2017全国卷1理科数学试题详细解析

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）理科数学解析人李跃华注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|x<1,B=x|3x<1,则（）A.APlB=!x|x<0B.AUB=RC.AUB=ixx>1D.A

2、PB=0【答案】A【解析】A=(x|x<1,B=x|3x<1=x|x<0AClB=lx|x<0,AUB=x|x<1,2. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A.B.nC.D.【答案】B【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1则正方形的面积为2x2=4，圆的面积为nx12=n，图中黑色部分的概率为-2 n则此点取自黑色部分的概率为2=n4=8故选B43. 设有下面四个命题()p1：若复数z满足丄eR,zP2:若复数z满足z2eR，则zeR；p

3、:若复数z,z满足zzeR，则z=z;3121212P4:若复数zeR，则zeRCp，pDp，p2324得到b=0,所以zeR.故P正确；1Ap，pBp，p1314【答案】B11a-bi“【解析】P:设z=a+bi，则一=eRiza+bia2+b2p:若z2=-1，满足Z2eR，而Z=i，不满足Z2eR，故p不正确；22p:若z=1,z=2，则zz=2，满足zzeR，而它们实部不相等，不是共轭复3121212数，故p不正确；3p:实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p正确；444.记S为等差数列a的前n项和，若a+a=24,S=48，则a的公差为（）nn456nA1B2C4D

4、8【答案】C【解析】a+3d+a+4d=2445116x5S=6a+d=48612联立求得2a+7d=2416a+15d=481x3-得（21-15）d=246d=24*.d=4选C5.函数f(x)在(Y，+8)单调递减，且为奇函数.若f(1)=-1，则满足-1Wf(x-2)W1的x的取值范围是()A.-2,2B.1,1C.0,4D.11,3【答案】D【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(一1)=一f(1)=1，于是-1Wf(x2)W1等价于f(1)wf(x2)wf(-1)|又f(x)在(-8，+8)单调递减1Wx-2W1.lWxW3故选D6.|1+丄(1+X>>展开式中x2的系数

5、为C.30D.35Ix2丿A.15B.20【答案】C.【解析】1+丄(1+X、=1(1+X)5+(1+X)5(X2丿X2对G+x)6的x2项系数为C2=1562对丄-(1+x)6的x2项系数为C4=15,X26x2的系数为15+15=30故选C7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A.10B.12C.14D.16【答案】B解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面S冲=(2+4)x2+2=6全梯=6X2=12故选B8.右面程序框图是为了求出

6、满足3n-2n1000的最小偶数n，那么在.和1两个空白框中，可以分别填入/输/11a=y-r门1是>/输出叶/O束）A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.AW1000和n=n+1D.AW1000和n=n+2【答案】D答案】因为要求A大于1000时输出，且框图中在“否”时输出“”中不能输入A>1000排除A、B又要求n为偶数，且n初始值为0,“”中n依次加2可保证其为偶故选D9.已知曲线C：y=cosx,C2：y=sinf2x+普,贝y下面结论正确的是（）厶I3丿nA. 把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移匚16个

7、单位长度，得到曲线C2nB. 把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移不112个单位长度，得到曲线C21nC. 把C上各点的横坐标缩短到原来的；倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移-126个单位长度，得到曲线C2nD. 把C上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移石112个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】C：y=cosx,C2：y=sinI2x4f2n'丿首先曲线C、C统一为一三角函数名，可将C:y=cosx用诱导公式处理.121/nn、fn、cosx=cosx+=sinx+I22丿I2丿y=横坐标变换需将w=1变成w=

8、2,C上各点横坐标缩短它原来2y=即y=sinx+(n=sin2x+二=sin2x+4丿(2n(nsin=sin2x+I3丿I3丿>y=注意o的系数'在右平移需将“提到括号外面这时x+4平移至x+3,根据“左加右减”原则，“x+4”到“x+1”需加上12，即再向左平移分l，直线l与C交于A、2()10.已知F为抛物线C:y2=4x的交点，过F作两条互相垂直，B两点，直线l2与C交于D，E两点，|AB|+|DE|的最小值为A.16【答案】AB.14C.12D.10设AB倾斜角为0作AK垂直准线,1AK2垂直"轴27:|AB=1-cos20sin20又DE与AB垂直，即DE

9、的倾斜角为2+0IdE=2Psin2(n+0I2)C0S20.|ab|+|de|=2psin20+cos20sin20cos20丿=4sin20cos20sin20cos20-sin220|AF|-cos0+|gf|=|akI(几何关系)1|ak|=|af|(抛物线特性)1GP=f-.|AF|-cos9+P=|AF|PP同理|af|=,|bf|=1一cos01+cos0nsin220三16'当0=7取等号即|AB+DE最小值为16,故选AC.3y<5z<2x11.设x,y,z为正数，且2x二3y二5z，则（）A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yD

10、.3y<2x<5z【答案】D【答案】取对数：xln2二yln3二ln5.xln33二>yln22.2x>3yxln2二zln5xln55则一二<-zln222x<5z3y<2x<5z，故选D12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,，其中第一项是20,接下来的两项是20，21，在接下来的三项式26，21，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N:N>

