塑性力学二单元学习教案

1、会计学1塑性力学塑性力学(l xu)二单元二单元第一页，共151页。一、前言(qin yn)二、应力(yngl)分析三、应变(yngbin)张量及其不变量四、屈服条件、屈服曲面五、两种常用的屈服条件七、加载条件八、塑性本构关系六、屈服条件的实验验证第1页/共151页第二页，共151页。5个基本(jbn)假设 一、前言(qin yn)材料是均匀(jnyn)的、连续的。各向均匀的应力状态, 即静水应力状态不影响塑性变形而只产生弹性体积的变化。忽略时间因素对材料变形的影响。（不计蠕变和松弛）稳定材料。均匀应力应变实验的结果，可以用于有应力梯度的情况。第2页/共151页第三页，共151页。二、应力(y

2、ngl)分析1、应力(yngl)张量及其不变量（1）一点应力状态的表示(biosh)方式（2）斜截面上的应力与应力张量的关系（3）主应力及应力张量的不变量2、偏应力张量及其不变量（1）偏应力张量（2）偏应力张量的不变量（3）引入与J2有关的几个定义第3页/共151页第四页，共151页。1、应力(yngl)张量及其不变量应力状态(zhungti)的概念：受力物体内某点处所取无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表明了该点的应力状态(zhungti)。考虑到剪应力互等, 一点的应力状态(zhungti)用六个应力分量来表示。二、应力(yngl)分析xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzz

3、zyzx第4页/共151页第五页，共151页。应力(yngl)张量的概念：0阶张量： 30=11阶张量： 31=32阶张量： 32=93阶张量： 33=27xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义(dngy)的量，叫做二阶张量。根据这一定义(dngy)，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力张量的元素，且由剪应力互等定理知，应力张量应是一个对称的二阶张量，简称为应力张量。第5页/共151页第六页，共151页。（1）一点(y din)应力状态的表示方式一点的应力状态由一个二阶对称

4、的应力张量表示(biosh)，在直角坐标系中由九个应力分量表示(biosh)。 zzzyzxyzyyyxxzxyxxijxyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzxx面的应力(yngl)：xzxyx, y面的应力：yzyxy, z面的应力：zyzxz, 用矩阵形式写成第6页/共151页第七页，共151页。 333231232221131211 zzzyzxyzyyyxxzxyxx zyzzyzyxyxzxyxjiij 工程力学的习惯(xgun)写法弹性力学(l xu)的习惯写法采用张量下标记(bioj)号的应力写法把坐标轴x、y、z分别用x1、x2、x3表示，或简记为xj (j=

5、1,2,3)。应力张量为对称张量，有6个独立分量。第7页/共151页第八页，共151页。（2）斜截面上的应力(yngl)与应力(yngl)张量的关系在xj坐标系中，考虑一个(y )法线为N 的斜平面。N是单位向量，其方向(fngxing)余弦为,321lll则这个面上的应力向量 SN 的三个分量与应力张量 之间的关系ij 1x2x3xONNS 3332321313N3232221212N3132121111NSSSlllllllll 3213332312322211312113N2N1NSSSl ll ll l第8页/共151页第九页，共151页。i）重复出现的下标叫做(jiozu)求和下标，

6、相当于 这称为求和约定；ii）不重复出现的下标 i 叫做(jiozu)自由下标，可取 i =1,2,3 31jjijNiSl l 采用张量下标记号,可简写成第9页/共151页第十页，共151页。（3）主应力(yngl)及应力(yngl)张量的不变量主应力(Principal stress)若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力(yngl) 称为该点一个主应力(yngl) ；0N N 应力(yngl)主向主应力 所在的平面 称为主平面； 主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向； 根据主平面的定义，设 SN 与 N 重合。若 SN 的大小为,则它在各坐标轴上的投影为iNilS =第10页/共151页

7、第十一页，共151页。iNiSl l 33N22N11NSSSllljijNiSl l 3332321313N3232221212N3132121111NSSSlllllllll代入0)-(jijij l l 0)(0)(0)(333232131323222121313212111l-llll-llll-第11页/共151页第十二页，共151页。11ii232221 l l l ll ll ll l即即0ijij 0333231232221131211 即 将这个(zh ge)行列式展开得到由几何(j h)关系可知由于l1、l2、l3不能同时为零。对于(duy)包含这三个未知量的线性齐次方程，

8、若有非零解，则此方程组的系数行列式应当等于零。或 第12页/共151页第十三页，共151页。0JJJ32213 其中(qzhng) ij3332312322211312113kiikkkii2312232121133332222111113313333322322222112112kk3322111J21)()(JJ 第13页/共151页第十四页，共151页。当坐标轴方向改变时,应力张量的分量 均将改变,但主应力的大小不应随坐标轴的选取而改变。因此,方程(fngchng) 的系数的J1、J2、J3值与坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量。ij 应力(yngl)张量的不变量0JJJ3221

