《高等几何》复习大纲、样题及答案全

1、高等几何复习大纲仿射坐标与仿射变换一、要求1. 掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。2. 掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。3. 掌握图形的仿射性质和仿射不变量。二、考试容1. 单比的定义和求法。2. 仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。3. 仿射变换的不变点和不变直线的求法。射影平面一、要求1. 掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。2. 熟练掌握笛萨格(Desargues)定理及其逆定理的应用。3. 熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。4. 理解线

2、坐标、点方程的概念和有关性质。5. 掌握对偶命题、对偶原则的理论。二、考核容1. 中心投影与无穷远元素中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。2. 笛萨格(Desargues)定理应用笛萨格(Desargues)定理及其逆定理证明有关结论。3. 齐次点坐标齐次点坐标的计算及其应用。4.线坐标线坐标的计算及其应用。5.对偶原则作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。射影变换与射影坐标一、要求1. 熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。2. 掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。3. 掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。4. 掌握二维射影变

3、换的概念、性质以及代数表示式。5. 理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。二、考试容1. 交比与调和比交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。2. 完全四点形与完全四线形完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。3. 一维基本形的射影对应一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。4. 二维射影变换5. 二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。6. 射影坐标一维射影坐标、二维射影坐标。7. 一维、二维射影变换的不变元素求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。变换群与几何学一、要求1. 了解变换群的概念。2. 理解几何学的群论观

4、点。3. 弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象。二、考试容1. 变换群与几何学的关系。2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。二次曲线的射影理论一、要求1. 掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置，二阶曲线的切线，二阶曲线与二级曲线的关系。2. 掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。3. 掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。4. 了解二阶曲线的射影分类。二、考试容1. 二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程。2. 应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题，解决

5、相在的作图问题。3. 二阶曲线的射影分类。二次曲线的仿射性质和度量性质一、要求和考试容1.掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。（一）一、填空题（每题2分，共10分）1、平行四边形的仿射对应图形为：;2、线坐标（1，2，1）的直线的齐次方程为：；3、直线3x+2x二0上的无穷远点坐标为：；124、设（AB,CD）=2，则点偶调和分割点偶；5、两个射影点列成透视的充要条件是；二、作图题（每题6分，共6分）1、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题，并画出对偶图形。三、计算题（每题10分，共30分）1、求仿射变换式使直线x+2yl=0上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-

6、1，2）px'=-xii2、求射影变换px=x的固定元素。22px'=x333、叙述二次曲线的中心、直径，共轭直径渐近线等概念，并举例说明。四、证明题（每题12分，共24分）1、叙述并证明布利安桑定理。2、设（AB、CD）=-1，0为CD的中点，则OC2=OAOB（此题为有向线段）参考答案一、填空题1、平行四边形2、x+2x+x=01233、（2，-3，0）4、AC,BD5、保持公共元素不变二、作图题1、每三点不共线的五个点，两两连线。对偶：没三线不共点的五条线，两两相交。对偶图形就是自己三、计算题在已知直线x+2y-l=0上任取两IX=ax+by+c1解设所求仿射变换为,1/

7、1Iy=ax+by+c222点，例如取（1，0）、（3，-1），在仿射变换下，此二点不变。而点（1，-1）la+c=1变为（T，2），把它们分别代入所设仿射变换式，得11八，Ia+c=0223ab+c=3=11113ab+c22ab+c=1111ab+c=22由以上方程联立解得：a1=22b=21,C1=T，3a=-22b=-22故所求的仿射变换为：由题设的射影变换式，得a11=1,a=0,a=0,a=0,a=1,a1213212223=0,a31=0,a32二0,a33二1把它们代入射影变换的固定方程组6.5公式（2）,(au)x+ax+ax=0111122133即<ax+(au)x+

8、ax=0211222233ax+ax+(au)x=031132233(1u)x=01得<(1-u)x=0由此得特征方程为:2I(1u)x=031u0001u0001u(1+u)(1-u)2=0解得u=l(二重根),u=1=0,将u=1代入固定点方程组，即得固定点为（1，0，0）将u=l代入固定点方程组，得x1=0这是一固定点列即直线AA上的每23一点都是固定点。把爲的值代入射影变换的固定直线方程组6。5公式，即-v)u+au+au=011 1212313<av+(a-v)u+au=0得12 1222323au+au+(a-v)u=013 1232333t-1-v)u=01<(

