中考压轴题模型路径之瓜豆原理

1、十四、路径之“瓜豆原理”一、圆弧型“瓜豆”题1.（2019年乐L）如图141一1,抛物纹），=%-4与x轴交于A、8两点，尸是以点C（0,3）为圆心，2为半径的网上的动点，。是线段外的中点，连接。则线段OQ的最大值是（）简析1（中位线模型）：如图14-1-2,连接8P、BC、CP,易得0。=今2：又8P的最大值为6C+CP=5+2=7,故。的最大值为选C:简析2（瓜豆原理）：点。可看作点尸以定点A为位似中心，以3为位似比缩小而来,根据“瓜豆原理”，点Q的轨迹可看作点P的轨迹以定点A为位似中心，以;为位似比缩小而来：因为点P的轨迹是。C,所以点Q的轨迹也是一个圆，其圆心相当于，点C以定点A为位似

2、中心，以;为位似比缩小而来，其半径为。C半役尾.常规证明如下：如图14-1-3,连接AC并取其中点连接QM、PC、OM,易得3点“（一2,5），且QM=jPC=1,故点。在以点例为圆心，以1为半径的OM上运动，57从而。的坡大值为。何+。何=弓+1=5,选C.反恐：方法一利用中位埃模里进行线段的转化，属中点潜地的处理乳略：方法二基于“瓜豆原理”判断目标点0所在的轨迹圆，属于“瓜豆原理”中的中点结构”，它是“住似结构”的IH.“立原理”在中考里不适合书写过叁,可采取上述方法来证明.相当于把目标点。所在的轨迹回加以常规证明,对本题而言，方法一最为简便，但方法二更为本质、更加通用.题2.（2019年

3、桂林）如图H-2-l,在矩形ABCD中，/18=而，AO=3,点P是4D边上的一个动点,连接HP.作点人关于直线8P的对称点4,连接4c设AC的中点为。，当点尸从点A出发,沿边AD运动到点D时停止运动，点。的运动路径长为.筒析：点。可看作点人以定点C为位似中心，以（为位似比缩小而来，根据“瓜豆原理”，点。的轨迹可看作点4的轨迹以定点C为位似中心，以）为位似比缩小而来，故点。的路径长等于点4的路径长的右如图14一22,连接4出，显然48=48=血故点4在以为圈心，以镜为半径的08上运动：当点尸与点A重合时，点4与点人重合；当点与点ZT1R合时,作点,关于小）的对称点/V即为此时的点尸，故点P的路

4、径长为弧4A的长度；易得乙48。=60。，则乙4用V=120。，故弧A/T的长度为号嚷=午;即点。的路径长为2华，因此点。的路径长为坐.=乎，故点。在以E为圆心，以乎为半径的OE上运动；如图1424,当点尸与点A重合时，点4也与点A垂合，取AC的中点Q,则点。即为点Q的起始位巴；点P与点D重合时，作点A关于BD的对称点为4,连接AC,并取其中点。,，则点0即为点。的终止位置,故弧Q，的长度即为点。的路径长：易证QE/AB且。小A出，进一步可证/。/。=乙4方4=120,由此可得点Q的路径长为华.反思：本题依然是“瓜豆原理”中的“中点练构”.显然，“瓜豆原理”中转化成求点小的路径长比常规过程中直

5、接求点。的路径长更简便，尽管“瓜豆原理”不适合直接运用于解答期.选推埴空题但用无妨，而且“瓜豆原理”对于常规证明中辅助线的构造以及思跖的彩成都有克接的指引之效.也就是说,可以用“瓜豆原理”去寻找思路、确定答案，用常规证明去书写过程，这也是于新华老师经常教导的“想有背景，解不超烟；上下贯穿，灵活自如”！题3.如图14-3-h在ABC中，NACB=90,BC=6,tanZ4C=1,AQ=4,将线段A绕点A旋转，连接8D,E为RD中盘,则线段CE长度的最大值为.图14-3-1简析1（中位线法D:如图M32,延长8C至点尸，使CF=C,连接。尸、AF,易证CE=3dF;又A=4,A=A8=6/，故6/