9、3 可以证明(zhngmng)方程 有三个实根，即三个主应力0JJJ32213 321, 当用主应力来表示不变量时321313322123211J)(JJ 第14页/共151页第十五页，共151页。应力张量不变量(binling)及其应用应力张量是二阶实对称张量，有3个独立的主不变量(binling)。利用应力张量的3个主不变量(binling)，可以判别应力状态的异同。例：判别以下(yxi)两个应力张量是否表示同一应力状态？ 0000b000a1ij 00002ba2ba02ba2ba2ij第15页/共151页第十六页，共151页。 0000b000a1ij 00000b000aJab)()

10、(21Jba0baJij3231223212113333222211kiikkkii2kk1 00002ba2ba02ba2ba2ij两个应力(yngl)张量表示同一应力(yngl)状态。判别两个应力状态是否相同(xin tn)，可以通过判别对应的三个主应力不变量是否相同(xin tn)实现。第16页/共151页第十七页，共151页。静水“压力(yl)” =332211在静水压力作用下，应力应变间服从弹性规律，且不会屈服、不会产生塑性变形，则应力分量(fn ling)分成两部分。应力(yngl)不产生塑性变形的部分产生塑性变形的部分平均正应力1kk332211mJ3131)(31 2、偏应力张

11、量及其不变量（1）偏应力张量第17页/共151页第十八页，共151页。应力(yngl)张量可作如下分解： m33323123m22211312m11mmm333231232221131211000000用张量符号(fho)表示：ijijmijs mmmijm000000第18页/共151页第十九页，共151页。ij 单位(dnwi)球张量 ji0ji1ij当当当当 100010001ij或ijm 应力球张量使微分单元体三个方向作用相同的正应力，这使单元体发生变形时，只能产生(chnshng)导致体积的均匀膨胀或收缩。因而只能改变单元体体积，而不能改变单元体形状。 其中(qzhng)： mmmi

12、jm000000第19页/共151页第二十页，共151页。ijS应力(yngl)偏张量 m33323123m22211312m11ijS应力偏张量sij将不改变微分单元体的体积(tj)，仅产生形状的畸变。它描述的是实际应力状态与平均应力状态的偏离程度，所以它对描述问题的塑性变形是十分重要的。 第20页/共151页第二十一页，共151页。材料(cilio)进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是由应力偏张量引起的，应力张量的这种分解在塑性力学中有重要意义。zxy xyxz zx zy yz yx xy xyxz zx zy yz yx zmmm-m

13、-m-m=+第21页/共151页第二十二页，共151页。（2）偏应力(yngl)张量的不变量偏应力张量的主轴方向(fngxing)与应力主轴方向(fngxing)一致，而主值（称为主偏应力）为：)3 , 2 , 1j (Smjj m33m22m11SSS 或0JJJ32213 32132322211332212M3213211sssJ)sss (21)ssssss (J03sssJ 应力(yngl)偏张量也有三个不变量第22页/共151页第二十三页，共151页。其中应力偏张量的第二(d r)不变量 今后用得最多。2J 31J)()()(61JSS21)S2S2S2SSS(21J13322123

14、222122132322212ijij2312232122332222112 再介绍它的其他(qt)几个表达式：在后面章节中我们将看到， 在屈服条件中起重要作用。至于 可以注意它有这样的特点：不管 的分量多么大，只要有一个主偏应力为零，就有 。这暗示 在屈服条件中不可能起决定作用。 2J 3J 3J 0J3 ijS第23页/共151页第二十四页，共151页。（3）引入与J2有关的几个(j )定义 2J 213232221221J3 在塑性力学中称为应力强度或等效应力，它代表复杂应力状态折合成单向应力状态的当量应力。注意：这里的“强度”或“等效”都是在 意义下衡量的。 2J 第24页/共151页

15、第二十五页，共151页。等效应力(yngl) 随应力(yngl)状态不同而变化，即 )(155. 111(minmax 等效应力是衡量材料处于弹性状态或塑性状态的重要依据，它反映(fnyng)了各主应力的综合作用。简单(jindn)拉伸时0321 213232221221J3 因因为为 第25页/共151页第二十六页，共151页。等效应(xioyng)力 的特点 ）与空间坐标轴的选取(xunq)无关；）各正应力增加或减少(jinsho)同一数值（也就是叠加一个静水应力状态）时 数值不变，即与应力球张量无关； ） 全反号时 的数值不变。)3 , 2 , 1j (j 第26页/共151页第二十七页

16、，共151页。 ijij2SS21J 可以看出 代表 空间(kngjin)的中的广义距离 ijS 空间(kngjin)ijSijSijS第27页/共151页第二十八页，共151页。000321 213232221261JT 等效(dn xio)剪应力 T 在塑性力学中称为剪应力强度(qingd)或等效剪应力在纯剪时： T八面体上的剪应力等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴(zhzhu)夹角相等。第28页/共151页第二十九页，共151页。1 2 3 设将坐标轴 x、y、z 取与应力主方向一致，则等斜面法线(f xin)的三个方向余弦为3/1321 l ll ll lm32123

