第2章 1.2 特征函数族及数字特征

1、第二章第二章 随机过程基本知随机过程基本知识识(2)(2)主讲人：李伟主讲人：李伟西安电子科技大数学与统计学院西安电子科技大数学与统计学院2014年秋季年秋季第二节：第二节：1）有限维特征函数族）有限维特征函数族 2）随机过程的数字特征）随机过程的数字特征三三 随机过程的有限维特征函数族随机过程的有限维特征函数族nkkkkxgxgfS11)()()(S0limbaxdgxf)()(1.Stieltjes积分积分定义定义 设设f(x), g(x)是定义在是定义在a,b上的两个有界函数上的两个有界函数, 对对a,b 的任的任一划分一划分 a=x0 x1xn=b, 记记 =maxxk任取任取k k

2、xk-1k-1, ,xk k,k=1,n.,k=1,n.作和作和若极限若极限存在存在,且与且与a,b的分法及的分法及k的取法无关的取法无关.则称此极限为则称此极限为f(x)对函数对函数g(x)在在a,b上的上的Stieltjes积分积分.简称简称S积分积分. 也称也称f(x)对对g(x)在在a,b上上S可积可积.记记设设f(x), g(x)是定义在是定义在(-,+ )上的两个函数上的两个函数, 若若在任意有限区间在任意有限区间a,b f(x)对对 g(x)在在a,b S可积可积, 且且babaxgxf)()(lim)()(xdgxf存在存在则称此极限为则称此极限为f(x)对对g(x)在无穷区间

3、在无穷区间(-,+ )上的上的Stieltjes积分积分. 记记关于关于Stieltjes积分有如下性质积分有如下性质当当g(x)为跳跃函数为跳跃函数,且在且在xi (i=1,2,)具有具有跃度跃度p pi i时有时有iiipxfxdgxf)()()(dxxgxfxdgxf)()()()()(sin)(cos)(xdgtxjxdgtxxdgejtx当当g(x)存在导数存在导数g (x)时时,有有(3) 设函数设函数x 定义在定义在(-,+ )，若积分，若积分 存在，则称此积分为存在，则称此积分为g(x)的的Fourier-stieltjes积分，记积分，记F-S积分积分定义定义 设随机变量设随

4、机变量X的分布函数为的分布函数为F(x), 若若)()(xdFxXE( )xdF x 则则X的期望为的期望为并有以下结论并有以下结论(1)设设 随机变量随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x), y=g(x)是连续函数是连续函数, 若若)()(xdFxg则随机变量则随机变量 Y=g(X)的期望为的期望为)()()(xdFxgYE(2)一般设一般设r.v.(X1,Xn)的联合分布函数为的联合分布函数为F(x1,x2,xn), g(x1,x2,xn)为连续函数为连续函数. 若若),.,(),.,(2121nnxxxdFxxxg则随机变量则随机变量Y=g(X1,X2,Xn)的数学期望存在的数学期望

5、存在. 且且),.,(),.,()(2121nnxxxdFxxxgYE( )E( )juXjuxueedF xu 定义定义 设随机变量设随机变量X的分布函数的分布函数F(x),则称则称为随机变量为随机变量X的的特征函数特征函数.2.随机变量的特征函数随机变量的特征函数其中其中u为实参变量为实参变量, 为复随机变量为复随机变量juXe对任意实数对任意实数u, ,有有|e|ejuxjux|=1.|=1.故故EEejux总存在总存在.(1) 特征函数总是存在的特征函数总是存在的.关于特征函数的几点说明关于特征函数的几点说明(2)特征函数的性质特征函数的性质01u（ ） （ ）( )()uu 若若Y=

6、aX+b ,a,bY=aX+b ,a,b为常数为常数, ,则则( )()jbuYXueau( )u 在（，）上一致连续. 若若X与与Y相互独立相互独立,Z=X+Y,则则 ( )( )( )ZXYuuu(可推广到可推广到n个相互独立随机变量个相互独立随机变量)11()0nnklkllkuuz z是非负定的是非负定的. ( )u即对任意的即对任意的n, 任意复数任意复数Zk, 任意实数任意实数uk(k=1,2,n), 有有 设随机变量设随机变量X的的n阶原点矩阶原点矩(即即EXk)存在存在, 则则( )u存在存在k(kn)阶导数阶导数,且有且有( )(0)EX ,kkkjkn( )(0)EX,kk