6、一40。万WWB+4,即D尸的最大值为吨+4,从而CE的最大值为3班+2；简析2（中位线法2）:如国1433,取48的中点F,连接EF、CF,则EFD=2,CF=4B=35,从而有3m一2W0/近3出+2,即CE的最大值为3m+2：简析3（瓜豆原理）：点E可着作点。以定点B为位似中心，以T为位似比缩小而来,每一个点E都是相应的点D经过同样的位似变换而来，而点D的运动路径是平径为4的O4.故点E的运动路径也是一个圆，而且可看作由经过相同的位似变换而来，其恻心亦然，即为A8的中点R如图14-34所示，点E在半径为2的。尸上运动，因此C的最大值为C/+2=3+2、反思：前两种解法都属于中点处理策略，

7、即“中点+中点T中位线”，前者通过延长的方式,，后本通过取中点的方式：方法三仍属“瓜豆原理中的“中点结构”，从点的变换到彩的变换，体现了局部与整体之间的关取，这也是国彩变换的本段认识，而且方法三对方法二有指引作用.题（如图14-4-1.已知正方形CD的边长为2,是正方形相C。内部的一动点,且NAH）=9（r,连接CP取其中点可，则线段的最小值为.简析1（中位线法），如图14-4-2,延长CB至点。，使BQ=BC,连接PQ.贝U8M=力。,要求的最小值,只需求PQ的最小值：lllZ4PD=90,可知点P在以AD为直往的0。上运动，连接OP、0Q,则PQN。一。尸，即尸。的最小值为。-0P；再作Q

8、G_LZ）A于点G,可得。=仃，PQ=l,故尸。的最小值为531,从而的最小值为亚|二1:简析2（瓜豆原理）：如图14-4一3,同匕点P在以4/）为宜行的。上运动.基于“瓜豆原理”分析，点”也在一个圆上运动，其圆心为0C的中点O,其半径。”等于。半径02的;：连接。E作07/_L8c于点，可求得8M的最小值为05-0”班-12,反思：本题是他国与“瓜豆原理”结合的典例，以上几题的共通之处都涉及“瓜豆原理”中所谓的“中点结构”.只有这样从结构上去分析问题才能认清本痂，找到通法，也只有从结构上去看问题，才能一眼布穿方法，一眼看到结果.题5.如图M51,已知正方形A8C0的边长为2,以点A为留心，1

9、为半径作圆，点E是上的任意一点,点E绕点。按逆时针方向旋传90得到点兄连接ARM4F的最大值是.简析】（瓜豆原理）：如图1452,点尸由点E绕定点。按逆时针方向旋转90而来，基于“瓜豆原理”分析，点F的轨迹可由点的轨迹（即。A）绕定点。按逆时针方向旋转90而来,故点尸的乳迹也是一个圆，其圆心即为点C,半径=八七=1：常规证明如下：连接AE、CF,可证尸（5AS）,则CF=A=】，故点尸在以点C为圆心，以1为半径的。C上运动：连接AC,可得AF的最大值为人。+1=2m+】：简析2（相对运动）：如图14-b3,点尸山点E绕定点。按逆时H方向旋转90。而来，反过来，将线段人尸身定点。按顺时针方向旋转

10、90得到线段AE，则八产=4:易求/VE的最大值为2隹+1,故4产的最大值为2&+1.反思：以上两种解法都是县于点的变换与图彩的变换之间的关浜性分析得到的，方法一属于“瓜豆原理”中的“旋转结构”，可借助旋转型全等加以常规说理：方法二采取了相对运动策略，将目标城段人族#至4.转化成常规的“点明距禺”问题“怎么榜过去，怎么转回来”，相对运动策略往往是解决&杂问题的良方，需引起关注.题6.（2018年南通）如图14-61.在正方形中，AB=25.。是8c边的中点，点是正方形内一动点，OE=2,连接DE,将线段0E绕点。逆时针旋转90。得。尸,连接AE、(1)(2)(3)CF.求证：AE=CFt若A、

11、仄。三点在同一条直线上，连接。兄求线段。尸的长:求线段。尸长的最小值.图14-6-1简析：(1)易证故AE=CF(2)方法一(解OCQ：如图14-6-2,作OG1rC于点G,由(1)可得。尸=AE=AO-OE=39且NOCG=NOAB,进一步可得OG=1,CG=2从而FG=4,OF=y26i图14-6-2方法二（垂直处理）：如图1463,作EKL4。于点K,再过点尸作4。的垂线，垂足为G，交8c的延长线于点，易得DEK04FDG,则DG=EK=芈，AK=芈，FG=DK=，从而尸，=芈，0/7=卮，故。尸=小：50（3）方法一（瓜豆原理）：如图14-64,点尸由点绕定点。按逆时针方向旋转90而来