17、232222118)(31 l ll ll l)(31)()()(F23222123322221128 l ll ll l21323222128288)()()(31F 第29页/共151页第三十页，共151页。28J32 m8 1J 2J28J32 第30页/共151页第三十一页，共151页。八面体剪应力、等效应力和等效剪应力之间的换算(hun sun)关系 282828J2331J3323J323232这些(zhxi)量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作“等效”（在 意义下等效）的单向应力状态，从而有可能对不同应力状态的“强度”作出定量的描述和比较。 2J第31页/共151页第三十二页

18、，共151页。例:设某点的应力张量为 ，试求其主应力 及主方向，并写出应力偏量，画出应力状态(zhungti)分析简图。 0201020010101030ij321 、解：主应力由下式给出08000600302010201010103023 解三次(sn c)方程得到0)20)(10)(40( 因此(ync)可求得201040332211 8000J600J30J321 第32页/共151页第三十三页，共151页。1232221 l ll ll l401 将求得的代入下式可求得相应于1的主方向(fngxing)余弦为6162 321l ll ll l同理，可求得相应于2的主方向(fngxing

19、)余弦为3131 321l ll ll l同理，可求得相应于3的主方向(fngxing)余弦为210 321l ll ll l0)(0)(0)(313323213132321221213132121111 l-llll-llll-第33页/共151页第三十四页，共151页。又对于(duy)应力张量ij 10)(31zyxm 应力(yngl)偏张量m33323123m22211312m11ij用主应力(yngl)表示的应力(yngl)状态分析图如下：-20104010101030-30=+第34页/共151页第三十五页，共151页。三、应变(yngbin)

20、张量及其不变量1、应变(yngbin)张量2、主应变(yngbin)及应变(yngbin)张量的不变量第35页/共151页第三十六页，共151页。三、应变(yngbin)张量及其不变量设物体内一点(x，y，z)，这一点的三个位移分量是u，v，w 显然它们是x，y，z 的函数(hnsh)。在小变形条件下，应变和位移的关系(几何方程)如下：zuxwywzvxvyuzxyzxy zwyvxuzzyyxx zzzy21zx21yz21yyyx21xz21xy21xx1、应变(yngbin)张量（与应力张量一样，为二阶张量）第36页/共151页第三十七页，共151页。zxyzxy zx21zxyz21y

21、zxy21xy zxyzxy zxyzxy ij zzzy21zx21yz21yyyx21xz21xy21xx zzzyzxyzyyyxxzxyxxjiij333231232221131211 第37页/共151页第三十八页，共151页。)uu(21)xuxu(21uxu1 ,22, 1122112xy1 , 11111xx w, v,uu,z, y, xxii记记以以记记以以jij , ixuu 例例如如公式(gngsh)的张量形式：).uu(21i , jj , iij 第38页/共151页第三十九页，共151页。2、主应变(yngbin)及应变(yngbin)张量的不变量33323123

22、2221131211ij323122321211333322221123213322111III 平均(pngjn)正应变kk332211m31)(31 类似地，应变(yngbin)张量有三个主应变(yngbin)和三个不变量：第39页/共151页第四十页，共151页。,eijijmij 它与弹性的体积改变部分有关只反映变形中形状改变的那部分 m33231323m22121312m11ije mmmijm000000第40页/共151页第四十一页，共151页。 321ij32zx2yz2xy2xxzz2zzyy2yyxx2zx2yz2xy2zz2yy2xx213232221232221ijij

23、23213322111eeeeI)()()(61)e2e2e2eee (21)()()(61)eee (21ee21I0eeeeeeIj je第41页/共151页第四十二页，共151页。4、引入与I2有关的几个(j )定义 92I322132322212 21321 92213232221在简单拉伸时，如果材料(cilio)不可压缩，则第42页/共151页第四十三页，共151页。)()()(32I22132322212 在纯剪时0021231 第43页/共151页第四十四页，共151页。四、屈服条件(tiojin)、屈服曲面1、屈服(qf)条件3、屈服曲面、屈服曲线4、平面上的几何关系第44页

24、/共151页第四十五页，共151页。四、屈服条件(tiojin)、屈服曲面简单应力状态(zhungti)下的屈服极限：s 复杂应力(yngl)状态下，设作用于物体上的外载荷逐步增加，在其变形的初始阶段，每个微元处于弹性阶段。材料初始弹性状态的界限称为初始屈服条件，简称为屈服条件。一般地： 0T, t,ij,ij,ij 受六个应力分量、应变分量、应变速率、时间、温度等因素的综合影响。1、屈服条件第45页/共151页第四十六页，共151页。 0Fij 当不考虑(kol)时间效应且接近常温时，在初始屈服前材料处于弹性状态，应力和应变间有一一对应的关系。几何(j h)意义屈服条件 在以应力分量为坐标的

