函数的单调性与曲线的凹凸性教学设计

1、单元名称函数的单调性和曲线的凹凸性课时4教学目标和要求1、掌握用导数判断函数的单调性；2.会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点教学重点难点重教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导教学方式、方法和手段教学采用启发式、数形结合、讲练结合、用多媒体辅助教学教学过程设计一、函数单调性（一）课题引入复习导数的几何意义，幻灯片演示两个函数图形，让学生观察总结。如果函数在上单调增加（单调减少）.那么它的图形是一条沿轴正向上升（下降）的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）.即（）,由此可见函数的单调性与导数的符号启着密切的关系,反过

2、来能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？（二）教师板书结论单元名称函数的单调性和曲线的凹凸性课时4教学目标和要求1、掌握用导数判断函数的单调性；2.会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点教学重点难点重教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导教学方式、方法和手段教学采用启发式、数形结合、讲练结合、用多媒体辅助教学定理1(函数单调性的判定法)设函数在上连续在内可导.(1)如果在内.那么函数加.在上单调增(2)如果在内那么函数少在上单调减注：判定法中的闭区间可换成其他各种区间.例1判定函数在上的单调性.例2讨论函数的单调性,(没指明在什么区间

3、怎么办？)单元名称函数的单调性和曲线的凹凸性课时4教学目标和要求1、掌握用导数判断函数的单调性；2.会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点教学重点难点重教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导教学方式、方法和手段教学采用启发式、数形结合、讲练结合、用多媒体辅助教学例3.讨论函数例4.确定函数例5.讨论函数一般地.如果处均为正（或负）时调减少）的例6.证明：当证明：令的单调性.x3x2的单调区间.的单调性在某区间内的有限个点处为零.在其余各点.那么在该区间上仍旧是单调增加（或单时-则单元名称函数的单调性和曲线的凹凸性课时4教学目标和要求1

4、、掌握用导数判断函数的单调性；2.会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点教学重点难点重教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导教学方式、方法和手段教学采用启发式、数形结合、讲练结合、用多媒体辅助教学、因为当时.因此在1,)上以)单调增加.从而当x1时,f(x)f(1).由于f(1)0.故f(x)f(1)0.即-也就是-()-(三)小结二、曲线的凹凸性与拐点(一)复习旧知1、函数的单调性的判断2、函数的极值的求法；3、函数的最值的求法单元名称函数的单调性和曲线的凹凸性课时4教学目标和要求1、掌握用导数判断函数的单调性；2.会利用导数判断函

5、数图形的凹凸性和拐点教学重点难点重教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导教学方式、方法和手段教学采用启发式、数形结合、讲练结合、用多媒体辅助教学(二)内容讲解为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向。在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的。1、曲线的凹凸性从图1(a),(b)直观上可以观察到：如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区

6、间。教学目标和要求1、掌握用导数判断函数的单调性；2.会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点教学重点难点重教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导教学方式、方法和手段教学采用启发式、数形结合、讲练结合、用多媒体辅助教学单元名称函数的单调性和曲线的凹凸性课时42、曲线的凹凸性的定义单元名称函数的单调性和曲线的凹凸性课时4教学目标和要求1、掌握用导数判断函数的单调性；2.会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点教学重点难点重教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导教学方式、方法和手段教

7、学采用启发式、数形结合、讲练结合、用多媒体辅助教学定义1设f(x)在区间I上连续，如果对于I上任意的两点x1,x2,恒有JXiX2f(xi)f(X2)f<2)2那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(凹弧)。如果恒有fj"Xi)"X2)<2J2那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(凸弧)。从图1还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率f(x)随着X的增大而增大，即f(x)单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率f(X)随着x的增大而减少，即f(x)单调减少.而函数f(x)的单元名称函数的单调性和曲线的凹凸性课时4教学目标和要求1、掌握用导数判断函数的

