2019年天津卷文科数学高考真题

1、1=12019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页，第II卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(AUB)二P(A

2、)+P(B).圆柱的体积公式V=Sh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高.棱锥的体积公式V二1Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)设集合A二1,1,2,3,5,B二2,3,4,C二xeRllx3，则(AflC)UB二A)2B)2，3C)-1，2，3D)1，2，3，4x+y-21,y21,A)2(B)3C)5D)6(3)设xeR，则“0x5”是“lx1l1”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件(4)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为(A)5(

3、B)8(C)24(D)29(5) 已知a二log7,b二log&c二O.3o.2，则a，b，c的大小关系为23(A)cba(B)abc(c)bca(D)ca0,b0)的两条渐近线分别a2b2交于点A和点B且IAB|=41OF1(o为原点)，则双曲线的离心率为(A)运(B)3(C)2(D)(7)已知函数f(x)=Asinx+申)(A0,0,ln)是奇函数，且f(x)的最小正周期为n将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).A)-2(B)72(C)*2D)22/X,(8)已知函数f(x)彳10x1.4则a的取值范围为A)9-4,5-49-4,

4、5-4/Ik)BIfu一-9-45-4/Ik-9-4,5-4一_)DU12019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)第II卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共12小题，共110分。二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9)i是虚数单位，则的值为(10) 设XeR，使不等式3x2+X-20,y0,x+2y=4，则的最小值为.xy(14)在四边形ABCD中，ADBC,AB=2賦AD=5,ZA=30，点E在线段CB的延长线上，且AE=BE，则BD-AE=.三解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15)(本小题满分

5、13分)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(I) 应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(II) 抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A,B,CD,E,F.享受情况如下表，其中“”表示享受，“X”表示不享受现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目、ABCDEF子女教育XX继续教育XXX大病医疗XXXXX住房贷款利息XX住房租金XXXXX赡养老

6、人XXX(i) 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii) 设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.16) (本小题满分13分)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c二2a，3csinB=4asinC.(I) 求cosB的值；(n(II) 求sin2B+三的值.I6丿17) (本小题满分13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，FCD为等边三角形，平面PAC丄平面PCD，PA丄CD,CD=2,AD=3.(II) 求证：PA丄平面PCD；(III) 求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.18) (本小题满分

7、13分)设a是等差数列，b是等比数列，公比大于0已知a二b二3,b二a,b二4a+3.nn112332(I) 求a和b的通项公式；nn1,n为奇数，(II) 设数列c满足c=b,n为偶数.求ac+ac+ac(neN*).nn11222n2nn219) (本小题满分14分)设椭圆乞+L=1(ab0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知31OAI二21OBI(O为a2b2原点).(I) 求椭圆的离心率；3(II) 设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上，且OCAP，求椭圆的方程.20) (本小题满分14分)设函数f(x)二Inx

8、-a(x-1)ex，其中aeR.(I) 若a0讨论/(x)的单调性；1(II) 若0ax0，证明3x0x12.2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考解答一选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.（1）D（2）C（3）B（4）B（5）A（6）D（7）C（8）D二填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.（2（9）J13（10）1,（11）x+2y2=0k3丿兀91（12）（13）（14）142三.解答题（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单

9、实际问题的能力.满分13分.解：（I）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.（口）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F，共15种.（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E,C,F,D,F,E,F，共11种.所以，事件m发生的概率p（M）=15.16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式

10、，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分13分.bc（I）解：在厶ABC中，由正弦定理=得bsinC=csinB，又由3csinB=4asinC，sinBsinC42得3bsinC=4asinC，即3b二4a.又因为b+c二2a，得到b=-a，c=-a.由余弦定理可得416a2+a2一a2厂a2+c2一b2991cosB=2ac242-a_a3(II)解：由(I)可得sinB=11-cos2B=,从而sin2B=2sinBcosB=-487cos2B=cos2B-sin2B二一一，故8sin2B+I6丿153713j5+7=sin2Bcos+cos2B

11、sin=-x一x=6682821617）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础3平面PAD,PDu平面PAD,所以GH平面PAD.（口）证明:取棱PC的中点N,连接DN.依题意，得DNIPC,又因为平面PAC丄平面PCD,平面PACA平面PCD=PC，所以DN丄平面PAC，又PAu平面PAC，故DN丄PA.又已知PA丄CD,CDDN=D，所以PA丄平面PCD.（口）解：连接AN,由（口）中DN丄平面PAC,可知上DAN为直线AD与平面PAC所成的角，因为APCD为等边三角形，CD=2且N为PC的中点，所以DN=、扛.又DN丄AN,在RiAND中，

12、sin上DAN=DN=73AD丁所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（口）解：设等差数列a的公差为dn等比数列b的公比为q.依题意,n3q=3+2d,3q2=15+4d,解得d=3,*故a=3+3(n1)=3n,b=3x3n-1=3n.q=3,nn所以，a的通项公式为a=3n,b的通项公式为b=3n.nnnn(口)解：ac+ac+ac11222n2n=(a+a+a+a)+(ab+ab+ab+ab)1352n12142632nnn(n1)nx3+2x6+(6x3i

13、+12x32+18x33+6nx3“)=3n2+6Gx31+2x32+nx3n).记T=1x31+2x32+nx3n，n贝y3T=1x32+2x33+nx3n+1,n一得，2T=332333n+nx3n+1=n3(13n)+nx3n+1=13(2n1)3n+1+32所以，ac+ac+ac=3n2+6T二11222n2nn=3n2+3x(2n-123n+1+3=(2n1)3n+2+6n2+9(nGN*)19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.满分14分.（口）解：设椭圆的

14、半焦距为c,由已知有V3a=2b,又由a2=b2+c2,消去b得a2=+c2c1解得一=;.a21所以，椭圆的离心率为2.（口）解：由知，a=2c,b=接，故椭圆方程为总+总=1由题意，F（-c,），则直线1x2y24+=1,的方程为y=4(x+c)点P的坐标满足4c233c2消去y并化简，得到7x2+6cx-13c2=0,y=丁(x+c),I413c39解得x=c,x=-.代入到1的方程，解得y=c,y=-c.因为点p在x轴上方，所以12712214(3PC,C.由圆心C在直线x二4上，可设C(4,t).因为OCIIA，且由(口)知A(-2c,0)，故I2丿，解得t=2.因为圆C与x轴相切，

15、所以圆的半径长为2，又由圆C与l相切，得|4(4+c)-2所以，可得c=2.x2y2椭圆的方程为16+巨20)本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.(I)解：由已知，f(x)的定义域为(0,+8)，且1f(x)_-aex+a(x-1)exx1-ax2ex因此当a0，从而f(x)0，所以f(x)在(0,+Q内单调递增.1-ax2ex1(II)证明：(i)由(I)知f(x)_令g(x)_1-ax2ex，由0a0，且(1)(1)21(八2ln_1-aln_-_1-ln_Ia丿Ia丿aIa丿0.故g(x)=0在(0,+8)内有唯一解，从而f(x)=0在(，+8)内有唯一解，不妨设为x0，则1x0D_0，所以f(x)在(0,x)内单调递增；当xe(x,+8)时,0xx00f(x)=空卫1时，h(x)=-11时,xh(x)h(1)=0，所以lnxx1.从而(11r1,111r1)ln=lnln-aelna=lnl