25、应力空间(kngjin)中为一曲面。称为屈服曲面。屈服曲面是区分弹性和塑性的分界面。 0Fij 当应力点 位于曲面之内，即 时，材料处于弹性阶段。ij 0Fij 当应力点 位于曲面之上，即 时，材料开始屈服，进入塑性状态。ij 0Fij 第46页/共151页第四十七页，共151页。静水应力不影响材料的塑性(sxng)性质。这时，屈服条件只与应力偏量有关：两点假设(jish)材料是初始各向同性的，即屈服条件(tiojin)与坐标的取向无关。可表示为三个主应力的函数：0),( f321 0)J,J,J( f321 也可由应力偏张量的不变量表示：0)J,J( f32 或用应力不变量来表示：0)s ,

26、s ,s ( f321 第47页/共151页第四十八页，共151页。应力(yngl)空间一点的应力张量有九个应力分量(fn ling)，以它们为九个坐标轴就得到假想的九维应力空间。考虑到九个应力分量中只有六个是独立的，所以又可构成一个六维应力空间来描述应力状态。主应力空间第48页/共151页第四十九页，共151页。321, 321, 主应力空间(kngjin)的性质其方程为 显然，L直线上的点代表物体中承受静水应力的点的状态，这样的应力状态将不产生塑性变形。321 直直线线L1 2 3 第49页/共151页第五十页，共151页。 其方程(fngchng)为 由于 平面上任一点的平均正应力为零，

27、所以 平面上的点对应于只有应力偏张量、不引起体积变形的应力状态。 0321 直直线线L平平面面 1 2 3 OPOQONOP 直直线线L平平面面 1 2 3 OPNQ第50页/共151页第五十一页，共151页。kjiOP321 OQON)kSjSiS()kji(OP321mmm 所以向量(xingling) 是在 平面上0321SSSOQOQONOP 直直线线L平平面面 1 2 3 OPNQ第51页/共151页第五十二页，共151页。直直线线L平平面面 1 2 3 OPNQ直直线线L 3、屈服(qf)曲面、屈服(qf)曲线 对应(duyng)于应力状态的球张量部分，即静水压力部分；由于静水应力

28、不影响屈服，即屈服与否与 无关。OQONOP ONON因此当 P 点达到屈服(qf)时， 线上的任一点也都达到屈服(qf)。L 第52页/共151页第五十三页，共151页。123o123()L屈服曲面是一个等截面(jimin)柱面，其母线平行于L直线。并且此柱面垂直于 平面。屈服曲线：屈服曲面与平面相交所得的一条(y tio)封闭曲线，或称屈服轨迹。平平面面 屈服(qf)曲线屈服曲面第53页/共151页第五十四页，共151页。由于材料是初始各向同性的，屈服条件(tiojin)不因坐标变换而变化，因此屈服曲线关于 三轴对称。oAA BB CC AA BB CC 1,321 3 30 20)J,J

29、( f32 屈服曲线(qxin)的方程屈服曲线的主要(zhyo)性质:对于大多数金属材料，初始拉伸和压缩的屈服极限相等，因此屈服曲线关于 三轴的垂线也对称。,321 30第54页/共151页第五十五页，共151页。分别在主应力空间的三根坐标轴上截取长度为1的线段。由于等斜面 与平面(pngmin)平行，所以角为平面(pngmin)与主应力空间的夹角，也即 的夹角。4、平面(pngmin)上的几何关系, 3 , 2 , 1jcosjj 其中(qzhng)：32cos 轴轴轴与轴与jj 321AAA123O等斜面1A2A3A22/3111第55页/共151页第五十六页，共151页。 把S投影到平面

30、上，可得到(d do)其（x,y）坐标为 ：312Oxy0120S在平面(pngmin)上取x、y轴，如图。cos21,cos2311SScos, 02Scos21,cos2333SS则屈服曲线上任一点(y din)S 在平面上的坐标为：)2(61)(2131231ssyx第56页/共151页第五十七页，共151页。 31tan)231(tan)xy(tan322J2)2(61)(21yxr1313121ss1223122312s2s当采用(ciyng)极坐标表示时：三种特殊(tsh)情况单向(dn xin)拉伸030,1 纯剪切00,0 单向压缩030,1 313122 就是Lode应力参数

31、第57页/共151页第五十八页，共151页。 平面(pngmin)的定义。问题(wnt)什么叫屈服(qf)条件？屈服条件 在什么假定下变为 。0)( fij 0)J,J( f32 为什么 平面上的屈服曲线有六条对称轴。 的几何意义是什么？ 应力张量状态的三个不变量的表达方式？偏应力张量状态的三个不变量的表达方式？偏应变张量状态的三个不变量的表达方式？第58页/共151页第五十九页，共151页。五、两种常用(chn yn)的屈服条件1、Tresca屈服(qf)条件(1864年)2、Mises 屈服(qf)条件3、平面上Mises圆同Tresca六边形的几何关系第59页/共151页第六十页，共15

32、1页。五、两种常用的屈服(qf)条件1、Tresca屈服(qf)条件(1864年)基于(jy)实验观测，Tresca假设材料在某处出现屈服是由于该点的最大剪应力达到某一极限值k。131maxk2 当已知 Tresca屈服条件可以表示为123 也就是材料力学的第三强度理论由对称性拓展后，得到平面上的一个正六边形。第60页/共151页第六十一页，共151页。312321123132312231213如不规定(gudng)123 为为中中间间主主应应力力）为为中中间间主主应应力力）为为中中间间主主应应力力）211311323121(k2(k2(k2应应写写为为则则131maxk2 12o123()L

