE，所以FC/而EBE.(2)取 AD中点O ,连接 PO, OB ,由 PA = PD, ：.POLAD, 因为面PAD J_面ABCD,所以PO J_面ABCD.由 N£>48 = 60 ,A£> = A5, OB 1 AD ,以OA,OB,OP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,设AD = 2，则 41,0,0),8(0,瓜0),0(-1,0,0),P(0,0,l),F,0,1Efi = DA = (2,

10、0,0),BF = l1,-x/3,j,万= (0,0,1)为面 BEC的一个法向量,设面FBE的法向鼠为病=(x, y, z)，EB 沅=2x = 0BF fh = -x-y/3y z = 022取 y = VJ，得用=(0,6)，m-nc°s<2=$ =匹fh-n V3913因为二面角C BE/为钝角，所以二面角CBE尸的余弦值为一2叵.13【预测题4】如图，在四棱锥尸A8CO中，底面A8CD为正方形，P£>_L底面A8C。,“为线段PC的中点，PO = A£)= 2,N为线段8c上的动点.（1）证明： （2）当N为线段的中点时，求直线a 与平面M

11、ND所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析：（2）立.6解析】（1）证明:v_L 平面 ABCD, BC 平面 ABCD，二 BC±PD, 又 BC 1DC,PDcDC = D,PD、DC 平面 PDC,BC _L 平面 P£)C，又 MD 平面 PDC , /. MD± BC,RaPDC 中,PD 工 DC, PD = DC,M 为 PC 的中点.MD上 PC,PCcBC = C, PC、BC PBC，MD J_ 而 PBC，PN 平面 PBC,:. MD 1. PN ,（2）以。为原点,D4、OC、OP分别为x,y,z轴建空间直角坐标系D-xyz , 则 D

12、M = (1,2,0),设 = (x, y,z)为平面MNZ)的法向f,f n - 15M = 0,f(x,y,z)-(O,l,l) = O, y + z = 0,'方丽=0,(x,y,z)-(l,2,0)= 0,x+2y = 0,令x = 2,则 y = -Lz = l,故3 = (2,而= (-2,0,2), 记直线PA与平面MND所成角为。,则sin。= cos（,4P）【预测题5】如图，在四棱锥S ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，SD1DB,S8J.AC,点E是棱SD上的点.（1）证明：平面ABCD； （2）已知 SD = &A8 = 2，点 E是 S。上的点，

13、£>E = /LDS（O< A<1）,设二面角CAE O的大小为。，直线BE与平面48。所成的角为夕，若sin ° = cos。，求九的 值.【答案】（1）证明见解析：（2） 2 = . 2【解析】（1）因为底面四边形488是正方形，所以AC_L80,又SB_LAC，SBcBD = B,所以 AC_L 平面SB。，乂 AC u平面ABCD,所以平面SBD，平面ABCD，因为SDLBD，SDu平面SBD, 平面S3。Q平面 ABC。=，所以SO _L平面ABC。.（2）由已知及（1）可知 S£）_LA。，SD±CD, AD1CD,以。为原

14、点，DA，DC >的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间宜角坐标系.因为 SO = 0A8 = 2,所以 0（0,0,0），A（V2,0,0）, B（0,叵0）, C（0,V2,0）, S（0,0,2）, E（0,0,2/1）,EA = （V2,0,-2A）, EC =（0,72,-22）,丽= （0,0, -2/1）,设平面ACE的法向量为工= （x,y,z），则由G_L丽，1_L反得n-EA = Q 一，即n-EC=oyfix - 2az = 0 /l，取 z = 0，得 =(24,24, J2).V2y-22z = 0'7所以sin。=BEDS4/12x，4

15、+ 42易知平面ABCD和平面ADE的个法向量分别为丽=(0,0,2)和反=(0, J5,0).【预测题6】如图，在四棱锥P-ABC。中，PAJ_平面ABCD, AD/IBC, BC = 2AD, APAB = AD = CD = 2.的值.【答案】（1）证明见解析：（2）解析】（1）证明：取BC的中点M .连接AA1.因为 AD/8C, BC = 2AD,所以 AD/MC, AD = MC，从而四边形AMCZ）为平行四边形，所以AA/=0C = 2,于是所以A8J.AC. 2因为Q4_L平面ABC。，ACu平面ABC。，所以R4_LAC.又 AB，DAu 平面 P43，ABcP4 = A，所

