复变函数与积分变换21学习教案

1、会计学1复变函数与积分复变函数与积分(jfn)变换变换21第一页，共56页。第1页/共55页第二页，共56页。第2页/共55页第三页，共56页。设设 z = x+iy, w = u+iv 其确定其确定(qudng)了自变量为了自变量为x和和y的两个二元实变函数的两个二元实变函数 u ,v .例如例如, 考察函数考察函数 w = z2.令令 z = x+iy, w = u+iv , 则则u+iv = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy ,因而函数因而函数 w = z2 对应对应(duyng)于两个二元函数于两个二元函数:u = x2-y2, v = 2xy第3页/共55页第四页，共56页。

2、 在以后的讨论中, E常常是一个平面区域(qy), 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数.二、二、 映射映射(yngsh)的概念的概念 函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集E(定义(dngy)集合)变到 w平面上的一个点集G (函数值集合)的映射(或变换). 如果 E 中的点 z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的点 w, 则 w 称为 z 的象(映象), 而 z 称为 w 的原象.xuEGZzwW=f(z)vyW第4页/共55页第五页，共56页。设函数设函数(hnsh)w = z =x iy ; u=x , v=-yxyOuvOABCz1z2ABCw

3、1w2第5页/共55页第六页，共56页。设函数设函数(hnsh) w = z2 = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 有有 u = x2-y2, v = 2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1第6页/共55页第七页，共56页。则称函数则称函数(映射映射)w=f(z)是一一是一一的的. 此时此时, 我们也称集合我们也称集合E与集与集合合G是一一对应的是一一对应的.第7页/共55页第八页，共56页。2. 复变函数复变函数(hnsh)的极限的极限函数函数(hnsh)的极限定义的极限定义 设函数设函数(hnsh) w = f (z)定义在定义在 z0的去心邻域的去心邻域 0|z-z0|

4、0, 相应地必有一正数相应地必有一正数d (e) (0 d r), 使得当使得当 0 |z-z0|d 时有时有| f (z)-A |e ,则称则称A为为f (z)当当 z趋向于趋向于z0时的极限时的极限, 记作记作或记作当或记作当 zz0 时时 , f (z)A.第8页/共55页第九页，共56页。几何几何(j h)(j h)意意义义: : xyOz0dzOuvAef(z)第9页/共55页第十页，共56页。等价等价(dngji)(dngji)定定义：义： 设设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则则运算运算(yn (yn

5、sun)sun)性质：性质： 第10页/共55页第十一页，共56页。当当 z0 时的极限时的极限(jxin)不存在不存在例例1 证明证明(zhngmng)函函数数证证 令令 z = x + i y, 则则由此得由此得让让 z 沿直线沿直线(zhxin) y = k x 趋于零趋于零, 我们有我们有故极限不存在故极限不存在. 第11页/共55页第十二页，共56页。3. 函数函数(hnsh)的连续性的连续性定义定义2.3 则说 f (z)在 z0 处连续(linx). 如果 f (z) 在区域D内处处连续(linx), 我们说 f (z) 在D内连续(linx).函数函数(hnsh) f (z)

6、= u(x, y) + iv(x, y)在在 z0 = x0 + iy0处连续的充要条件是处连续的充要条件是 u(x, y)和和 v(x, y)在在 (x0, y0)处连续处连续.性质：性质： (1)(1)连续函数的四则运算仍然连续；连续函数的四则运算仍然连续； (2)(2)连续函数的复合函数仍然连续；连续函数的复合函数仍然连续； 第12页/共55页第十三页，共56页。有理分式函数有理分式函数其中其中P(z)和和Q(z)都是多项式都是多项式, 在复平在复平面分母面分母(fnm)不为零的点也是连续不为零的点也是连续的的.第13页/共55页第十四页，共56页。(4)有界闭区域有界闭区域(qy)D上