12、，基于“瓜豆原理”分析，点”的轨迹可由点E的轨迹（即不含端点的半。）绕定点。按逆时针方向旋转9CT而来，故点尸的机迹也是一个圆，其圆心。可由点。绕定点。按逆时针方向旋转90而来，其半径ON=OE=2*常规证明如下：连接OD,并将OD绕点D逆时针旋转90。得OD,连接0H可证。92X。尸（SAS）,则OF=OE=2,故点尸在以点。为圆心，以2为半径的。上运动：连接。，则。=5,故。尸的最小值为。方法二（相对运动）；如图14-6-5,点广山点E绕定点。按逆时针方向旋转90而来，反过来，将线段。尸绕定点。按顺时针方向旋转90。得到线段OE,则。尸要求。尸的最小值，只需求OE的最小值；连接。1同上易得

13、0七的最小值为。，一。=56一2,故OF的最小值为。一。如=砧一2.反思：（2）中方法一相当于解AOCE比方法二中的垂克处理简便的多，而且在解O”的过程中，考虑到数据特抽，这里过点。作CF的垂线段比过点F作。C的垂线段的运儿更加简找.总之，多思考、多现蔡，总会有出典不意的收获！（3）是他倒与“麻豆原理”+“技转集构”然合的典例，方法一找到了目标点所在的轨边半阴，可利用凝转/XODE至OOF的方式加以常规说理：方法二再次运用相对运幼策喀，化繁为简，化磔为易，这两种方法往往都是解决此典问题的通法.题7.如图14一71,矩形A8c。中，A8=6.BC=9,以。为例心，3为半径作OD.E是G）D二一动

14、点，连接4E,以AE为直角边作RtAAEF,使NEA尸=90。，且liin/AE/=k则点/与点C之间的最大距离为.kJ简析，如图1472,点尸可看作点先绕定点人按顺时针旋转90。，再以定点A为位似中心，以;为位似比缩小而来，基于“瓜豆原理”分析，点F的轨迹可看作点E的轨迹（即。）先绕定点人按顺时针旋转90。，再以定点A为位似中心，以;为位似比缩小而来，故点尸的轨迹也是一个EI，其圆心。可由点。先绕定点A按顺时针旋转90。再以定点A为位似中心，以J为位似比缩小而来，即为A8的中点，其半径OF=1E=l：JJ第7页共26页常规证明如下：取45的中点0,连接。，可证AEFs/a。，进一步可证ADE

15、s/Mof,则器=器=/印。/=如=1，故点尸在以点。为131心，以1为半径的0。上运动，由此可得C尸的最大值为OC+OF=3/+1.反思：本题是“瓜豆原理”中的“旋转包似结构”，可借助“就杼相似”加以常观说理，可见“瓜豆原理”与“旋豺相似,之何有密不可分的取系.且前者对后者的辅助圾构造及思路册成有指引之效.会改为“稹若点E在。上坨动一周.朱点,尸及过的路径长,可佝助瓜立原理先捷得到点尸经过的路径长等于点经过的路径长的即。同长的由此可见，“瓜豆原理”对于此类路径长问题有绝时的秒杀之效.当然作为解客芯的话，还要根据“碇转相似”，加以论证.题8.如图】4一81,在正方形ABCD中，八5=2,E是边

16、。上一动点，连接8E,作C/_L8E于点F,将C尸绕点尸顺时价旋转90。得到尸G,连&AG,则AG的最小位为.图14-8-1简析1（瓜豆原理）如图14-8-2,易得点尸在以AC为宜径的00上运动（事实上，点尸的轨迹是四分之一,园苑），点G可看作点尸先绕定点C按逆时针旋转45。，再以定点C为位似中心，以m为位似比放大而来，基于“瓜豆原理”分析，点G的机迹可看作点F的轨迹先绕定点C按逆时针旋转45。，再以定点C为位似中心，以小为位似比放大而来,故点G在一个圆（弧）上运动，其副心。可由点。先绕定点C按逆时针旋转45。,再以定点C为位似中心，以出为位似比放大而来，其半径。6=派。/=*:常规证明如下：