16、以 AC_L 平面 75AB.又AC u平面PAC ,所以平面PAC 1平面PAB.（2） ih （1）知AB，AC. AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A-z，所以 3(2,0,0),(7(0,2百,0)，0(1,百,0), TOO,2).设而=2而，O<A<1，则反= (1,6,0)，PC = (0,2a/3,-2),PE = APB = (22,0,-22), 于是反=定一两=(一2尢26,一2 + 24).设平面PC。的一个法向量为4 =(X,y,zJ ,则1反=0,即<雇定=0,2回-2Z1=0.令y=1 , 得 q (/3,1, y/3) - 设平面ECD

17、的一个法向量为 =(毛,，Z2)it, - DC = 0则二一 即% EC = 0赴 + yfy2=。，2Ax2 + 25/3y2 + (2A 2)z, = 0.令%=1，得%一0,1'百,二1' 1 - A令，= 则f>l.因为二面角ECD-P的余弦值为迫，1-A14|4 + 3” _5币"" + 3-14 '化简得 13产一32，+12 = 0,即”2)(-6)=0,/ , 0rx j'«解得r = 2或，=(舍去)，所以，=7 = 2，解得4 =:，因此值为二.131-A3PB3【预测题7】如图所示，aABC是等边三角形

18、，DE/AC, DF/BC,二面角。-AC - 8为直二面角，AC=CDADDE=2DF=2.(1)求证：EFA.BC-,(2)求平面ACDE与平面8EF所成锐二面角的正切值.2【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】（1）因为CE/AC, DF/ BC, aABC是等边三角形，所以 N EQF= NA C8=60°,又 A C=DE=BC=2DF=2,在£）尸中，由余弦定理可得，ep = V22+l2-2xlx2xcos60° = >/3 -所以£产+。尸=£>/，故E尸凡 所以E凡L8C；（2）设线段4c的中点为O,连结80,

19、 DO,因为AA8C和aAC。都是等边三角形，所以BOLAC, D0LAC,故N8OD即为二面角。-AC - 8的平面角，由于二面角O-AC-8是直二面角，所以/8OZ>9（）。，建立空间直角坐标系如图所示，则 A(0,-1,0), 5(73,0,0), E(0,-2,6), G 号,g，。所以砺=(-&-2,回,而=而=卜?4,0,、2 2 Jn-BE = G j-V3x-2y + >/3z = 0设平面8EF的法向量为 = (x,y,z),则有一一，即3n-EF=0 P-x + -y = 0令x = JJ，则 y =l,z = > 所以 =>/3,-1,-

20、3 I 3乂丽= （6,0,0）,且丽是平面ACOE的一个法向量,-n OB.cos < n,OB >= 所以I II081 I/ r， o- sin < n,OB > 2则 sin<,08=Jl- =-=-.所以 tan<",0B>=i = -,V lV13j V13|cos<n,OB>| 32 故平面ACDE与平面BEF所成锐二面角的正切值为§ .【预测题81如图所示，已知在四棱锥P-A8CD中，底面ABCQ是边长为2的菱形,Zft4D=60°,侧棱Q4 = PC = 3, PB=PD，过点A的平面与侧棱P

21、8, PD，PC相交于点 E, F，M，且满足 PEnPF，PM=.（1）求证：直线PC,平面AE7"：（2）求平面MDB与平面AEM所成二面角的正弦值.【答案】（I）证明见解析：（2） B.3【解析】（1）联结AM，AC, ACrDB = O,因为PB=PD，所以PO1BD,因为ABC。是菱形，所以BDJ_AC，所以80 J_平面尸AC,所以8D_LPC，又 PE = PF，所以 EF/BD，所以 EFLPC,由已知条件得，BD = 2, AC = 2y/3>由余弦定理得8s ZAPC = PA'PCC? = 3，+2可=1) 2PAPC2x3x33AM2 = PA2

22、 + PM2-2PA- PM cosAPC = 9 + -2x3xx- = 8, 3所以 P42 =902 + 32,所以 PC _L AM,因为直线AA7.所相交，且AA7，防都在平面AEM/内，所以直线PC_L平面A£M£.(2)取N为MC的中点，联结ON, BN, DN,则ONAM,AB乂 EF/BD,所以平面AEMFH平面BND,因为直线801/平面PAC,联结MO,所以NO上BD，所以AMON为平面MDB与平面AEMF所成:面角的平面角，由已知可得，0N = y/0C2-CN2 =V2- OM = y/ON2+MN2 = 73 -所以sin NMON = J =走