33、3在主应力空间中，它们(t men)构成一母线平行于L直线的正六边形柱面第61页/共151页第六十二页，共151页。第62页/共151页第六十三页，共151页。1112121k2k2k2 12ssss对于平面(pngmin)应力状态，当 时，03 113132121k2k2k2变为即在 平面上，其屈服轨迹(guj)呈斜六边形，这相当于正六边形柱面被 的平面斜截所得的曲线。03 ),(21 式第63页/共151页第六十四页，共151页。常数(chngsh) k1 一般由实验确定：2ks1 ss2 在单向(dn xin)拉伸时：在纯剪切时：比较这二者可知，采用(ciyng)Treca条件就意味着0

34、32s1 131maxk2 02s31 131maxk2 s1k 第64页/共151页第六十五页，共151页。Treca屈服(qf)条件的适用范围1、在主应力方向和大小顺序都已知时，Tresca屈服条件求解问题是比较(bjio)方便的，因为在一定范围内，应力分量之间满足线性关系。2、在主应力方向已知，但其大小(dxio)顺序未知时，不失一般性，屈服条件可写为： 0k4)(k4)(k4)(221322322221 然后可用应力偏张量的不变量的形式写成0k64Jk96)J(k36)J(27)J(46242222332 3、主应力方向未知，很难用表达式描述。Treca屈服条件一般仅适用于主应力方向已

35、知的情况。第65页/共151页第六十六页，共151页。Tresca条件(tiojin)的局限：主应力未知时表达式过于(guy)复杂；未考虑(kol)中间主应力的影响。1913年Mises 指出: Tresca条件在平面上的截迹是一个正六边形,因此不能用一个简单的方程来表示;此外,六角形的六个顶点是由实验得到的,但是连接这六个点的直线却包含了假定(认为中间主应力不影响屈服),这种假定是否合适,需经实验证明。Mises认为：用一个圆来连接这六个点似乎更合理，并且可以避免因曲线不光滑而引起的数学上的困难。 Mises条件在应力空间中的轨迹是外接于Tresca六角柱体的圆柱体。第66页/共151页第六

36、十七页，共151页。第67页/共151页第六十八页，共151页。Mises屈服(qf)条件假定屈服(qf)曲线的一般 表达式具有如下的最简单形式：2、Mises 屈服(qf)条件0)J,J( f32 0KJ)J,J( f22232 CJ2 由屈服曲线上的点在平面(pngmin)上投影可知constk2J2r22 因此，在平面Mises屈服条件可用一个圆来表示。第68页/共151页第六十九页，共151页。第69页/共151页第七十页，共151页。常数 K2 一般由实验(shyn)确定：2222k31JS 222S2kJ ss3 在单向(dn xin)拉伸时：在纯剪切时：比较这二者可知(k zh)

37、，采用Mises条件应有：s231k s2k 032s1 02s31 第70页/共151页第七十一页，共151页。确定常数 K2 以后，Mises屈服(qf)条件可写成以下常用的形式： 2S2132322212 2S2132322216 或在主应力空间中是一个母线平行(pngxng)于L直线的圆柱面。12o123()L3第71页/共151页第七十二页，共151页。 213232221221J3 因因为为 2S2132322212 Mises屈服(qf)准则为：s 即所以，米塞斯屈服准则也可以表述为：在一定的变形条件下，当受力物体内一点的等效应力 达到某一定值时，该点就开始进入塑性(sxng)状

38、态。 第72页/共151页第七十三页，共151页。在 平面(pngmin)上，这是一个椭圆。为主应力空间中的Mises圆柱面被平面(pngmin) 斜截所得。对于平面应力(yngl)状态，当 时，有：2s222121 1 2 s s s s MisesTresca由于(yuy)上式中右端常数由单向拉伸实验确定，所以图中Mises椭圆外接于Tresca斜六边形。 2S2132322212 ),(21 03 第73页/共151页第七十四页，共151页。3、平面上Mises圆同Tresca六边形的几何(j h)关系如果假定在简单拉伸时两种屈服(qf)条件相重合，则Tresca六边形将内接于Mises

39、圆。3 1 2 内接Tresca六边形Mises圆s231k Mises:Tresca:纯剪切时，Tresca六边形同Mises圆之间的相对偏差最大，为%5 .15132 2ks1 12k32k 单向(dn xin)拉伸第74页/共151页第七十五页，共151页。3 1 2 外接Tresca六边形Mises圆如果假定在纯剪切时两种屈服条件相重合(chngh)，则Tresca六边形将外切于Mises圆。Mises:Tresca:纯剪切S2k S1k 12kk 单向(dn xin)拉伸时，Tresca六边形同Mises圆之间的相对偏差最大，为%5 .15132 第75页/共151页第七十六页，共1