11、100且该数列的前N项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码是（）A.440B.330C.220D.110【答案】A【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推设第n组的项数为n，则n组的项数和为2由题，N>100，令n"+>100一n三14且neN*，即N出现在第13组之后2第n组的和为-_=2n-11-2n组总共的和为M亠-n=2n-2-n1-2若要使前N项和为2的整数幂，则n-""+"）项的和2k-1应与-2-n互为相反2即卩2k-1=2+nCeN*,n三14）k=log2（n+3）一n=29,k=529x（

12、1+29）+5=440故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a，b的夹角为60o,a=2,|b|=1，则a+2b|=【答案】2打【解析】|a+2b|2二(a+2b)2二|a|2+2a|2b|-cos60o+2|b|)二22+2x2x2x丄+22=4+4+4=12|a+2b|=辰=2晶x+2y<114.设x,y满足约束条件<2x+y>-1，则z二3x-2y的最小值为.x-y<0【答案】-5x+2y<1不等式组2x+y>-1表示的平面区域如图所示x-y<0求Z的最小值，即求直线y二3x-的纵截距的最大值22当直线y二3x-过图

13、中点A时，纵截距最大22由2兀+y-1解得a点坐标为（1,1），此时-二3x（-1）-2x1=5x+2y-115.已知双曲线C:,（a0,b0）的右顶点为A,以A为圆心，b为半径作圆A,a2b2圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若ZMAN-60。，则C的离心率为【答案】'3解析】如图，/上MAN=60。，|AP|二2Op|=i|oa|2_|pa|2tan0=|ap|opv3b解得a2=3b2又tan0=-a4a2一b216.如图，圆形纸片的圆心为O,半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O,积（单位:D、E、F为元O上的点，ADBC,ECA,FAB分别是一BC,CA,

14、AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB为折痕折起ADBC,ECA,FAB，使得D,E,F重合，得到三棱锥当AABC的边长变化时，所得三棱锥体【答案】4x15【解析】由题，连接OD，交BC与点G，由题，OD丄BC3OG=BC，即OG的长度与BC的长度或成正比6设OG=x,则BC=2氏x，DG=5-x三棱锥的高h=DG2-OG2=I：25-10x+x2-x=<25-10xS=2朽-3x-=3、忘2ABC2则V=；S-h=<3x2'25一10x=,.-'3."25x4-10x53ABC9令f(丄25x4-10x5,xe(O*),广(宀100

15、x3-50x4令f(x)>0，即x42X3<0,x<由sinA丰0得sinBsinC=.21(2)由(1)得sinBsinC=，cosBcosC=-3 6*.*A+B+C=n/.cosA=cos(nBC)=cos(B+C)=sinBsinCcosBcosC=丄2则f(x)Wf(2)=80则V380=45体积最大值为4：15cm320三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。()必考题：共60分。17.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知Aabc的面积为一

16、.3sinA(1) 求sinBsinC；(2) 若6cosBcosC=1,a=3，求ABC的周长.【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.a21(1)/ABC面积S=上.且S=besinA3sinA2a23sinA=besinA2°.a2=besin2A2、3A=60。，sinA=辽cosA=2由正弦定理得sin2A=sinBsinCsin2A，2由余弦定理得a2=b2+e2be=9由正弦定理得b=asinB，e=asinCsinAsinAa2be-sinBsinC=8sin2A由得b+e応a+b+e=3+<33，即ABC周长为3+点318

17、.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD中，且ZBAP=ZCDP=90。.（1）证明：平面PAB丄平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90。，求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】(1)证明：ZBAP=ZCDP=90° PA丄AB,PD丄CD又：ABCD,PD丄AB又TPDPA=P,PD、PAu平面PAD AB丄平面PAD，又ABu平面PAB平面PAB丄平面PAD(2)取AD中点O,BC中点E，连接PO,OE/AB箜CD四边形ABCD为平行四边形OE箜AB由（1）知，AB丄平面PADOE丄平面PAD，又PO、ADu平面PADOE丄PO,OE丄AD又TPA=

18、PD,PO丄ADPO、OE、AD两两垂直以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz-2,0,0）、B（逅,2,0）、PC,0,©）、CC/2,2,0）,PD=（运,0,-、込）、PB=02,2,-、込）、BC=C'Q,0,0）设PA=2,D设n=（x,y,z）为平面PBC的法向量n-P=°，得n-BC=0令y=1，则z=込，x=0,可得平面PBC的一个法向量n=,1、込）TZAPD=90°,PD丄PA又知AB丄平面PAD,PDu平面PAD PD丄AB，又PAQAB=A PD丄平面PAB即PD是平面PAB的一个法向量PD=(耳2,o，二cos；P

19、D,nPD-n2PDA=肓由图知二面角APBC为钝角，所以它的余弦值为込319.（12分）为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布NC，cn）.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在S-3c,卩+3c）之外的零件数，求P（X上1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在S-3c，卩+3c）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（I）试说明上述监控生产过程方法