9、1-v)u=0则特征方程为2(1-v)u=03一1-v0001-v0=0即(1+v)(l-v)2=0,解得v=-lv=l(二重根)。001-v将v=-l代入固定直线方程组，即得固定直线为(1，0，0)。将v=l代入固定直线方程组，得片=0,即通过点(1，0，0)3、见课本四、证明题1、见课本2、证明这里所用的都是有向线段，利用0为CD中点这一假设，便有OD=-OC来论证的，由(AB，CD)=-1，得ACBDadTbc=-11)即ACBD+ADBC=0把所有线段都以0点做原点来表达，由(1)得(OC-OA)(OD-OB)+(OD-OA)(OC-OB)=0(2)由(2)去括号，移项，分解因子，得(

10、OAOB+OCOD)=(OA+OB)(OC+OD)2(OAOB-OC2)=(OA+OB)0/.OAOB-OC2=0即OC2=OAOB二)一、填空题(每小题4分，共20分)1、设P(1)，P(-1)，P(g)为共线三点，贝U(PPP)二11231232、写出德萨格定理的对偶命题：如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线交于一点。3、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-l，则交比(ad,bc)=2。4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群5、二次曲线的点坐标方程为4xx-x2=0，则其线坐

11、标方程为是132uu一u2=0132二、选择题(每小题2分，共10分)1. 下列哪个图形是仿射不变图形？(D)A.圆B.直角三角形C.矩形D.平行四边形Qu2+2uu一8u2=0主-/P、2. 1122表示(C)A. 以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点3. 两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？(B)A.一次B.两次C.三次D.四次4. 下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有(A)：A.三角形的垂心B

12、.梯形C.在平面无三线共点的四条直线有六个交点D.椭圆5. 二次曲线按射影分类总共可分为（B）A.4类B.5类C.6类D.8类三、判断题（每小题2分，共10分）1. 仿射对应不一定保持二直线的平行性。（x）2. 两直线能把射影平面分成两个区域。（厂）3. 当正负号任意选取时，齐次坐标（±1,±1,±1）表示两个相异的点。（x）4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素（非自对应元素）符合对合条件，则此射影变换一定是对合。（厂）5. 配极变换是一种非奇线性对应。（厂）四、作图题（8分）已知线束中三直线a,b,c，求作直线d，使（ab,cd）=T（画图，写出作法过程和

13、根据）作法过程：1、设a,b,c交于点A，在c上任取一点C,（2分）2、过C点作两直线分别与a交于B、E，与b交于F，D，（2分）3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d°（2分）根据：完全四点形的调和共轭性（2分）五、证明题（10分）如图，设FGH是完全四点形ABCD对边三点形，过F的两直线TQ与SP分别交AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.试利用德萨格定理（或逆定理）证明：TS与QP的交点M在直线GH上。i)GH在三点形BTS与三点形DQP中（4分）对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点，（2分）由德萨格定理的逆定理知，（2分）对应边的交点BT与DQ的交点G，TS与QP的交

14、点M以及BS与DP的交点H三点共线，即TS与QP的交点M在直线GH上六、计算题（42分）1.（6分）平面上经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求单比（ABP）2分)解：设P点的坐标为（x0，yo）Q（ABP）=普=磊i（分割比）'而:x03+6九,y0且P在直线x+3y-6=0上，(3+6九(1+九)+3(2分)解得入=1，即P是AB中点，且（ABP）=12.（6分）已知仿射平面上直线l的非齐次坐标方程为x-2y+1=0，求（1）1的齐次坐标方程；（2）1上无穷远点的坐标；（3）1上无穷远点的方程。（1）x-2x+x=0（2分）123（2）（1，1

15、/2，0）（2分）（3）u+u1/2=0123. （8分）在直线上取笛氏坐标为2,0,3的三点作为射影坐标系的P*,P0,E，（i）求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标入的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？解：（i）由定义A=（PP，EP）=（20,3x）=（32）（x°）*0（x-2）（3-°）3x-6x1°故：，且=6丰°（4分）3x一636（ii）若有一点它的两种坐标相等，即x=A则有x=，即3x27x=0，3x-67.当x=0及x二一时两种坐标相等。34. （8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,

16、2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。设射影变换的方程为：all'+b九+c九'+d二°（2分）由题意知：a+b+c+d=°,6a+2b+3c+d二°,6a+3b+2c+d=0得到：a:b:c:d二3:-5:-5:7故射影变换方程为：3ll'-5l-51'+7=°（4分）二重元素满足：312-1°1+7=°得1=7/3或1=15. （6分）求由两个射影线束x1x=°，x-1'x=°，311'=°所构成的二阶1323曲线的方程。x一3x=0(2分)23由