40、51页。试判断下图中的主应力状态是弹性(tnxng)状态还是塑性状态。S4 S5 S5 S8 . 0 S8 . 0 S2 . 0 S5 . 0 S5 . 1 S 解：利用(lyng)Mises屈服准则判别：（图1）（图2）（图3）对图1，用 代入得s32S154 2S2132322212 满足Mises屈服条件，所以处于塑性(sxng)状态。第76页/共151页第七十七页，共151页。对图3用S8 . 0 S8 . 0 S2 . 0 S5 . 0 S5 . 1 S （图2）（图3）解：利用Mises屈服(qf)准则判别：对图2用 代入s32S18 . 02 . 0 2S2132322212 满

41、足Mises屈服条件(tiojin)，所以处于塑性状态。解：利用(lyng)Mises屈服准则判别：s3s2S15 . 15 . 0 2S2132322212 不满足Mises屈服条件，所以处于弹性状态。代入第77页/共151页第七十八页，共151页。 27555351051040ij 设某点的应力(yngl)张量为 材料(cilio)的s=25Mpa 求出其主应力及最大切应力；根据(gnj)Tresca屈服条件和Mises屈服条件判断材料处于弹性状态还是塑性状态；画出两种屈服条件在主应力空间的屈服曲面和平面上的屈服曲线；画出平面应力状态下的Tresca屈服准则及Mises屈服准则图形，并进行

42、比较。应用：根据两种屈服准则，由任意应力状态确定材料处于弹性状态还是塑性状态。第78页/共151页第七十九页，共151页。主应力的大小(dxio)为：1 2 3=47.8482 34.0881 20.0637最大切应力为：12 23 31=7.0122 -13.8922 6.8801根据(gnj)Tresca屈服条件和Mises屈服条件判断材料状态结果为：经Tresca屈服条件判断,材料处于塑性阶段经Mises屈服条件判断,材料处于弹性阶段第79页/共151页第八十页，共151页。画出两种屈服条件在主应力空间(kngjin)的屈服曲面和平面上的屈服曲线；其中，图中*表示任意点的应力状态，*若在

43、屈服曲线内则表示材料处于弹性阶段，*若在屈服曲线外则表示材料处于塑性阶段。第80页/共151页第八十一页，共151页。第81页/共151页第八十二页，共151页。画出平面应力状态下的Tresca屈服(qf)准则及Mises屈服(qf)准则图形，并进行比较（如图所示）。第82页/共151页第八十三页，共151页。解 由于壳体几何形状和受力都是对称于球心(qixn), 是球对称问题。这样壳体内剪应力分量必为零，否则就不是球对称了。各点只有正应力分量，并且有00r r qoxyz主应力排序(pi x)为r例：一内半径为a ，外半径为b 的球形壳， 在其内(q ni)表面上作用均匀的压力q 。试写出其

44、屈服条件。第83页/共151页第八十四页，共151页。代入Tresca屈服(qf)条件rsr 2S2132322212 2)(21srmax 发现它们(t men)有一样的屈服条件。代入Mises屈服(qf)条件sr 第84页/共151页第八十五页，共151页。问题(wnt)两种屈服条件的物理(wl)解释。两种屈服条件分别(fnbi)在 平面，主应力空间和对应于 的平面应力状态的图形（画出）。 03 两种屈服条件的函数表示形式（写出具体的表达式）第85页/共151页第八十六页，共151页。六、屈服(qf)条件的实验验证试验(shyn)二、薄圆管受拉力T和扭矩M的作用。试验一、薄圆管受拉力(ll

45、)T和内压 p 的作用。Tresca屈服条件与Mises屈服条件的适用范围：第86页/共151页第八十七页，共151页。六、屈服条件(tiojin)的实验验证试验一、薄圆管受拉力(ll)T和内压 p 的作用。TTp设圆管的平均半径为R，壁厚为h，h R，在拉力T和内压 p 的作用下，圆管近似地处于(chy)均匀应力状态。在柱坐标中其应力分量为0Rh2ThRprz Z Z 第87页/共151页第八十八页，共151页。由此求得Lode应力(yngl)参数为 1pRT2231312 时时当当0T )30(10 单向(dn xin)拉伸时时当当pRT2 )0(0 纯剪切02h2pRhpRrz 此时(c

46、 sh)：h2pR0h2pRrz 0r3z21 rz 如果则可取减去静水应力 后：h2pR第88页/共151页第八十九页，共151页。时时当当pR2T2 )30(10 在 的范围内改变拉力T和内压p的比值时，就可以得到 范围内的任意(rny)应力状态。pR2T02 )3030(1100 Lode（1925）拉伸(l shn)内压试验：313122 )(21)(2131323121 代入Mises屈服(qf)条件 2S2132322212 2S3132 得到：321 设设第89页/共151页第九十页，共151页。为了(wi le)使两种屈服条件便了比较，可以将它们改写成统一的形式。在主应力大小次