17、作等原RtAOCO其中/（7。=901连接orOG,可证sACTCG,则徐=含=必，即。G=g,故点G在以0,为圈心，以乖为半径的。，上运动（事实上，点G的轨迹是四分之一圆孤，即孤3C）,从而AG的垃小他为人。：连接AC,在RtAAC。中，可求得A0=5,所以4G的最小值为赤一乖：14-8-2图14-8-3简析2（相对运动）：如图1483,点G可看作点尸先绕定点C按逆时针旋转45。,可以定点C为位似中心，以也为位似比放大而来，反过来，将线段AG先绕定点C按怅!时针旋转45。，再以定点C为位似中心，以为位似比缩小可得到纹段。尸（事实上，只镉考虑点A经过上述变换得到点。即可），即ACGszDCR型

18、喘=能一小，即AG小DF；要求AG的最小值，只需求DF的最小值；由点?在以6C为直径的0。上运动，易得。尸的最小值为小一1,所以AG的最小值为限f.反思：本题是险阻与“瓜豆原理”中的“旋转位似结构“妹合的典例，方法一星于“瓜豆原理”分析点的变换与就近变换之何的同步性，得到目标点G所在的轨迹圆弧，将问题传化为“点圆距离”，共冷点是确定圆心。妁位里，尹实上，圜心。，可看成总F所在的囿心经过同步变换而来，即“集体行动，步调一致”，所有的点新在作同步运动；方法二的本质可着作旋转相似彩，但不可否认的是，比法依然是从点的变换的视角,结合相对运动策略而想到的，所以说“瓜豆原理”中涉及的变换思忠对于很多常垸解

19、法具备指引之效.题9.已知在AABC中，AB=AC./8AC=a,直线/经过点A(不经过点B或点C),点C关于理线/的对称点为点。，连接5D、CD.(1)如图149一1,求证：点氏C、。在以点4为圆心，A8为半径的圆上；(2)如图14一9-2,当a=60时，过点D作8。的垂线与直线/交于点E,求证，AE=BD；(3)4nM14-9-3,当a=90,AB=2时，记直线,与CQ的交点为F,连接8F将直线/绕点八旋转，直接写出线段3K度的最大俵.简析：(1)如图14-9为E1心，AB为半径的阳上；(2)如图149一5,连接CE,可证ZUBC、均为等边三角形，进一步可证4ACEW4BCD,故AE=BD

20、：(3)方法一(三角形三边关系)：如图14一96.1KAe的中点例，连接BM、MF、AD.易得RA，=.MF=AD=AC=.又AW+“尸故A南+1,即8户的最乙乙大值为小+1:方法二(瓜豆原理):如图149一7,由AD=AC=2,可知点。在以点A为圆心,以2为半径的。A上运动：点尸可由点0以定点C为位似中心，以;为位似比缩小而来,基于“瓜豆原理”分析，点广的轨迹可由点。的轨迹（叩QA）以定点c为位似中心，以2为位似比缩小而米，其囱心即为AC的中点其半径为I，山此易得8尸的垃人值为6M+“5=价+1：方法三（中位线法）：如图14-9-8,延长C6至点P,使BP=BC,连接用、AD.PD,易iiE

21、5F=；PD,要求8”的最大色，只需求尸D的术大值：显然点。在以点人为用心，以2为半径的上运动，从而尸Q的最大值为雨+4）；作人G_L8C于点G，可求以=2季，故PD的最大值为2乖+2,所以的最大值为乖+1反思：本题是吃圆与“瓜豆原理”中的“中点结构.结合的典例.方法二对于方法一的辅助线构造行一定的指引之故.方法一与方法三都涉及构造中位线模型,前者通过取中点的方式，后者通过延长的方民，这两种方式都是构造中位线常见的方法.“瓜豆原理”不伍可以解决路径与最值问题，还可以解决面积问题等.题10.如图14101,。尸在第一象限，半径为工动点A沿着。P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点。的对称点

22、B,再以A为边向左上方作等边AABC则点C的着点八运动所形成的图形的面枳为.变式1：如图1410-2,若将等边ZM8C改为等腰RLM8C,其余条件不变，则点C随着点4运动所形成的图形的面积为:变式2,如图14103,若将等边ABC改为等股A3C,旦NAC5=12（T,共余条件不变.则点C前若点人运动所形成的图形的面积为.简析：如图14104,连接CO,则NAOC=90，=/，故点C可由点A先绕定点。逆时针旋转90，再以定点。为位似中心，以2弓为位似比放大而来，基于“瓜豆原理”分析，点C的轨迹可由点人的枕迹（即。P）先绕定点。逆时针旋转加,再以定点。为位似中心，以水为位似比放大而来，由此可知，点