7、kknj(3)一些重要分布的特征函数一些重要分布的特征函数单点分布单点分布P(X=c)=1, c常数常数. 则则( )juXjucuE ee二项分布二项分布,C)X(Pknkknqpkk=0,1,n. 0p00则特征函数则特征函数0( )!kjuXjukkuE eeek(1)0()!jujujukeekeee eek均匀分布均匀分布r.v.XU(a,b,密度函数为密度函数为其它bxaabxf, 0,1)(则特征函数则特征函数X( )E( )jujuxueef x dx11()()bjuxjbujuaaedxeebaju ba正态分布正态分布r.v.XN(, 2),密度函数为密度函数为常数)0(

8、,21)(222)(xexfx则特征函数则特征函数X( )E( )jujuxueef x dx222()()221122xvjuxjuveedxeedv22 22 21()122212vjuj uuj uueedvexv令特别特别XN(0,1)时时22)uue（记住！记住！指数分布指数分布r.v.X服从参数为服从参数为(0)(0)的指数分布的指数分布, , 概率概率密度为密度为00, 0,)(xxexfx则特征函数则特征函数X( )E( )jujuxueef x dx()00juxxjuxeedxedxju(4)随机变量的分布函数与其特征函数随机变量的分布函数与其特征函数 相互唯一确定相互唯一

9、确定.定义定义(多元特征函数多元特征函数)设设n维随机变量维随机变量X=(X1,X2,Xn)的联合分布函数的联合分布函数为为F(x1,x2,xn),则称则称1122()12( ,)EnnuXjXuu Xnu uueETjuXe1 12 2()12(,)n nj u xu xu xnedF x xx为为n维随机变量维随机变量X的特征函数的特征函数.也称也称多元特征函数多元特征函数多元特征函数具有与一元特征函数类似的性质多元特征函数具有与一元特征函数类似的性质 n维随机变量的特征函数与其联合分布函数维随机变量的特征函数与其联合分布函数 是一一对应的是一一对应的特征函数应用举例特征函数应用举例:21

10、.PoissonEX EXDX设X服从参数为 的分布，求，(1)( )jueue解： 由题意(1)22(1)( ),( )()jujujuejujueuj e eueee 则( )(0)EXkkkj则利用特征函数性质：(0)EXj得222(0)EXj22()DXEXEX22.1 212nkkkX ,X ,XXNk = , ,n设相互独立，且（，）,nkk=1用特征函数求随机变量Y=X 的概率分布2 212( ),1,2,.,kkkjuuXuekn解：由题意1( )( )knYXkuu2 2121kknjuuke22111()()2nnkkkkjuue211(,)nnkkkkNnkk=1Y=X定

11、义定义 (随机过程的有限维特征函数族随机过程的有限维特征函数族) 设设 Xt,tT是一个是一个S.P. 对于任意固定的对于任意固定的 t1,t2,tnT, X(t1), X(t2), , X(tn)是是n个个 随机变量随机变量,称称1212( , ,., ;,.,)nnt tt u uu1( )11( ,;,)niiiju X tnnedF ttxxE)()(11nntXutXuje为为S.P.XS.P.Xt t,tT,tT的的n n维特征函数维特征函数. .(ui R, i=1,2,n) 1212 ( , ,.,.,),1,2,., nniit tt u uutT uR in 称;为随机过程

12、的有限维特征函数族为随机过程的有限维特征函数族1. 均值函数均值函数 E EXt 存在存在, ,设设X=Xt , tTT是一实值随机过程，对任意是一实值随机过程，对任意tT,T,若若 随机过程的数字特征随机过程的数字特征则称则称EEXt 为随机过程为随机过程X的的 均值函数均值函数，记为记为mX(t)， 即即 mX(t)= EEXt ， tT2. 方差函数方差函数 DXt =EXt -mX(t)2存在存在, 设设X=Xt , tTT是一实值随机过程，对任意是一实值随机过程，对任意tT,T,若若则称则称DXt 为随机过程为随机过程X的的方差函数，方差函数， 记记DX(t). 即即 DX(t)=

13、EXt -mX(t)2 ，tT3. 3. 协方差函数协方差函数 Cov(Xs, Xt)=EXs-mX(s)Xt -mX(t)存在存在,设设X=Xt , tTT是一实值随机过程，对任意是一实值随机过程，对任意s,tT,T,若若则称则称Cov(Xs, Xt)为随机过程为随机过程X的的协方差函数协方差函数.记记 CX(s,t). 即即 CX(s,t)= EXs-mX(s)Xt -mX(t) s,tT4. 相关函数相关函数 EXsXt 存在存在, 显然显然 mX(t)=0时时, CX(s,t)= RX(s,t)设设X=Xt , tTT是一实值随机过程，对任意是一实值随机过程，对任意s,tT,T,若若则