47、序 已知时，屈雷斯加屈服条件可写成： 2ks1 在单向(dn xin)拉伸时：032s1 131maxk2 123s31131s第90页/共151页第九十一页，共151页。 铁S31 -1101Mises屈服(qf)条件对于(duy)Tresca屈服条件131STresca屈服(qf)条件 铜 镍Lode用铁、铜、镍等金属薄管做出的实验结果，同Mises屈服条件曲线比较接近。可见，Mises屈服条件更适合于金属材料。2S3132 对于Mises屈服条件第91页/共151页第九十二页，共151页。试验二、薄圆管受拉力(ll)T和扭矩M的作用。TTMMhR2MRh2T2zz 相应(xingyng)

48、的主应力042120042122Z2ZZ3r22Z2ZZ1 z z z z 第92页/共151页第九十三页，共151页。因而(yn r)Lode应力参数是22231312RM4TT2 ,0T0M时时当当 )30(10 单向(dn xin)拉伸)0(0 纯剪切,0M0T时时当当 只要P0，改变T与M的比值(bzh)，便可得到 的任意应力状态。01 第93页/共151页第九十四页，共151页。TaylorQuinney(1931)试验(shyn)：对于(duy)Tresca屈服条件24212S2Z2z31max 改写(gixi)成：142sZ2sZ 对于Mises屈服条件2S2Z2Z231)62(

49、61J 132sZ2sZ 改写成：第94页/共151页第九十五页，共151页。 软钢10Mises屈服(qf)条件Tresca屈服(qf)条件 铜 铝SZ SZ 在图上都是椭圆，但长短轴的比值不同。Taylor和Quinney用钢、铜、铝薄管进行了试验，结果也同Mises屈服条件(tiojin)比较接近。142sZ2sZ 132sZ2sZ 第95页/共151页第九十六页，共151页。Tresca屈服(qf)条件与Mises屈服(qf)条件的适用范围：1、实验表明，多数(dush)金属材料的屈服性态接近Mises屈服条件。从物理意义上，这两种屈服条件都表明，材料的屈服与剪应力有密切关系； Tre

50、sca屈服条件表明材料的屈服与最大剪应力有关，但它没有考虑中间(zhngjin)主应力对材料屈服的影响，然而实验表明这种影响确实是存在的。 Mises屈服条件表明材料的屈服与均方根剪应力有关，从而考虑到中间(zhngjin)主应力对材料屈服的影响。在这一点上，应该说Mises屈服条件更为合理些。第96页/共151页第九十七页，共151页。2、在应用上 主应力方向(fngxing)已知时用Tresca条件较方便。 主应力方向(fngxing)未知时用Mises条件较方便。而无论何种情形(qng xing)，二者的相对偏差不会超过15.5%。3 1 2 外接Tresca六边形Mises圆纯剪切3

51、1 2 内接Tresca六边形Mises圆单向(dn xin)拉伸第97页/共151页第九十八页，共151页。Tresca屈服条件在偏量平面(pngmin)上的轨迹是正六边形， Mises屈服条件的轨迹是正六边形的外接圆。在六个顶点处两个轨迹重合，这意味着在广义单向应状态情况下，两种屈服条件是一致的。3 1 2 内接Tresca六边形Mises圆单向(dn xin)拉伸除六个顶点外，两种屈服(qf)条件都不一致，外接圆在正六边形之外，表明按Mises屈服(qf)条件，需要更大的应力才能使材料屈服(qf)。由此可见，两者差别最大的有六个点，这六个点对应的是广义纯剪切应力状态。第98页/共151页

52、第九十九页，共151页。Tresca屈服(qf)条件可表示成主应力的线性函数，在主应力大小次序已经确定的情况下使用是很方便的，因为它的数学表达式简单。所以，究竟采用那一种屈服(qf)条件，要视具体情况而定。此外，按照Tresca屈服(qf)条件，要求材料的拉伸和剪切屈服(qf)极限之间存在关系s=2s；而按照Mises屈服(qf)条件要求材料的s= s。因此，由材料的s和s值；也可判断采用哪种屈服(qf)条件更为合适。3在材料力学中， Tresca屈服条件和密席斯屈服条件作为强度理论(lln)使用时，分别称为第三和第四强度理论(lln)。3、在实际问题中，并不限制使用(shyng)何种屈服条件

53、，二者都可用。第99页/共151页第一百页，共151页。问题(wnt)为什么实验(shyn)用薄壁结构，能否改用厚壁。两种实验结果(ji gu)结论。判断某物体材料适用Tresca屈服条件还是Mises屈服条件，最简单的办法是什么？第100页/共151页第一百零一页，共151页。例：一两端封闭的薄壁圆筒，半径(bnjng)为r，壁厚为t，受内压力p的作用，试求此圆筒内壁开始屈服及整个壁厚进入屈服时的内压力p(设材料单向拉伸时的屈服应力为s) 解：先求应力分量，在筒壁选取(xunq)一单元体，采用圆柱坐标，单元体上的应力分量如图所示。根据平衡条件可求得应力(yngl)分量为：t2prrt2rpt