23、c的轨迹也是一个圆，其半径是OP半径的西倍，即3小，故其面积为27心即点C随着点A运动所形成的图形的而枳为273c.变式I：如图14105,连接OC,则能=】，同上可得，点C随着点/运动所形成的图形的面积为9n；变式2：如图14106,连接。C,则蜉=乎，同上可得，点C随着点八运动所形成的图形的面积为3兀反思：这几个问题的共通之处都是通过连接0C,借助“三线合一”定理，将三动点”筝腰三角彩问题转化为“双动点”直向三角形问题，结合“瓜豆原理”中的“旋转住似”结构，从而瑜定从动点C的就迹.“瓜豆原理”常与旋转或位似变换挂钩，事实上，它也可与平移变换等其他的各类变换关联，请奇下例：题1L如图1411

24、一1,在。中，弧A8所对的圆心角/人。8=108。，点C是。上的一动点，以A。、AC为邻边构造Z2Z4ODC,当NA=。时，线段8。的长度最大.简析：如图14一11一2,点。可由点C沿着人。的方向向右平移人。个单位得到，故点。的轨迹可由点C的轨迹(0。)沿着4。的方向向右平移4。个单位得到，即点D的轨迹也是一个阴，其圆心。可由点。沿着A。的方向向右平移4。个单位得到，其半径0D等于。C,从而当8。为0O,的直径时，线段8。的长度最大，此时NBO7)=180。：又易得点。在。上，则NOO8=)/AO8=54。，/OO,O=N4OC=180。-54。=126。，从而NA=27，即当N=27。时，线

25、段8D的长度最大.反思：本题可理解为平移类“瓜豆”，中“瓜豆原理”中的“平移结构”，判断点D所在的轨迹圆是解题的关佬.二、直线型M瓜豆R题12.（2019年泰安）如图14121,矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E为A8的中点，尸为EC上一动点，尸为。尸中点，连接一丛则PB的最小值是（）A.2B.4C心D.2m简析1（瓜豆原理），加图14122,点。可由点尸以定点O为位似中心，以9为位似比缩小而米，基于“瓜豆原埋”分析，点尸的轨迹可由点尸的凯迹（即线段EC）以定点D为位似中心，以I为位似比缩小而米，即点。的轨迹为的中位线何M连接易证BM工MN,故.PBmBM=2yJi,当且仅当点与点M重合，

26、即点与点C垂合时取等,所以P8的最小值是2m，选D.常规证明如下？取CO的中点M,连接。则必是0）产的中位线,故从而NDMP=NDCE为定角,所以点P在一条11线上运动，下略：简析2（中位线法），如图14-12-3,连接DB并延长至点Q,使BQ=BD,连接Q凡则PB=+Q要求3的最小值，只需求”。的地小值；连接QC,作QGJ_OC于点G,易证QG=28C=4,且CG=CO=4,进一步可证QC上CE,故FQ2CQ=4戊,从而照的最小值是2乖，选D.反思：本题是“瓜豆展理”中的“中点结构”，且为“直线型瓜豆”，即“直线生直线”，方法一确定点”的就迹线段MN是解飕的关佬，这里首先乩于点的变换视角可以

27、轻易找到其轨迹.然后利用“夹所定住法”进行常规说理，最后结合“垂线段遗短”求最依；方法二通过延长的方式构造中位线结构进行线段的转化，这里的辅助线构造还可以看作是相对运动策略的指引，即点可由点F以定点。为位以中心，以为位似比缩小而来，反过来，将线段-8以定点。为位以中心，以2为位似比放大得到FQ（只需找到点“的对应点。即可），从而将m的最小依转化为尸。的最小值.题13.（2019年宿迁）如图14131,正方形ABCO的边长为4,E为8c上一点，且跳：=1,尸为A8边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边EFG,连接CG,则CG的最小值为.简析1（瓜豆原理）：点G可由点尸绕定点E顺时针旋转60。而

