多元函数的极值ppt课件学习教案

1、会计学1多元函数多元函数(hnsh)的极值的极值ppt课件课件第一页，共57页。的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 播放(b fn)第1页/共56页第二页，共57页。1、二元函数(hnsh)极值的定义极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值. . 极大值点、极小值点统称为极大值点、极小值点统称为极值点极值点. . 若若 ),(),(00yxfyxf ， 则则称称),(00yxf为为极极小小值值，),(00yx为为极极小小值值点点. . 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，对对于于该该邻邻域域内内异异于于),(00yx的的

2、点点),(yx： 若若 ),(),(00yxfyxf ， 则则称称),(00yxf为为极极大大值值，),(00yx为为极极大大值值点点； 第2页/共56页第三页，共57页。例1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 第3页/共56页第四页，共57页。定理定理 1 1（必要条件必要条件） 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且在具有偏导数，且在点点),(00yx处处有极值有极值，则它在该点的偏导数必然为，则它在该点的偏导数必然为零：零：

3、2、多元(du yun)函数取得极值的必要条件不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,证故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值, 0),(00 yxfx0),(00 yxfy第4页/共56页第五页，共57页。必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.xyzo ),(000yxPxyzo ),(000yx

4、P.),(,(),(),(0000000平面平面切平面平行于切平面平行于处的处的时，对应图形上的点时，对应图形上的点取极值取极值可微且在可微且在当函数当函数xoyyxfyxMyxPyxfz 第5页/共56页第六页，共57页。 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为(chn wi)函数的驻点（或者临界点）.驻点极值点注意：且偏导存在., , 0),(; 0),(000000）是驻点）是驻点的点（的点（即满足方程组即满足方程组yxyxfyxfyx .)0 , 0()0 , 0(, 0)0 , 0(, 0)0 , 0()0 , 0(22不是极值点不是极值点是驻点，但是驻点，但点点处偏导数

5、处偏导数在在例如：函数例如：函数 yxffyxz , 0; 0),(),(0000yxyxyzxz即即第6页/共56页第七页，共57页。.)0 , 0()0 , 0(22不是驻点不是驻点数不存在，数不存在，处有极大值但在偏导处有极大值但在偏导在在例如：函数例如：函数yxz 0, zuyuxu即即梯度向量可表示为：取得极值的必要条件用在点一般地，多元函数0Pf 0d0 Pfgra第7页/共56页第八页，共57页。定定理理 2 2（充充分分条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数， 则则),(yxf在在点

6、点),(00yx处处是是否否取取得得极极值值的的条条件件如如下下： （1 1）02 BAC时时具具有有极极值值， 当当0 A时时有有极极大大值值， 当当0 A时时有有极极小小值值； （2 2）02 BAC时时没没有有极极值值； （3 3）02 BAC时时可可能能有有极极值值, ,也也可可能能没没有有极极值值，还还需需另另作作讨讨论论 , 0),( , 0),( 0000 yxfyxfyx又又,),( ,),( ,),( 000000CyxfByxfAyxfyyxyxx 令令第8页/共56页第九页，共57页。求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组

7、组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点及不可导点及不可导点. 第第二二步步 对对于于每每一一个个极极值值可可疑疑点点),(00yx， 进一步判定进一步判定.对驻点对驻点,求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A，B，C. 第第三三步步 对对二二阶阶偏偏导导存存在在的的驻驻点点，定定出出2BAC 的的符符 号号，再再判判定定是是否否取取得得极极值值，取取得得极极值值时时，是是极极 大大值值还还是是极极小小值值. 极值可疑点 注： 对一阶或二阶偏导不存在的极值可疑点，按 极值定义(dngy)判定之.第9页/共56页第十页，共57页。., 求极值设函数例yxy