17、上式得：九=2=住（2分）3xx33故所求方程即为3xx-xx=013236.(8分)试求二次曲线r:x2+4xx+3x2+2xx-4xx=0的中心与渐近线。11221323二次曲线的齐次方程为：x2+3xx-4x2+2xx10xx=0，11221323QD=aij一45=36主0二次曲线为常态的，5设中心(g,n),3而：A=231AA333315-7,A223=字A233254一一32则中心为(-4,-進)(4分)2525求渐近线方程：ailX2+2ai2XY+a22Y2=0，X=xg，Y=y。从X2+3XY4Y2=0(X+4Y)(XY)=0.X+4Y=(x14)+4(y+26)=05x+

18、20y+18=0，(2分)2525XY=(x14)(y+26)=05x5y8=0。2525一、填空题（每空2分，共20分）1.经过一切透视仿射不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量.2. 共线三点的简比是_仿射不变量.3. 平面三对对应点（原象不共线，映射也不共线）决定唯一_仿射变换4.点坐标为（1，0，0）的方程是_u=0=0代表点（1，1，0）、（1，-1，0）_的方程6. 已知共线四点A、B、C、D的交比（AB，CD）=2，贝U（CA，BD）=-1.7. 对合由两对不同的对应元素_唯一决定.8. 二阶曲线就是两个射影线束对应直线交点_的全体.9. 证明公理体系的和谐性常用模型_法

19、.10. 罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_分散直线二、计算题（每小题6分，共30分）1.求直线x-2y+3=0上无穷远点的坐标。1. 解：化为齐次式X-2x2+3xg=0,以x3=0代入得X-2x2=0，£=2%2或x2=jxi无穷远点坐标为（2，1，0）2. 求仿射变换x'=7x一y+1y'=4x+2y+4的不变点.2.解：由x=7x一y+1y=4x+2y+46x一y+1=04x+y+4=0解此方程，得不变点为（-1,-2）3.求四点（2，1，-1），（1，-1，1），（1，0，0），（1，5，-5）顺这次序的交比.3.解：以（2，1，-1）和（1

20、，-1，1）为基底，则（2，1,-1）+"（1,-1,1）相当于（1，0，0）.2+yJ1J_1+yJ.J00得“广1又（2，1，-1）+“2（1，-1,1）相当于（1，5，-5）2+卩21_卩2_1+卩2.15_5得犷i所求交比为上1_-卩234. 试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束x1-5=0与x2-"x3=0("=邑)所决定的.4.解：Iv=邑(1)X-入x3=0,X2-Vx3=0中的，入，V代入（1）H_1H三xi_x3X3电+2X1+2X3x3x2(x1+2x3)-x3(x1-x3)=0，化简，即得所求的二阶曲线方程x1x2+2x2x3_x1x3+x

21、3205.求二次曲线2x2+xy-3y2+x-y=0的渐近线.5.解：T系数行列式2121212-3_12121一20A31A32=fA33254因此中心坐标1护-5，n=由2X2+XY-3Y2=0，即(2X+3Y)(X-Y)=0.得2X+3Y=0X-Y=0.(1)将X=x+*Y=y+1代入(1)得2x+3y+1=0x-y=0即为所求的渐近线方程三、作图题(每小题6分，共18分)1.给定点A、B，作出点C，使(ABC)=4.作法：.(ABC)=AC=1，即AB=3.BC在AB延长线上，作点C，使BC=丄AB32.过定点P，作一条直线，使通过两条已屋知直线的不可到达的点.作法：2.作法：（利用代

22、沙格定理）：任取线束S，设束中两条直线交a于A，C，交b于A'，C；连直线PC，PC分别交线束S的第三条直线于B，B；直线BA和B'A'的交点Q与点P的连线，即为所求的直线.注：1°文字，2°也可利用巴卜斯定理；或完全四点形调和性质作图.3. 如图，求作点P关于二次曲线r的极线作法：3.作法：过P点任引两直线，使与r分别交于A、B及C、D，设Q=ACxBD，R=ADxBC，那么直线QR即为所求的极线.四、证明题（第1、2题各10分，第3小题12分，共32分）1.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PSxQR,B=PRxQS,C=PQxRS,证明A