28、来，基于“瓜豆原理”分析，点G的轨迹可由点尸的轨迹（即线段AB）绕定点E顺时针旋转60,而来，故点G的轨迹仍是一条线段，即将线段AB绕定点E顺时针旋传60。所得到的线段：常规证明如下：如图14-13-2,将点8绕定点E顺时付旋转60。得到点“，连接MG,由ABEM与AEFG均为等边三角形,易证（SAS）,则NEA/G=NE8F=90；由“为定点，EM为定线，NEMG为定向,可知点G在一条直线上运动：如图1413-3,将点从绕定点E顺时针旋转60。得到点N,线段MN即为点G的运动轨迹，当CG_LMN时，CG取得最小值：作EH上CG于点H,则CGM,NGCE=NME8=60。，微CH=bCE=：；

29、又GH=ME=BE=1,所以CG=j,即CG的最小值为5：简析2（相对运动）：如图14134,点G可由点F绕定点顺时针旋转60。而来,反过来，将H标线段CG绕定点E逆时针旋转60。得到线段CN（只需确定点C的对应点C即可），则CG=CF,要求CG的最小值，只福求CF的最小值：作C7LA8于点，再作CK_L5CJ点K,易证CCE为等边三角形，CH=BK=*又CT2C7A可得CF2R65,从而CG的最小值为日反思：本题属“直线型瓜豆中的“旋转结构”，方法一基于“瓜豆原理”轻松判断点G的运动枕迹，再用“夫向定位法”加以常规说理，从而将问趣转化为“点线距禹”问题：方法二巧施相对运动廉略，即因为点G可由

30、点F绕定点E顺时针旋转60而来，所以反过来将目标线段CG绕定点E逆时针流转60得到线段CR相当于将/XCEG绕定点逆时针战转60得到（；凡从而将CG的#.小值转化为CT的最小但，最后依然利用“垂城段最短”解决问迎.题14.如图14-14-1,矩形ABCO中，AB=4,BC=3,E为48边上一动点，以DE为边向右作正方形DEFG,连接CF,贝JC尸的最小值为.设8E=/(0WiW4),则CP=HQ=r.HF=1+3,从而CF=(7-r)24-(7+3)2即CF的股小值为5#；图14-14-1简析1（垂直处理+函数建模）：如图1414-2,作P_LCO于点，再作“LC8于点，交支线EP干点Q,易证

31、PEDgAQ尸E,PD=QE=HB=4-i,PE=QF=3,故CH=l-l,=2(/-2)2+50,当1=2时，CF2取得最小值为50,简析2（相对运动）：如图1414一3,连接0F,由aDE尸为等腰1角三角形，可知点尸可由点先绕定点D顺时针旋转45。，可以定点。为位似中心，以贬为位似比放大而来：反过来,将目标线段CF先绕定点D逆时针旋转45。，再以定点。为位似中心，以坐为位似比缩小得到线段SE（只需找到点C的对应点S即可）：常规证明如下：作等腰RtACCS,其中/CSD=90。，又OEf为等腰直角三角形，易证ACDFsSDE,则睡=器=或，即。户=也5,要求CF的最小值，只需求SE的奴OIL

32、LJIL小值；作5TJ_A8于点丁，交CO于点K,则5E/5T=SK+K7=2+3=5,即兴:的Al小色为5,从而b的最小值为反；简析3（瓜豆原理）：如图1414一4,连接。尸，由/）为等腰直角三角形，可知点户可由点E先绕定点。顺时针旋转45。，再以定点D为位似中心，以小为位似比放大而来，基于“瓜豆原理”分析，点F的轨迹可由点E的轨迹（即线段/M）先绕定点。顺时针旋转45。，再以定点。为位似中心，以啦为位似比放大而来，故点F的轨迹也是一条线段：常规证明如下：将点5先绕定点。顺时针旋转45。，再以定点。为位似中心，以贬为位似比放大得到点“，叩作等腰RlAADM,K1ZDW=900,连接DA则AD

33、EF为等腰立角三角形，从而易证SDEsm。入故NDMF=BE为定向，由此可判断点F在一条直线上运动；如图1414一5,再作等腰RlAOAM共中/OAN=90。，则纹段MN为点尸的运动轨迹，故当CTLMV时，。尸取得最小值；此时设C尸交8A于点心山前易知NOMV-/D8A,从而易得/】=/2=45。，所以与ACK均为等腰有角三角形，故HR=HC=3,CR=3/，又BN=7,则AN=%R尸=2m，CF=5/，即CF的最小值为队两於反思：本题属“直线型瓜豆”中的“旋件栩似结构”，方法一利用正直处理发喀，构造“一线三直向”，主动设元，建立二次函数模型求最值；方法二基于点的变换视角分析，采取相对运动鬃略