7、的连续函数必有界上的连续函数必有界例题例题(lt)1 (lt)1 讨论讨论的连续性。的连续性。x002222第14页/共55页第十五页，共56页。第15页/共55页第十六页，共56页。第二章第二章 解析解析(ji x)函数函数2.2 解析函数解析函数(hnsh)的概念的概念1 1 复变函数复变函数(hnsh)(hnsh)的导数的导数 定义：定义：存在存在, 则就说则就说f (z)在在 z0可导可导, 此极限值就称为此极限值就称为f (z)在在 z0 的的导数，记作导数，记作应该注意：上述定义中应该注意：上述定义中 的方式是任意的。的方式是任意的。0z 第16页/共55页第十七页，共56页。如果

8、如果 f (z) 在区域在区域(qy)D内处处可导内处处可导, 就说就说 f (z) 在内可导在内可导.例例1 求求 f (z) = z2 的导数的导数(do sh)。解 因为(yn wi)所以f (z) = 2z .复变函数的导数具有与实函数同样的复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则求导法则 。（即（即f (z) = z2 在复平面处处可导。）在复平面处处可导。）第17页/共55页第十八页，共56页。第18页/共55页第十九页，共56页。例例2 问问 f (z) = x +2yi 是否是否(sh fu)可导可导?解解 这里这里(zhl)所以所以(suy) f (z) = x + 2yi

9、的导数不存在的导数不存在.（即（即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导在整个复平面处处不可导.）第19页/共55页第二十页，共56页。可导可导 连续。连续。第20页/共55页第二十一页，共56页。例例3 讨论讨论(toln)的可导性。的可导性。解：解：所以(suy)在复平面上除原点外处处在复平面上除原点外处处(chch)不不可导。可导。第21页/共55页第二十二页，共56页。2. 解析函数解析函数(hnsh)的的概念概念函数在一点函数在一点(y din)解析解析在该点可导。在该点可导。反之不一定反之不一定(ydng)成立。成立。在区域内：在区域内：例如例如 f (z) =

10、z2 在整个复平面上解析；在整个复平面上解析；仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；f (z) = x +2yi在整个复平面上不解析。在整个复平面上不解析。定义定义2.52.5否则称为奇点否则称为奇点 。第22页/共55页第二十三页，共56页。例例 讨论讨论(toln)函数函数 f (z)=1/z 的解析性的解析性.解：故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处(chch)解析；z = 0 是它的一个(y )奇点。解析函数的性质：解析函数的性质：(1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2) 两个解析函

11、数的复合函数仍为解析函数；两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析； 所所 有解析点的集合必为开集。有解析点的集合必为开集。第23页/共55页第二十四页，共56页。第24页/共55页第二十五页，共56页。问题问题(wnt)：对函数：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，如何如何(rh)判别其解析（可导）性？判别其解析（可导）性？换句话说：换句话说：第25页/共55页第二十六页，共56页。第26页/共55页第二十七页，共56页。例: 设二元函数(hnsh)f(x,y)=x2sin2y

12、, 则第27页/共55页第二十八页，共56页。iv)微分微分(wi fn)的概念的概念 设函数设函数w=f(z)在在z0可导可导, 则有则有 Dw=f(z0+Dz)-f(z0)=f (z0)Dz+r(Dz)Dz,因此因此, |r(Dz)Dz|是是|Dz|的高阶无穷小量的高阶无穷小量, 而而f (z0)Dz是函数是函数w=f(z)的改变量的改变量Dw的线性部分的线性部分, 称为称为(chn wi)函数函数w=f(z)在点在点z0的微分的微分, 记作记作 dw=f (z0)Dz (*)如果函数在如果函数在z0的微分存在的微分存在, 则称函数则称函数f(z)在在z0可微可微.第28页/共55页第二十

13、九页，共56页。 dw=f (z0)Dz(*) 特别(tbi), 当f(z)=z时, 由(*)得dz=Dz. 于是 dw=f (z)dz,即由此可见由此可见, 函数函数w=f(z)在在z0可导与在可导与在z0可微是等可微是等价价(dngji)的的.如果如果f(z)在区域在区域D内处处可微内处处可微, 则称则称f(z)在在D内可微内可微.第29页/共55页第三十页，共56页。2.3 函数(hnsh)可导与解析的充要条件第30页/共55页第三十一页，共56页。 在工程中在工程中, 往往是要用复变函数来解决实际问题往往是要用复变函数来解决实际问题. 而实而实际问题中遇到的复变函数际问题中遇到的复变函