8、xyxz2122 ),0 , 1(, 012),(, 022),(, 12),(, 22),(求出驻点求出驻点组成方程组组成方程组解：解： yxyxfyxyxfyxyxfyxyxfyxyx, 2 , 1 , 2 yyxyxxfff , 02, 03122212)0 , 1(22 ABACCBA又因又因，处，处，在驻点在驻点. 10120011)0 , 1()0 , 1(22 ff处取极小值：处取极小值：在在函数函数第10页/共56页第十一页，共57页。.的极值求函例 xyxyxz93322233).2 , 3(),0 , 3(),2 , 1(),0 , 1(, 063),(, 0963),(,

9、63),(, 963),(2222 求出驻点求出驻点组成方程组组成方程组解：解：yyyxfxxyxfyyyxfxxyxfyxyx. 66 , 0 , 66 yffxfyyxyxx; 5)0 , 1()0 , 1(0120612)0 , 1(2 ffABAC处有极小值：处有极小值：在在所以函数所以函数，又因又因，处，处，在驻点在驻点第11页/共56页第十二页，共57页。 .31)2 , 3()2 , 3(0120612)2 , 3(2 ffABAC处有极大值：处有极大值：在在所以函数所以函数，又因又因，处，处，在驻点在驻点 .)2 , 1(0612)2 , 1(2不是极值不是极值所以所以，处，处

10、，在驻点在驻点fBAC ;)0 , 3(0612)0 , 3(2不是极值不是极值所以所以，处，处，在驻点在驻点 fBAC第12页/共56页第十三页，共57页。例例 3 3 求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z 确定的函数确定的函数),(yxfz 的极值的极值. 驻驻点点为为)1, 1( P,将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件 知知, )0, 0( yxzz第13页/共56页第十四页，共57页。,21|, 0|,21

11、|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB,函函数数在在P有有极极值值.将将)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 A,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所所以以6)1, 1( fz为为极极大大值值.第14页/共56页第十五页，共57页。例4 讨论(toln)函数及是否(sh fu)取得极值.解: 显然(xinrn) (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值

12、.正负033yxz222)(yxz在点(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz第15页/共56页第十六页，共57页。求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点及不可导点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互(xingh)比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们(w men)可以利用多元函数的极值来求多元函数的最大值和最小值.第16页/共56页第十七页，共57页。例例 5 5 求二元函求二元函)4(),(2yxyxyxfz 在直线在直线6 yx，x 轴和轴和 y 轴所围成的闭区域轴所

13、围成的闭区域D上的最大值与最小值上的最大值与最小值. 解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxDD如图,第17页/共56页第十八页，共57页。解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得区域得区域D内唯一驻点内唯一驻点)1 , 2(, 且且4)1 , 2( f, 再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值， 在在边边界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 第18页/共56页第十九页，共57页。在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4,

14、021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比较后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值,64)2 , 4( f为最小值为最小值.xyo6 yxD第19页/共56页第二十页，共57页。例例 6 6 求求122 yxyxz的最大值和最小值的最大值和最小值. , 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,解由第20页/共56页第二十一页，共57页。即即充充分分远远处处的的值值为为零零. ,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，

15、最小值为，最小值为21 .因为因为01lim22 yxyxyx无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外(niwi)，并无其他条件.第21页/共56页第二十二页，共57页。例7 用一块(y kui)面积为 12 平方米的铁皮制作一个无盖的长方体形状的水柜,问其长、宽、高各为多少时可使水柜的容积最大? 解：设水柜(shu u)的长、宽、高分别为x，y，z，则 xyz,1222 xyyzxzxyzV,)(2)12(,)(212yxxyxyVyxxyz ; 0)(2)212(; 0)(2)212(222222yxyxyxyVyxxxyyxV第22页/共56页第二十三页，共57页。因此，长、宽、高分别(

16、fnbi)为2,2,1时容积最大，最大容积为4。 ; 0212; 0212, 0, 022yxyxxyyx .0, 0),(因为函数只有一个驻点因为函数只有一个驻点内部取得，又内部取得，又并且在区域并且在区域，容积的最大值一定存在容积的最大值一定存在根据实际问题的意义，根据实际问题的意义， yxyxD, 1, 2 zyx. 1)22(22212 z),2 , 2(, 0312,2驻点驻点 xyx条件极值：对自变量除定义域限制(xinzh)外,还有其它条件(tiojin)限制第23页/共56页第二十四页，共57页。实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购