34、，相当于将CD尸反向旋骷45并放缩成SDE,从而将目标报段C尸的ft小值转化为的最小伍.最后利用“叁线段最短,斛决问卷：方由三丛于“瓜豆原理”分析出点尸的运动枕迹，再利用“旋转相似”结合“夹角定位法”加以常现说理，从而将问题杪化为“点现距禺问题.扪对而言，向两种方法更为简单，但方法三中确定目标动点广的运动就迂，解决地更为彻底、本质.题15.（2019年无保改编）14-15-L在AAH;中，Atf=/C=5,BC=&g。为边46上一动点（。点除外），以CD为一边作正方形CDE，连接6E,则线段8E的取值范围为.简析（相对运动）：如图14152,连接CE,由为等腰百角三角形,可知点E可由点D光绕定

35、点C顺时针旋转45。，再以定点。为位似中心，以m为位似比放大而来;y(2反过来，将目标线段8E先绕定点C逆时针旋转45。，再以定点C为位似中心，以失为位似比缩小得到线段PQ(只需找到点8的对应点即可图14-15-2常规证明如下：作等腰RtABCP,3t+Z5PC=9C%又口)为等股立角三角形,易证8CEs尸m则将=卷=例即BE=&)D要求BE的取值范围，只需求PD的I仅仅范围:连接AP,交AC于点从作尸G1M。于点G.易得PR=BCV2=2枷.pa=PH+AH=22m+小=3小,PG=%sin/%G=3.炉=6,因为6V2诉3巾，所以6WPDW3班,从而蜒W8EW3m.反思：本题仍属“直线型瓜

36、豆”中的“旋转柏似结构“，其本质与题14相同，上述三种方法都行得通，这里仅提供相对运动策略，其他解法可自行探究.为巩固这三种方去，再提供一例：题16.如图14-16-1,正方形人瓦7）的边长为1.E为边AC上一动点，将4E绕点E顺时针旋转90。得到线段斯，M为。E的中点，堆接例尸，则M”的最小伤为.简析1（垂直处理十函数建模）:如图14162,延长产至点M值FN=E3连接DN,则MF=；DN,要求MF的最小值，只需求ON的最小值：作NGLBC于点G,交A。的延长线于点，易证ASEs则尝一舞一空一2,设SEx（OWkWI）,nLAtL则GN=Zx,EG=2,从而HN=l_2x|,O4=】+x,故

37、oMMl-Zif+a+QLsf-iqiqq、后2-2=53一）叶,当寸，0M取得报小值即DN的坡小ff（为从而Mb的坡3339小35小伟为谪口图14-16-2简析2（相对运动）:如图14-16-3,延长E尸至点N,使FN=EF,在接ON,则MF=oM要求M尸的最小假，只需求ON的最小值；由题易得cosNEAN一然一蜚，点N可由点先绕定点A逆时斜旋转NEW,再以定点A为位似中心，以南为位似比放大而来：反过来，将目标线段DN先绕定点A顺时针旋、后转NEAM再以定点A为位似中心，以当为位似比缩小得到线段SE（只需找到点D的对应点S）;5常规证明如下：作RuMSO,使RuMSDsraeA,易OE&WN

38、s/MSE,则黑二靠=小，即W=SS,要求ON的最小值，只需求SE的最小色；显然，当SL8C时，5E取得最小色，此时设直线SE与4D交于点丁，如图14一164所示，易得AS=简析3（瓜豆原理）：同上,可将M尸的最小值转化为mV的最小值的余如图14-16-5.将点B先绕定点人逆时针旋转/E4N,再以定点A为位似中心，以小为何似比放大得到点H即作RizMBP,其中/cosN8/P=co$NEAN=W，连接PN,可证A6sA/WW则N4/W=NABE=90。，故点N在一条直线上运动：加图M-16-6,将点C先烧定点人逆时针旋转NZMP,再以定点A为位似中心，以小为位似比放大得到点0即作RtzMCg,其中Ncos/CAQ=cosN8AP=,则线段PQ即为点N的运动轨迹；当QNLPQ时，W取得最小值，此时延长