清华大学微积分高等数学第3讲无穷小量续ppt课件

1、作业作业P43 习题习题 2.3 10. 12(3)(4)(7)(10).P49 习题习题 2.4 9(1)(4)(6). 练习练习P43 习题习题 2.3 4. 5. 8.P49 习题习题 2.4 1. 2. 5.第三讲第三讲 ( (一一) ) 无穷小量无穷小量( (续续) ) ( (二二) )延续函数延续函数一、三个重要关系一、三个重要关系二、无穷小量的比较二、无穷小量的比较三、求极限举例三、求极限举例 四、函数延续性的定义四、函数延续性的定义1.无穷小与无穷大无穷小与无穷大.)(1,)(,是是无无穷穷小小则则在在这这个个变变化化过过程程中中是是无无穷穷大大化化过过程程中中若若在在自自变变

2、量量的的某某一一个个变变xfxf.)(),()()(lim时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中 xxxAxfAxfx 2.极限与无穷小极限与无穷小一、三个重要关系一、三个重要关系3.无穷大与无界函数无穷大与无界函数无无界界。反反之之不不一一定定。则则是是无无穷穷大大化化过过程程中中若若在在自自变变量量的的某某一一个个变变)(,)(,xfxf问题：问题：两个无穷小量的商能否为无穷小量？两个无穷小量的商能否为无穷小量？ xxxxf,sin)(例例二、无穷小量的比较二、无穷小量的比较.)()(,1)()(lim,;)()(, 0)()(lim)1(.)()(,是是等等价价无无穷穷小小与与时时称称当当

3、时时当当特特别别是是同同阶阶无无穷穷小小与与时时则则称称当当若若都都是是无无穷穷小小与与过过程程中中设设在在自自变变量量的的同同一一变变化化xgxfxxgxfxgxfxAxgxfxgxfxx 定义：定义：)()()(xxgxf记记作作).()()(.)()(, 0)()(lim)2( xxgxfxgxfxxgxfx记记作作相相比比是是高高阶阶无无穷穷小小与与时时则则称称当当若若.)()(, 0)()(lim)3(阶无穷小阶无穷小相比是相比是与与时时则称当则称当若若kxgxfxAxgxfkax ).()()()()(,)(, 0)2(00*xxxgOxfMxgxfxNxM 则则记记成成有有时时使

4、使当当若若)()(,)()(lim0 xgOxfAxgxfxx 则则有有若若)()(, 0)()(lim)1(0 xgxfxgxfxx 则则记记若若”“”与与“符符号号O几个常用的等价无穷小量)0(xxxxxaxaxexxxxxxxxxx2111)1ln(ln11arctanarcsintansin 等价无穷小量的性质)(,sin,1)(sinsin,0 xxxxxxxxxx误误差差是是时时当当时时当当例例 )()()()()()()()(,)(),(,xgxgxfxfxgxfxgxfxgxfx 或或则则无无穷穷小小均均为为时时设设当当性质性质1：)()(lim)()(lim)()(lim)(

5、)(lim1111xgxgxgxfxfxfxgxfxxxx 存存在在，且且有有均均为为无无穷穷小小时时若若当当)()(lim),()(),()(,)(),(),(),(,111111xgxfxgxgxfxfxgxfxgxfxx性质性质2：)()(lim)()(lim11xgxfxgxfxx 则则有有等价代换等价代换)()(lim)()(lim1100 xgxfxgxfxx 解解54)12()2(lim)2)(12()2)(2(lim2324lim22222 xxxxxxxxxxxx)232(54)4( ;)232()4( ,22222 xxxxxxx同同阶阶无无穷穷小小是是与与时时当当?232

6、4lim222 xxxx例例1三、求极限举例三、求极限举例?cos1lim20 xxx2222022220)()(sinlim214)()(sin2limxxxxxx 222020sin2limcos1limxxxxxx 21sinlimsinlim21220220 xxxxxx例例2解解)()(cos12同阶xOx )()(cos1高阶xx )(21cos12等价xx 阶无穷小量的是2cos1xx 21cos1lim20 xxx1cos1lim2210 xxxxxxx30sinsintanlim 21lim22210 xxx?sinsintanlim30 xxxx例例3解解xxx20sinc