23、，所以平面MDB与AEME所成二面角的正弦值是走.【名师点睛】求二面角所成角三角函数值的方法：找出与已知平面平行的平面（有时可以 直接到第步）；作出二面角的平面角：解二面角的平面角所在三角形.【预测题9】如图，在三棱锥A88中，aABC是边长为3的等边三角形，CD=CB, CD_L平面ABC,点/、N分别为AC、CO的中点，点P为线段5。上一点，且/ 平面APN.（1）求证：BM 1 AN；（2）求平面AF>N与平面ABC所成角的正弦值.A【答案】（l）证明见解析：（2）好.5【解析】（I）因为。_1面48。，8A/u面ABC，所以CD_L8M.因为正 aABC 中，AM = MC>

24、;BM LAC,BM 1 CD所以BMJLAC面AC。，所以8WJ_4V.CQcAC = c（2）连接MD交ANT G点,连接PG，因为6M/平面APN, 所以8M /PG .由重心性质知P为靠近B点的三等分点.'q q A 所以。(0,0,0), A8(0,3,0), P(l,2,0), N*0,0设面APN的法向为“ = (x, y,z)，AP n =0， AN = 0，所以1 36 nx+yz = 02 .23 336cxyz = 0222令x = 4,则y = l,z = &,所以3 =卜,1,61T-面 ABC 的法向量为 =(1,0,0), cos (n)4_2a/

25、5J16 + 1 + 3 5所以平面APN与平面ABC所成角的正弦值为5【预测题10如图，在四棱锥PABCD中，底面ABC。是边长为1的正方形，PALCD,PA=, PD =五,E 为 PD 上一点,且 PE = 2ED.(1)求证：平面B4C_L平面ABCQ；(2)求二面角P-CE3的余弦值.3 Js【答案】(1)证明见解析：(2) 坨.10【解析】(I)在AE4D中，PA = AD = 1. PD = 42>：.PD2 = PA2 + AD2 - ：.PA±AD，又出J.CD, CDnAO = D, CD, ADu平面ABC。，2，平面ABC。，又PAu平面PAC，平面PA

26、C_L平面ABCD，(2)以A为原点AB. AD, "所在直为分别为X轴,y轴，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 8(1,0,0), C(l,l,0),P(0,0,l),.BC = (0,1,0), 弟m), PC = (1,1,-1),al /、fn-CE = 0设平面PCE的一个法向量为团= (X，y,zJ,则一，-X 4- - = 0xj =0T 3 3,令y=l，解得J ,.m = (O,l,l)，x,+yl-zl =0匕-,、 n-CE = O设平面BCE的一个法向量为 =（%,当，z,），贝111 J - -） n-BC = O= 0也=0-,、2 33 ，令=1，

27、解得， = （1,。,3），"。卫=3/ . m-n 33 石/. cosQx, n） = = f=r=，tnn V2 x V1010二二面角P-CE8的余弦值为±6.10【预测题11如图，已知斜三棱柱A8C-4耳£底面是边长2的正三角形，。为aABC 所在平面上一点且四边形ABCZ）是菱形，ACBD = O,四边形ACQA为正方形，平 面 AQG _L 平面 AB|G .（1）证明：8QJ_ 平面 A8CO；（2）求平面COG与平面A。0|所成二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2） 里.7【解析】（1）取AG中点M 1连接MD、MB,、MO.因为4片=耳

28、G，所以耳MJ.AG，因为四边形ACGA为正方形，所以OMAC，向叮。M相交平面耳MOO ,所以，平面BtMDO ,因为MDu平面B.MDO .所以4GJ.OM,因为平面AQG j平面AB|G，交线为AG，所以DM _L平面AB£ ,因为平面A8CD / /平面A 4 6，所以血/_!_平面ABC。，因为4知/。且4M =。，所以四边形4例。是平行四边形，故4。/。股，所以耳。,平面ABC。：（2）以。为原点，BD. DM所在的直线方向为y、z轴，垂直8。的直线方向为x轴，建立 如图空间直角坐标系，则 D（0,0,0）,C（1,-y/3,0）, B（0,-273,0）,（9（0,-&