8、单调性；2.会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点教学重点难点重教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导教学方式、方法和手段教学采用启发式、数形结合、讲练结合、用多媒体辅助教学单调性又可用它的导数，即f(x)的二阶导数f(x)的符号来判定，故曲线yf(x)的凹凸性与f(x)的符号有关。3、曲线凹凸性的判定定埋1若f(x)在hb】上连续，(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a,b)内f(x)0,那么f(x)在hb】上的图形是凹的；(2)若在(a,b)内f(x)<0,那么f(x)在b,b上的图形是凸的。例1.判定曲线yln

9、x的凹凸性.解：函数的定义域(0,)，而y-,y；,因此曲线ylnx在xx(0,)内是凸的.例2.讨论曲线yx3的凹凸区间.单元名称函数的单调性和曲线的凹凸性课时4教学目标和要求1、掌握用导数判断函数的单调性；2.会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点教学重点难点重教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导教学方式、方法和手段教学采用启发式、数形结合、讲练结合、用多媒体辅助教学解函数的定义域为（，3y3x2,y6x。显然，当x0时，y<0;当x<0时，y0.因此（，0）为曲线的凸区间，（0,）为曲线的凹区间。4、拐点的定义定义

10、2连续曲线f（x）上的凹弧和凸弧的分界点成为这条曲线的拐点。如，yarctanx在（-R0内为凹的，在0,）内为凸的，则x0即为其拐点。注：拐点是二阶导数发生变号的点，因此拐点通常出现在二阶导解函数的定义域为（,3y3x2,y6x。显然，当x0时，y<0;当x<0时，y0.因此（，0）为曲线的凸区间，（0,）为曲线的凹区间。单元名称函数的单调性和曲线的凹凸性课时4教学目标和要求1、掌握用导数判断函数的单调性；2.会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点教学重点难点重教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导教学方式、方法和手段教

11、学采用启发式、数形结合、讲练结合、用多媒体辅助教学数为0的点以及二阶导数/、存在的点5、确定yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤如下：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求出二阶导f(x);(3)求使二阶导数为0的点和使二阶导数不存在的点；(4)判断或列表判断，根据二阶导数的符号确定出曲线凹凸区间和拐点。例3.求曲线y2x33x212x14的凹凸区间和拐点.1解：y6x26x12,y12x66(2x1),令y0,得x-.当xm1时，y<0,曲线在-0°,-U内为凸的；当x4时，y0,2<2J2单元名称函数的单调性和曲线的凹凸性课时4教学目标和要求1、掌握用导数判断函数的单

12、调性；2.会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点教学重点难点重教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导教学方式、方法和手段教学采用启发式、数形结合、讲练结合、用多媒体辅助教学曲线在：1,:内为凹的.点/3,201是曲线的拐点.!2)222)例4.讨论曲线y(x1)V7的凹凸性及拐点.解：函数y(x1)V7在定义域(叫)内连续.52211032I104fnyx，xyxxxx-33999<5.).1.当x0时，y,y都不存在；当x工时，y0.5故可列表如下：单元名称函数的单调性和曲线的凹凸性课时4教学目标和要求1、掌握用导数判断函数的

13、单调性；2.会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点教学重点难点重教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导教学方式、方法和手段教学采用启发式、数形结合、讲练结合、用多媒体辅助教学xQ1、<，5j1-5Q1、.1<5,'0(0,)y-0+不存在+y凸拐点凹非拐点凹5例5.求曲线yx'的拐点.21解定义域为（,）,y3x3yy£x3,（x#0）1因为令y。时，方程也x30无解.而当x<0时，丫<。；当*09时，y0,即曲线在区间（，0）内是凸的，在区间（0,）内是凹的，又曲线在点x0处是连续的，所以点（0,0）是曲线的拐点。单元名称函数的单调性和曲线的凹凸性课时4教学目标和要求1、掌握用导数判断函数的单调性；2.会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点教学重点难点重教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导教学方式、方法和手段教学采用启发式、数形结合、讲练结合、用多媒体辅助教学6、小结