54、pr2z 第101页/共151页第一百零二页，共151页。r 沿壁厚为线性分布(fnb)，内表面 ，在外表面pr 0r 圆筒的内表面首先产生屈服，然后向外层扩展，当外表面产生屈服时，整个(zhngg)圆筒就开始塑性变形。1）在外表面(biomin)0t2prtprr3z21 2S2132322212 由Mises屈服准则：srt32p 可求得：由Tresca屈服准则：s31可求得：srtp 第102页/共151页第一百零三页，共151页。2）在内表面(biomin)pt2prtprr3z21 2S2132322212 由Mises屈服(qf)准则：s22t4rt6r3t2p 可求得：由Tres

55、ca屈服(qf)准则：s31可求得：strtp 第103页/共151页第一百零四页，共151页。2.一薄壁圆管，平均半径R=50mm，壁厚t=3mm， s=390MPa ,承受拉力F和扭矩T的作用，在加载过程中保持/=1，试求此圆管开始屈服(qf)时的F和T的值。（按两种屈服(qf)准则分别计算）1.设某点的应力张量为 ，该物体的材料在单向拉伸时的屈服点为 ，试用Mises和Tresca准则(zhnz)来判断改点是处于弹性状态，还是处于塑性状态。MPa300000200000100ij MPa190s 第104页/共151页第一百零五页，共151页。七、加载条件(tiojin)1、等向强化（各

56、向同性( xin tn xn)强化）模型2、随动强化(qinghu)模型3、组合强化模型第105页/共151页第一百零六页，共151页。七、加载条件(tiojin)S p e o理想(lxing)塑性材料:（初始）屈服曲面是固定不变的，是材料未经受任何塑性变形时的弹性响应的界限。应力状态不能落在屈服曲面之外。理想塑性材料由于(yuy)屈服极限不能再增加，因而屈服面也不能继续扩展。第106页/共151页第一百零七页，共151页。强化(qinghu)材料：对于强化(qinghu)材料，由于应力达到屈服极限后仍能继续增长，因此屈服面仍能继续变化，其屈服面称为后继屈服曲面，或加载曲面。S * p e

57、o第107页/共151页第一百零八页，共151页。以参数 来刻划(k hu)材料的塑性加载历史，则后继屈服条件可表示为：后继屈服条件与材料(cilio)塑性变形的历史有关。0),( fij )n, 2 , 1( 实际材料的加载曲面(qmin)的演化规律非常复杂，在应用中使用简化模型。1、等向强化（各向同性强化）模型认为后继屈服曲面（加载曲面）就是屈服曲面在应力空间的相似扩大。等向强化模型的表达式可写成：0)(K)( fij 第108页/共151页第一百零九页，共151页。其中f 是初始屈服函数(hnsh)， 是 的单调递增函数(hnsh)。在加载过程中 逐渐加大。从几何上看，后继屈服曲面（加载

58、面）与初始屈服曲面形状相似，中心位置也不变。)(K )(K 后继屈服(qf)曲面对加载历史的依赖性只表现在：后继屈服(qf)曲面仅由加载路径中所曾达到的最大应力点所决定。如右图所示Mises初始屈服(qf)面及其后继屈服(qf)面。屈服面加载面A加载面B1230)(K)( fij 第109页/共151页第一百一十页，共151页。2、随动强化(qinghu)模型等向强化模型未考虑包氏效应，在分析应力作反复变化的问题时，往往(wngwng)误差较大。随动强化模型(mxng)认为：后继屈服曲面就是初始屈服曲面随着塑性变形的过程而在应力空间作刚性移动，而其大小和形状都没有改变。3 1 2 初始屈服面随

59、动强化随动强化模型的表达式可写成：0)( fijij 第110页/共151页第一百一十一页，共151页。3、组合(zh)强化模型0)(K)( fijij 将等向强化模型同随动强化模型结合起来，就构成更一般(ybn)的组合强化模型。组合(zh)强化模型的表达式可写成：具体到平面上考察Mises屈服圆，那么在加载过程中后继屈服曲线始终是一个圆，但其半径和圆心位置都不断发生变化。3 1 2 组合强化初始屈服面随动强化第111页/共151页第一百一十二页，共151页。3 1 2 等向强化组合(zh)强化初始(ch sh)屈服面随动强化(qinghu)第112页/共151页第一百一十三页，共151页。问

60、题(wnt)何为加载条件？什么(shn me)叫后继屈服面？两种模型在Mises屈服条件下对应于平面(pngmin)上的图形表示。第113页/共151页第一百一十四页，共151页。八、塑性(sxng)本构关系1、广义Hooke定律(dngl)、弹性应变能2、Drucker公设(gngsh)3、加载、卸载准则4、理想塑性材料的增量本构关系5、简单加载时的全量理论第114页/共151页第一百一十五页，共151页。八、塑性(sxng)本构关系1、广义Hooke定律(dngl)、弹性应变能 G)(E1G)(E1G)(E1xyxyyxzzzxzxxzyyyzyzzyxx直角坐标(zh jio zu bi