23、=BCxQR,B=CAxRP,q=ABxPQ三点共线.证明：1.证明：在厶ABC及PQR中，TAP、BQ、CR共点S.对应边的交点q=ABxPQ，B=CAxRP,Ai=BCxRQ三点共线2. 过二次曲线的焦点F，引两条共轭直线l,l，证明1丄l义，两迷向直线FI，FJ是二次曲线的切线.从而（FI，FJ，l，l'）=-1，所以l丄13. 将厶ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形（图甲），求证它的三双对顶连线共点。证明（按以下程序作业）：第一步：将ABC仿射变换为等边厶A'B'C'（图乙），为什么这样变换存在？第二步：在图乙中，

24、画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。第三步：证明：变换后的相应命题成立。这样原来命题也就成立，为什么？3.第一步，.任意两三角形，总存在仿射变换，使其中一个三角形仿射变换为另一三角形.第二步：正三角形的每边三等份，每一分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形，求证它的三双对顶的连线共点.第三步：由A'作B'C'边上的高线A'S.A'B'C'是正三角形，由对称性可知K'，N在A'S上.同理J'、M与P'L'也分别在过点B'、C所作的高线上，因为A'B

25、9;C'的三高线共点，所以六边形J'K'L'M'N'P'的三对顶点的连线共点.正三角形的垂心和重心是合一的，由于仿射变换构成变换群，且同素性和接合关系以及三角形的重心是仿射不变性，所以原命题也成立.(四)一、填空题(2分x12=24分)二、1、平行四边形的仿射对应图形为：平行四边形；2、直线x+5x=0上无穷远点坐标为：(5，T，0)123、已知(ll,II)=3，则(II,ll)=3(ll,ll)=-21234432113244、过点A(1,i,2)的实直线的齐次方程为：2x-x二0135、方程u25uu+6u2=0表示的图形坐标(1,

26、2,0)(1,3,0)11222x116、已知ox轴上的射影变换式为x'=，则原点的对应点-x+337、求点(1,1,0)关于二阶曲线3x2+5x2+x2+7xx+4xx+5xx=0的极线方程123121323x+3x+6x=01238、ABCD为平行四边形，过A引AE与对角线BD平行，则A(BC,DE)=-19、一点列到自身的两射影变换a):1T2，2t3，3T4；b)：0T1，2t3，1t0其中为对合的是：b10、求射影变换九九'-2九+1=0的自对应元素的参数111、两个线束点列成透视的充要条件是12、直线2x-x+x二0上的三点A(l,3,l)，B(2,5,l)，C(1

27、,2,0)的单比(ABC)=1123二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：x九x=0与x九'x=0且九九'一九+2九'+1二0。1323解：射影对应式为九九'九+2九'+1二0。xx由两线束的方程有：九=1,九=2°xx33将它们代入射影对应式并化简得，xx+2xx一xx+x2=01223133此即为所求二阶曲线的方程°三、证明：如果两个三点形接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线°证明：三点形ABC和三点形ABC接于二次曲线(C)，设ABIB'C'=DABIA'C=EAB

28、IBC=DA'BTAC=E'，则C'(A,BA；B)XC(A,BA；B)所以，(A,D,E,B)XC(A,B,AA,B)XC(A,B；AA,B)X(E；BB,A)即(A,D,E,B)X(EA,BA,AA,DA)这两个点列对应点的连线AC，CABA，CAAA,BC连同这两个点列的底AB，AABA属于同一条二级曲线(CA)，亦即三点形ABC和三点形AABACA的边外切一条二次曲线。四、已知四直线11,12,13,14的方程顺次为2x-x+x=0，3x+x-2x=0,7x-x=0，5x-x=0,1231231213求证四直线共点，并求(1112,1314)的值。(10分)2_

29、1131_2解：因为31_2=0且7_10=07_1050_1所以11,12,13,14共点。四直线与乂轴(x2=0)的交点顺次为A(l,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,l),D(l,0,5),非齐次坐标为A(-,0),B(3,0),C(0,0),D(5,0)，所以1112,1314)=(AB，CD)1 12(0+_)(_)2 53(0)(+)3 52五、求两对对应元素，其参数为1T2，0T2，所确定的对合方程。(10分)解设所求为a九九A+b(九+九A)+d=0将对应参数代入得：2a+(l+2)b+d=0(0+2)b+d=0从中消去a,b,d得11=01九九'九+九'1 32 20