14、数, 通常都是某个实变函数延拓而来通常都是某个实变函数延拓而来的的. 即即, 如果原来有一个实变函数如果原来有一个实变函数f(x), 自变量是实数自变量是实数, 函数值函数值也是实数也是实数, 则将则将x用一个复数代替用一个复数代替, 就产生了一个自变量和函就产生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数数值都是复数的复变函数. 事实上我们只关心这样的复变函数事实上我们只关心这样的复变函数. 比如说：比如说：实变函数实变函数f(x)=x2-x+1, 则相应的延拓的复变函数就是则相应的延拓的复变函数就是f(z)=z2-z+1. 经常经常(jngchng)就是实变函数中的基本初等函数及组就是实变函数中

15、的基本初等函数及组合构成的初等函数延拓到复变函数合构成的初等函数延拓到复变函数.第31页/共55页第三十二页，共56页。 假设f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数, 我们也可以将它看作(kn zu)是变量x,y的二元函数, 则对x求偏导和对y求偏导, 得两个公式第32页/共55页第三十三页，共56页。u(x,y) 与与 v(x,y) 在该点可微在该点可微, 并且并且(bngqi)满足满足柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程。方程。第33页/共55页第三十四页，共56页。定理定理3.8 函数函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定

16、义域在其定义域D内解析的充内解析的充要条件是：要条件是： （1）u(x,y) 与与 v(x,y) 在在D内可微内可微, （2）u(x,y) 与与 v(x,y) 在在D内满足内满足(mnz)Cauchy-Riemann方程方程.定理定理3.7 函数函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域定义在区域D内一点内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是可导的充分必要条件是:（1） u(x,y)与与v(x,y)在点在点(x,y)可微可微, （2）u(x,y)与与v(x,y)在点在点(x,y) 满足满足(mnz)Cauchy-Riemann方程方程 。第34页/共55页第三十五页，共56

17、页。推论推论(tuln(tuln) ) ：例题例题(lt)1 (lt)1 解：解：例题(lt)2 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:第35页/共55页第三十六页，共56页。解： 得 u=x, v=-y, 所以(suy)在复平面在复平面(pngmin)内处处不可导内处处不可导, 处处不解处处不解析；析；2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以(suy)当且仅当当且仅当 x = y = 0时时,因而函数仅在因而函数仅在z = 0可导可导, 但在复平面内任何地方都不解但在复平面内任何地方都不解析析.第36页/共55页第三十七页，共56页。可知

18、柯西-黎曼方程不满足, 所以w=z在复平面(pngmin)内处处不可导, 处处不解析第37页/共55页第三十八页，共56页。第38页/共55页第三十九页，共56页。第39页/共55页第四十页，共56页。第40页/共55页第四十一页，共56页。2.4 初等(chdng)函数3.1 指数函数(zh sh hn sh) 定义(dngy)： 性质： 第41页/共55页第四十二页，共56页。3.2 三角函数(snjihnsh)定义(dngy)： 性质(xngzh)：(1)Euler 公式仍然成立： (2)全平面解析函数，(3)各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外) (4)sin z为奇函数，cos z为偶函数第42页/共55页第四十三页，共56页。例如(lr)(7)定义其他(qt)的三角函数：第43页/共55页第四十四页，共56页。3.3 双曲函数(hnsh)定义(dngy)： （1）全平面(pngmin)解析函数： （2）以2i为基本周期的周期函数：（3）chz为偶函数, shz为奇函数。（4）与三角函数的关系：第44页/共55页第四十五页，共56页。例题(lt)1解方程解：第45页/共55页第四十六页，共56页。3.4 对数函数(du sh hn sh)定义(dngy)： 记： 多值性多值性-主值支主值支例如(lr)：第46页/共55页第四十七页，共56页。性质(xngzh)：(