14、称则称EXsXt为随机过程为随机过程Xt的的相关函数相关函数. (自相关函数自相关函数)记记RX(s,t).即即 RX(s,t)= EXsXt s,tT5. 均方值函数均方值函数 EXt2存在存在设设X=Xt , tTT是一实值随机过程，对任意是一实值随机过程，对任意tT,T,若若则称则称EXt2为随机过程为随机过程X的的均方值函数，均方值函数，记为记为X(t).即即 X(t)= EXt2 tT随机过程的数字特征有如下关系随机过程的数字特征有如下关系CX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t) s,tTT DX(t)=CX(t,t) tTX(t)=RX(t,t) tT 最关键的数字特征

15、是均值函数与相关函数最关键的数字特征是均值函数与相关函数本节内容举例本节内容举例设设S.P. X(t)=acos(t+). a, 常数常数, U0, 2 求该过程的均值函数求该过程的均值函数,相关函数相关函数,方差函数方差函数. 解解( )( )XmtE X t201cos()20atdt ( , )( )( )XRs tE X s X t22021cos()cos()2cos(),2astdatss t ( , )( , )( )( )XXXXCs tRs tms mt2( , )cos(),2XRs tatss t 2( )( , )2XXaDtCt tt 2. 设设S.P. X(t)=A

16、cost+Bsint t0, 为常数为常数. A,B相互独立相互独立,同服从正态分布同服从正态分布N(0,2) 求该过程的数字特征求该过程的数字特征.解解( )( )0XmtE X tt ( , )( )( )XRs tE X s X t22coscos(sincoscossin)sinsinE AstE ABststE Bst2cos (),tss t 两个随机过程的联合分布和两个随机过程的联合分布和 数字特征数字特征在实际问题中在实际问题中,有时需要同时考虑两个或者有时需要同时考虑两个或者两个以上的随机过程两个以上的随机过程.例如例如:一个线性系统的输入信号和输入噪声两者可能一个线性系统的

17、输入信号和输入噪声两者可能同为随机过程同为随机过程.同时考虑一个线性系统的随机输入和随机输出同时考虑一个线性系统的随机输入和随机输出的关系等的关系等.随机过程可推广到随机过程可推广到 多维随机过程多维随机过程定义定义设设Xt,tTT和和 Yt,tT是定义是定义 在同一概率空间在同一概率空间 (,F,P)上的上的两个两个实实随机过程随机过程. 则称则称Xt,Yt, tT是是二维随机过程二维随机过程. 复随机过程复随机过程定义定义 设设Xt,tTT和和 Yt,tT是定义在同一概率空间是定义在同一概率空间 (,F,P)上的上的两个两个实实随机过程随机过程.令令 Zt= Xt+jYt tT 则称则称Z

18、t, tT是是复随机过程复随机过程.设设Xt,Yt, tT是二维是二维S.P. 对任意对任意s,tT，若若则称则称 EXsYt=RX,Y(s,t)为该二维为该二维S.P.的的 互互相关函数相关函数两个随机过程的数字特征两个随机过程的数字特征互相关函数互相关函数 EXsYt存在存在, cov(Xs,Yt）=E(Xs-mX(s)(Yt-mY(t)存在存在,显然有显然有 CXY(s,t)=RXY(s,t)-mX(s)mY(t) 设设Xt,Yt, tT是二维是二维S.P. 对任意对任意s,tT，若若则记则记 cov(Xs,Yt)= CXY(s,t)称称为二维为二维S.P.的的互互协方差函数协方差函数即

19、即 设设Xt, tT, Yt, tT是二个是二个 S.P.若若 CXY(s,t)=0 或或 RX,Y(s,t)= mX(s)mY(t) s,tT,则称则称S.P Xt, tT,与与S.P Yt, tT不相关不相关.利用互协方差函数可以定义两个过程的相关利用互协方差函数可以定义两个过程的相关设设Z=Zt, tT是复随机过程，是复随机过程， 对任意对任意t T,称称 mZ(t)=EZt 为为复随机过程复随机过程Z的均值函数的均值函数 称称 DZ(t)=DZt =E| Zt- mZ(t)|2 为为复随机过程复随机过程Z的方差函数的方差函数复随机过程的数字特征复随机过程的数字特征 称称 Z(t)=E|Zt|2 为为复复随机过程随机过程Z的均方值函数的均方值函数. 对任意的对任意的s,tT,T,称称 RZ(s,t)=EZsZt 为为复随机过程复随机过程Z的相关函数的相关函数. 称称 CZ(s,t) =cov(Zs，Zt) =E(Zs-mz(s)(Zt-mz(t) 为为复随机过程复随机过程Z的协方差函数的协方差函数.由以上定义可得由以上定义可得(1) mZ(t)=