29、gt;73,0）.在 RfABBO 中,Bp = BB2 -BO2 = 43 = 1 .则用(0,6,11 则丽=卜1,6,0),忑=瓯=e,6,1),设平面CDG的法向量为m = (X, y, z), eth = -x + /3y = 0一 广 r-,，令 y = l, /7i = (V3,l,-V3),比=j3y + z = 0易见，平面AG的法向量为 =（o,i,o），所以 cosm- n故平面a)G与平面A£»G所成：面角的正弦值为【预测题12如图，在四楂锥尸ABCD中，A4J_平面ABCQ,底面ABC。是菱形,NABC = 60°.点E，/分别在棱8C,

30、 P。上(不包含端点)，且PF: DF = BE: CE .(1)证明：£77/平面Q46：(2)若PA = 6AB，求二面角8PC力的余弦值.7【答案】3)证明见解析：(2).【解析】(1)过点F作HFHAD, HFcPA = H，连接3 .HF PF因为所以一=ADPDpp be因为PF:DF=BE:CE,所以= PD BC HF所以=ADBE而因为四边形48co是菱形,所以 3CAT), Q.BC = AD,所以HFBE,且HF = BE,所以四边形是平行四边形，则EF/BH .因为8Hu平面小5，跖平面曰6，所以£尸平面P48.(2)解：以A为原点，过A作垂直AD的

31、直线为x轴，ad，丽的方向分别为V, z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz .设 AB = 2,则 B(6,一1,0)，C(6,1,0), 0(0,2,0),尸(0,0,2 JI),从而南= (0,2,0),正=(6,1,-2拒)，函=(-百,1,0).设平面PBC的法向量为n=(X, y, Z1),n - PC = y/3x. + Vi 2V2Z. =0 r一,令西=2及，得五=(2&,0,6).n - BC = 2% = 0,设平面尸CD的法向量为沅=（&,%，Z2），m - PC gx> + y2 22z2 = 0 in - CD = >/3x

32、2 + y2 = 0,令=2,得而=（2,2月,«）.设：面角3-PC-。为。，由图可知。为钝角.故 cos 8 = -1 cos五,m) |=n-fn|万|沅I4A/2+0 + 3>/27而x反 一 11【名师点睹】此题考查线面平行的判定，考查二面角的求法，解题的关键是正确的建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，考查计算能力，属于中档题【预测题13如图，四棱锥E-ABCD,底面ABCO为直角梯形，AD/BC,皿）_1面小，27rAE = AD = BE = 2BC , NAEB =,。为 A3 中点.3（1）证明：面£OC_L面A8CD；（2）点尸是点E关于面A8C

33、D对称的点，求二面角OCD尸的余弦值.【答案】（1）证明见解析：（2）3>/3020【解析】（1）AE = BE，。为A8中点，所以£OJLAB.因为45_1面樨，EOu而ABE，所以AOJ_EO,又 ABcA£) = A，所以 EO _L 面 A8C£),乂 £Ou面EOC,所以面七。_1面48。.(2)连AE，8/，点尸与点E关于面A8CO对称，而上。_1面48。.故E，O,尸三点共线.在平面A£B口内，过点A作Ay _L A/.以A为坐标原立.AF. Ay. AO所在直线分别为x，V，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设BC=1,则

34、 A(0,0,0), 0(0,0,2), E(l,>/3,0),网2,0,0),网3,6,0), C(3,GR，则。|争所以反j =,DF =(2,0,-2), FC = (1,V3,1),因为EO上面ABC。，所以面08的一个法向量为后。=耳,一事,0 ,设面CD/7的一个法向量为n = (x,y,z),则，n - DF = 2x - 2z = 0n-FC = x + y/3y+z = 0COS <n,EO>=3 回二面角OC。一尸为锐角，故二面角O-CD-产余弦值为"e 20【预测题14如图，在四棱锥EA8CD中，四边形A8CO为平行四边形，&BCE为等

35、边三角形，点。为8E的中点，且AC = BC = 2OA = 2.(1)证明：平面A5E_L平面8CE；(2)若A8 = AE，求二面角BCE 。的正弦值.E【答案】（l）证明见解析：（2）汉7. 7E因为aBCE为等边三角形，所以OC_L8E,因为AC = 2, OA = , 0C = 2x4=6，2所以4c2 nAO + OC"所以OC_LQ4,因为。A0|8E = O,所以OCJ.平面A5E，因为OC u平面BCE,所以平面BCE _L平面也，故平面ABE，平面BCE .(2)因为AB=A£，所以。4_L8£, 建立如图所示的空间立角坐标系，4£(