7、os1lim xxxxcos1sincos1lim20 )(sintan3xOxx 2sintan3xxx )(sintan2xxx 是是 x 的的 3 阶无穷小阶无穷小0limsinsintanlim3030 xxxxxxxxxxxxxsin,tan,0时时当当 讨论：讨论：代数和不能代换！代数和不能代换！?)1ln(lim0 xxx解解xxxxxx100)1ln(lim)1ln(lim 1lnlim)1(lim10 uexeuxx因因为为1)1ln(lim0 xxx所所以以例例4?1lim0 xaxxxexaaxxxx1lim1limln00 axaxxlnlnlim0 ) 0(ln1 x

8、axax)0(1( xxex因为因为解解例例5?tan3)sin23(lim20 xxxxx解解例例6xxxxx20tan3)sin23(lim 23201)sin1(3limxxxxx 2)sin1ln(01lim32xexxx 2320)sin1ln(limxxxx 32sinlim320 xxx?)sin(cos21lim33 xxx,3ux 作作变变换换ux 3 则则0,3,ux时时当当并并且且 解解 )3cos(21cos21ux 又又例例7)sin3sincos3(cos21uu uusin3cos1 3sincos1limsinsin3cos1lim)3sin(cos21lim0

9、03 uuuuuxxuux 从而32cos2sin22sin2lim20 uuuu332cos1lim2sinlim00 uuuu3lim2210 uuu3 或者连连 续续 函函 数数函数延续性的定义函数延续性的定义 函数的延续性描画函数的渐变性态函数的延续性描画函数的渐变性态, ,在通常意义下，对函数延续性有三种在通常意义下，对函数延续性有三种描画：描画： 当自变量有微小变化时，因变量的当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的；变化也是微小的； 自变量的微小变化不会引原因变量的自变量的微小变化不会引原因变量的 跳变；跳变； 延续函数的图形可以一笔画成延续函数的图形可以一笔画成, ,不断

10、开不断开. .2xy xytan 例如：例如：上上连连续续在在),( 上上连连续续在在)2,2( xysin 处处间间断断在在点点0 x 0, 2, 0, 1)(xxxfy xyO12处处间间断断在在点点0 xxyO . 0, 1, 0, 0, 0, 1)(xxxxxxgy处处间间断断在在点点0 x.,;,)()(lim,)(0000000的的一一个个间间断断点点是是函函数数称称处处间间断断在在点点否否则则称称函函数数的的一一个个连连续续点点是是函函数数称称处处连连续续在在点点则则称称函函数数如如果果的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在设设fxxffxxfxfxfxxfxx 定义定义1： 以上

11、描画本质上是赞同的反复以上描画本质上是赞同的反复, ,数学上要确切数学上要确切地描写函数延续性地描写函数延续性, ,必需用极限作定量地描画必需用极限作定量地描画. .一定义一定义缺缺一一不不可可三三个个条条件件处处连连续续蕴蕴涵涵以以下下在在点点函函数数,0 xf留意留意1;)1(0的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在点点 xf以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性.)()lim()(lim000 xfxfxfxxxx .0换换顺顺序序运运算算与与函函数数运运算算可可以以交交处处连连续续意意味味着着极极限限在在点点函函数数xf留意留意2;)(lim

12、)2(0存存在在极极限限xfxx.)()(lim)3(00相相等等与与函函数数值值极极限限xfxfxx;)()()(lim,()(0000处处左左连连续续在在则则称称且且上上有有定定义义在在设设函函数数xxfxfxfxaxfxx 定义定义2：;)()()(lim,),)(0000处处右右连连续续在在则则称称且且上上有有定定义义在在设设函函数数xxfxfxfbxxfxx 函数在一点的单侧延续性函数在一点的单侧延续性),(.),()(,),()()1(baCfbaxfbaxf 记记作作内内连连续续在在开开区区间间则则称称每每一一点点处处都都连连续续的的在在开开区区间间若若函函数数,.,)(,),(