20、的合理性：（II）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得xx=9.97，s=丄K（x-X）2=丄Kx216X2=0.212，其中x为i16iV16（i丿ii=1i=1i=1丿抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，16.用样本平均数x作为卩的估计值0，用样本标准差s作为c的估计值cf，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除33&，卩+3&）之外的数据，用剩下的数据估计卩和c（精确到0.01）.附：若随机变量Z服从正

21、态分布NC，c2）,贝yP（卩3c<Z<卩+3c）=0.9974.0.9974160.9592，<0.008沁0.09【解析】(1)由题可知尺寸落在S-3c,卩+3c)之内的概率为0.9974，落在(口3c，卩+3c)之外的概率为0.0026.P(X=0)=C0(10.99740.9974160.959216P(X>1)=1P(X=0)10.9592=0.0408由题可知XB(16，0.0026)E(X)=16x0.0026=0.0416(2)(i)尺寸落在S-3c，卩+3c)之外的概率为0.0026,由正态分布知尺寸落在S-3c，卩+3c)之外为小概率事件，因此上述监

22、控生产过程的方法合理.(ii)p3c=9.973x0.212=9.334卩+3c=9.97+3x0.212=10.606(p3c，p+3c)=(9.334，10.606)9.22笑(9.334,10.606),.需对当天的生产过程检查.因此剔除9.229.97x169.22剔除数据之后：R=15=10.02.b2=(9.9510.02)2+(10.1210.02匕+(9.9610.02匕+(9.9610.02匕+(10.01-10.02)2+(9.9210.02)2+(9.9810.021+(10.0410.02)2+(10.2610.02)2+(9.9110.02)2+(1013-嘶)2MO

23、.02嘶)2+(1004+(1005嘶)2+(9.9510x£0.008b八0.008二0.09x2y2a2b220.(12分)已知椭圆C:+兰=1(a>b>0)，四点P(l,1),P(0,1),P-1,中恰有三点在椭圆C上.(1) 求C的方程；(2) 设直线l不经过P点且与C相交于A、B两点，若直线PA与直线PB的斜率的2和为1，证明：l过定点.【解析】(1)根据椭圆对称性，必过P、P3又P横坐标为1，椭圆必不过P，所以过P，P，P三点34，p(-1，咅代入椭圆方程得2丿41将P(0，1)2丄=1，解得a2=4，b2=1b2Vx2椭圆C的方程为：+y2=1.4(2)当斜

24、率不存在时，设l:x=m,A(m,y1y12k+k=a+a=1P2AP2Bmmm得m=2,此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.当斜率存在时，设l:y=kx+b(b丰1)A(x，y)，B(x，y)1122y=kx+b(，整理得U+4k2)x2+8kbx+4b24=0x2+4y24=08kb4b24x+x，xx=121+4k2121+4k2y1y11+'x1y1，B(m，A联立则k+k=P2AP2Bx(kx+b)x+x(kx+b)x=2+2121xx128kb2-8-8kb2+8kb1+4k24b241+4k28k(b1)_4 (b+1)(b-1)nb=2k1，此时A=64k，存

25、在k使得A>0成立.直线l的方程为y=kx2k1当x=2时，y=1所以l过定点(2,1).21.(12分)已知函数f(x)=ae2x+(a2)exx(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解析】(1)由于f(x)=ae2x+(a2)exx故f'(x)=2ae2x+(a2)ex1=Cex1)(2ex+1) 当a<0时，aex1<0，2ex+1>0.从而广(x)<0恒成立.f(x)在R上单调递减 当a>0时，令广(x)=0，从而aex1=0，得x=lna.x(一8,一lna)lna(-lna,+g)f(x)0+f(x)单调

26、减极小值单调增综上，当a<0时，f(x)在R上单调递减;当a>0时，f(x)在(-8,-lna)上单调递减，在(lna,+x)上单调递增(2)由(1)知，当a<0时，f(x)在R上单调减，故f(x)在R上至多一个零点，不满足条件.当a>0时，f=f(一lna)=1+lna.mina令g(a)=1+lnaa令g(a)=1+lna(a>0)，贝qg'(a)=+丄>0.从而g(a)在(0,+s)上单调aa2a增，而g(1)=0.故当0<a<1时，g(a)<0.当a=1时g(a)=0.当a>1时g(a)>0若a>1，则f=

27、1-+lna=g(a)0，故f(x)>0恒成立，从而f(x)无零点，mina不满足条件若a=1，贝qf=1+lna=0，故f(x)=0仅有一个实根x=lna=0，不满足mina条件.若0<a<1，则f=1丄+lna<0，注意到一lna>0.f(1)=+°+1>0.minae2ee/3i故f(x)在(一1,一lna)上有一个实根，而又ln1>In=-lna.Ia丿a且'ln(3-D=eln；-1；a-eln7-1丿+a2-lnf-1ka丿k丿ka丿f-1(3a+a2)-lnf-1=f-1-lnf-1>0ka丿ka丿ka丿ka丿故f(x)在I-lna,ln-1|上有一个实根.<Ia丿丿又f(x)在(-8,-lna)上单调减，在(-lna,+s)单调增，故f(x)在R上至多两个实根.又f(x)在(-1,-lna)及-lna,ln-1上均至少有一个实数根，故f(x)