36、i,o,o), e(-i,o,o), 71(0,0,1), cEC = (-1,Ao), CD=ft4 =所以OE、OC、OA两两垂直，7 D：（0,5/3,0）,设平面ECD的法向量为加=（1, y,z），【解析】（I）证明：连接0C.EC -m = -x + 百 y = 0CD-m = x+z = 0令x = G，得y = L z = -V3 则成= (6/,一百卜平面BEC的法向量为五= (o,o,l)，设二面角8C£。的大小为历所以二面角8CE。的正弦值为短 .7【名师点睛】掌握直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理、利用空间向量 求二面角是解题关键.【预测题15

37、】如图，直三棱柱ABC -A与G中，NAC8 = 90'，AC = , BC = CC1=2,D, E, F, G分别是棱A8,BC,用G，B旦的中点.(1)求证：平面 87_1平面4。七：(2)求平面A8F与平面AOE所成的锐二面角的余弦值.【答案】(I)证明见解析；(2) 32.3【解析】(1)以C为坐标原点，分别以C4,C8,CC1所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空 间直角坐标系，则。(0,0,0),。(；,1,0),6(0,2,1)，4(1，。,2),B(0,2,0),£(0,l,0),F(0,l,2),cb = (g,1,0), cb = (0,2,1),丽=(

38、；,1,2),& = (-；,0,0),设平面C£)G的一个法向量为m = (x, y, z),/n-CD =x +y = 0由_ 2m-CG = 2y+z = 0取 y = l，得谕=(一2,1,-2)；设平面AOE的一个法向量为Z = (%,凹，zj，由1n D 5% _ y + 2Z = 0一 b 1cnx - DE = x. = 0121,取4=1,得% =(0,2,1).(2)由(1)可得，平面AOE的一个法向量为得力=(0,2,1)，4B = (-l,2,-2)' 0 = (-1,1,0),设平面ABF的一个法向量为n2=(x2,y2,z2y% A5 =

39、-x,+2%一2z, =0- r1、由L -722 ，取 =1,得 2 =1,1二.% A尸=x2 4- y2 = 0k 2/所以平面BF与平面DE所成的锐二面角的余弦值为且.3【名师点睛】建立空间直角坐标系，把线面，面面关系转化为向量之间的关系，从而求得线面角，距离，二面角等.【预测题16如图，四棱台A8C3-48iCiOi中，4Ad.平面A8C。，底面A8CO是平行四 边形，ZABC=, BC=y/2AB=2y/2，4Bi=AiA=l.(1)证明：£>£>i/平面 ACBi；(2)求面角A - BiC-Dt的余弦值.【答案】(1)证明见解析：(2)也.7【解

40、析】(1)连接8。，交AC于。，连接30,因为四边形ABCD是平行四边形，所以。=!跳)，由棱台的性质可得BiA/OD,2A3 b D 1也 BC=4iAB=2O ,得 A8=2,又 48尸1,可得d_L =，_L = 一，则用力产。，AB BD 2所以四边形©。小是平行四边形，则8。/ / DD,因为8QU平面BiAC, DDiO平面BiAC,所以。/平面ACBi；(2)因为 4AJ_平面 A8CD,且 ACu 平面 48C。，A8u 平面 A8CZ),所以 4AJ_AC, AtAlAB,又 NA3C = , 8c=2近，AB=2,4所以 4c=2,则 A+ACBC2,AB LAC

41、,即 A8, AC, 4b 两两互相垂直，以A为坐标原点，分别以A& AD,所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系,则 4(0, 0, 0), C(0, 2, 0). Bi(l, 0, i), Di( - 1, 1, 1),所以璃= (L2,1), AC = (0,2,0). 西, = (-1,一1,1).设平面ABC的个法向量为zn = (x, y, z),in-AC = 2y = 0由<fh-CBx =x-2y + z = 0取 z=L 得沅=(- 1,0,1)；设平面BCD的一个法向量为五= (%，X，zJ,取 zi=3,得 3 = (1,2,3).n CD1=-x