13、)()2(baCfbaxfbabaxf 记记作作上上连连续续在在闭闭区区间间则则称称左左连连续续在在点点右右连连续续且且在在点点内内连连续续在在开开区区间间若若函函数数定义定义3： 函数在区间上的延续性函数在区间上的延续性二延续点的分类二延续点的分类根据延续点的不同情况，可以分为三类：根据延续点的不同情况，可以分为三类：1. 可去型延续点可去型延续点)(,)(lim00 xfxfxx但但是是不不等等于于存存在在 可去型延续不是本质性的延续可去型延续不是本质性的延续,可以重新可以重新定义定义, 使其延续使其延续.)(lim)(00 xfxfxx 令令没有定义没有定义在点在点0sin)( xxxx

14、f例如例如是是可可去去型型间间断断点点故故但但是是01sinlim0 xxxx 0,10,sin)(1xxxxxf若若令令的的一一个个连连续续点点就就成成为为则则)(01xfx 2. 第一类延续点第一类延续点但但是是不不相相等等都都存存在在和和,)(lim)(lim00 xfxfxxxx )(lim)(lim).(0()0(,)(00000 xfxfxfxfxxfxxxx 跃跃度度等等于于处处发发生生跳跳跃跃在在点点函函数数 .0, 1,0, 0,0, 1sgn时时当当时时当当时时当当xxxxy例例 符号函数符号函数 是是第第一一类类间间断断点点0 x至至少少一一个个不不存存在在和和)(lim

15、)(lim00 xfxfxxxx 3. 第二类延续点第二类延续点xy1 是是第第二二类类间间断断点点0 xxy1sin 例例 五、函数延续性的根本性质五、函数延续性的根本性质一延续性定义的等价方式：一延续性定义的等价方式：下下列列命命题题等等价价则则的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在设设,)(0 xxf)()(lim)1(00 xfxfxx )()()()2(0 xxfxf )0)(lim(0 xxx 其其中中)()()(,0)(lim)4(00000 xfxfxfxxxxfx 既既左左连连续续又又右右连连续续在在点点）（03xf)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx 二延续函

16、数的有界性：二延续函数的有界性：)(,000有有界界在在点点简简称称某某邻邻域域上上有有界界的的在在则则连连续续在在点点若若函函数数xfxfxf.)()(),(, 0., 0)(,000000同同号号与与上上使使在在即即的的某某邻邻域域上上保保号号在在点点则则且且连连续续在在点点若若函函数数xfxfxxxfxfxf 三延续函数的保号性：三延续函数的保号性：连连续续也也在在0 )2(xgf 则则连连续续都都在在点点若若,0 xgf连连续续也也在在函函数数对对任任意意常常数数0 ,)1(xgf 连连续续也也在在则则若若00, 0)()3(xgfxg 四延续函数的运算性质：四延续函数的运算性质：.)

17、(),(,)(,)()4(00000连连续续在在则则复复合合函函数数且且连连续续在在连连续续在在若若ttgftgxxxfttgx 六初等函数的延续性六初等函数的延续性 初等函数在其定义区间上是延续的。初等函数在其定义区间上是延续的。 五五 关于反函数的延续性关于反函数的延续性.)(),()(),()(,)(1严严格格单单调调且且连连续续上上也也或或区区间间在在闭闭则则其其反反函函数数单单调调且且连连续续上上严严格格在在闭闭区区间间若若函函数数afbfbfafyfxbaxfy .,21cos)(Znnxxxf 定定义义域域为为离离散散点点是是初初等等函函数数。例例：的的连连续续性性。研研究究函函数数例例nnnnnxxxxxf 2lim)( 解解 的的表表达达式式先先求求)(xf 1, 1, 0, 10, 111lim)(2222xxxxxxxfnnn.,)(,), 1(),1, 0(),0, 1(),1,(所所以以连连续续是是初初等等函函数数上上在在xf 非初等函数延续性问题举例非初等函数延续性问题举例1)(lim, 1)(lim11 xfxfxx1)(lim, 1)(lim11 xfxfxx1)(lim0 xfx可可去去型型间间断断点点0 x间间断断点点1, 0 xx第第一一类类间间断断点点1 x