42、- y, + z. = 0由!n -CB = % - 2y + Z = 0设二面角A-BC-Di为伍 由图可知，为锐角,一-m-n|lx(-l) + 2x0 + 3xl|百则 cos£/=|cos< m, n >1= /, , , = 丁 mn Vl2 + 22 +32 x7(-1)2 + 127又由图示知二面角A - BC - D为锐角， 故二面角A-BC-，的余弦值为立7【预测题17】已知矩形ABCO中，AB=2, AD=5. E,尸分别在A。，BC ±,且AE=1, BF=3,沿£F将四边形AEFB折成四边形A'EFB',使点8在

43、平面CDEF上的射影H在直线DE上.(1)求证：4£>/平面夕FC；(2)求二面角H-DE-尸的大小.【答案】(1)证明见解析：(2) 135。.【解析】(1)证明：因为A七/8,，A'E«t平面B'FC, FFu平面FFC.所以4£7/平面B'FC,由DE/FC,同理可得OE/ /平面B FC,因为A，En£>E=E.所以平面A'EDI I平面B'FC,所以A'C/平面8'/C.(2)如图，过E作ER/ZX?,过E作ESL平面EFC。，分别以ER, ED, ES所在直线为x, y, z

44、轴建立空间直角坐标系.因为Q在平面CDE尸上的射影H在直线OE上，设£(0, y, z)(y, zG/T)./F(2,2,0),B'E = 5,B'F = 3, ：.P' + ? =2，解得卜 = ：、74 + (y-2)2 + z2 =9 z = 2：.®(0,1,2),uuuuuni i umr ( 7?t)设平面ADE的法向应为 =(x, y, z)，又有ED =(0,4,0).n - EA' = 0 -x-y + z = 0, 八 -_ 一 得 333，令x = l,则z = l,y = 0,得到 = (1,0,1).nED = &#

45、176;4y = 0又.平面COEP的法向量为机=(0,0,1).设二而角A -DE-尸的大小为。，显然。为钝角,cos 0 =-在，所以6 = 135°. 27T【预测题18如图：平面ABC。，四边形ABCO为直角梯形，AB/CD,4ADC = k 2PD = CD = 2 AO = 2 AB = 2,(1)求证：平面BDP _L平面PBC ：(2)求二面角8 PC-D的余弦值；(3)在棱Q4上是否存在点。，使得。Q/平面P8C?若存在，求鲁的值，若不存在, 请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)昱(3)不存在，理由见解析3【解析】(I)在aBDC中，BD = 6aB = 6,

46、 8 = 2, 4BDC = g所以 BC = 5D2 + CD2 -2BD- CD- cos= Jz + 4-2x夜x2x等=近，所以 BZ> + 8C2 =C£>2，所以 BD上 BC,因为 _L 平面 ABCD， 8C u 平面 A8C£),所以 PD_L6C，因为 PDcBD=D，所以平面BOP，因为6Cu平面PBC，所以平面BOP _L平面PBC.(2)因为P£)_L平面ABC。，所以以。为原点,DA,DC,DP分别为x，Xz轴建立空间直角坐标系：则 £>(0,0,0), 4(1,0,0), 5(1,1,0), C(0,2,0

47、), P(0,0,2),则正=(0,2,-2)，BC = (-1,1,0), DP = (0,0,2), 4 = (1,0,-2),设平面PBC的法向量为n = (x,y,z),；.工？+：=0°，取“6 得y=L z=l，得万=()，取平面PDC的法向in为DA = (1,0,0).所以cos”=霜=且, nDA 73x13所以二面角8 PC-。的余弦值为立3(3)假设在棱P4上是否存在点Q,使得。Q/平面P3C，则。，万，DQn=0.设咫=2(04 4 41),则 而丽=4而，DQ = 5? +APA = (0,0,2) + 2(1,0,-2) =(2,0,2-22),所以而万=

48、(而 + 九西)万=(40,2 2丸)(1,1,1) =4 + 224 = 24 = 0,解得 = 2,不符合故在棱B4上不存在点。，使得OQ/平面P3C，【名师点睛】(1)中，利用面面垂直的判定定理证明是解题关键；(2)和(3)中，利用空 间向量求解是解题关键.【预测题19如图所示，在多面体ABCOE/中，四边形ADEF为正方形，AD/BC, AD1.AB，AD = 2BC = . AB = 6,BF = 2.(1)证明：平面A£)EFJ_平面A8C0.(2)若三棱锥A-5DF的外接球的球心为O，求二面角A-CZ)-O的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)上.4【解析】(1)因为四边形A