17、买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果xyyxyxUlnln),( 问题的实质：求 在条件 下的极值点yxyxUlnln),( 200108 yx第24页/共56页第二十五页，共57页。一般地，求函数 (目标函数),在条件 (约束条件) 下的极值问题称为条件极值问题.0 0) ), ,( ( yx) ), ,( (yxfz 条件极值：对自变量除定义域限制(xinzh)外,还有其它条件(tiojin)限制条件极值的求法: 方法(fngf)1 代入法.求一元函数的无条件极值问题例:转化,0),(下在条件yx的极值求函数

18、),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz第25页/共56页第二十六页，共57页。,0),(下在条件yx方法(fngf)2 拉格朗日乘数法.如方法(fngf)1 所述 ,则问题(wnt)等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有第26页/共56页第二十七页，共57页。引入辅助(fzh)函数辅助(fzh)函数L称为拉格朗日函数, 0 xxxfL0yyyfL0),(yxL极值(j zh)点必满足0 xxf0yyf0)

19、,(yx则极值点满足:),(),(),(yxyxfyxL拉格朗日乘数法 实数 称为拉格朗日乘数.第27页/共56页第二十八页，共57页。.,还还是是极极小小值值值值题题的的意意义义判判定定出出是是极极大大极极值值点点，再再根根据据实实际际问问驻驻点点就就是是可可能能的的）解解出出再再求求其其驻驻点点（有有时时不不必必，先先构构造造拉拉格格朗朗日日函函数数在在实实际际计计算算条条件件极极值值时时 0 xxxfL0yyyfL0),(yxL则极值(j zh)点满足:),(),(),(yxyxfyxL第28页/共56页第二十九页，共57页。拉格朗日乘数(chn sh)法可推广到多个自变量和多个约束条件

20、的情形. 设解方程组可得到(d do)条件极值的可疑点 . 例如, 求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(zyxzyxzyxfL21021xxxxfL021yyyyfL021zzzzfL01),(zyxL01),(zyxL推广(tugung):第29页/共56页第三十页，共57页。例8 求函数f(x,y)=x2 +2y2在条件(tiojin)x2 +y2 =1下的最值.)( 1)0 , 1()0 , 1()(2)1, 0()1 , 0().0 , 1(),0 , 1(, 1, 0,1 );1(0,(0,1), 1, 2,0最最小小值值最最大大值

21、值计计算算时时时时 ffffxyyx 解)1(22222 yxyxL 拉拉格格朗朗日日函函数数设设 010)2(0240)1(022 22yxyyyLxxxLyx 建建立立方方程程组组第30页/共56页第三十一页，共57页。目标(mbio)函数：约束条件：x2 +y2 =1222),(yxyxfz 第31页/共56页第三十二页，共57页。例9 求椭圆(tuyun)抛物面 z=x2 +2y2 与平面 3x+6y+2z=27 的交线上与xOy平面的最短的距离. 027290272633 02022064 032222zxzyxxzzyxzLyLyxxLzyx ),27,3,3( ,427,23,2

22、3 ）解解得得（.427最最短短距距离离为为解)27263()2(222 zyxzyxzL 第32页/共56页第三十三页，共57页。例例 1010 将正数将正数 12 分成三个正数分成三个正数zyx,之和之和 使得使得zyxu23 为最大为最大. 解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxL , 120020323322zyxyxLyzxLzyxLzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则故最大值为故最大值为第33页/共56页第三十四页，共57页。才才能能使使表表面面积积最最小小？如如何何设设计计水水池池的的尺尺寸寸，该该的的无无盖盖长长方方体

23、体水水池池，应应例例：要要造造一一个个容容积积为为0V,1x,y,z高分别为高分别为：设长方体的长、宽、：设长方体的长、宽、解法解法 , 02; 022020 yVxySxVyxS令令,2 ,2 2020yVxySxVyxS yVxVxyyxS0022),( xyVxxyVyxyxzyzxyyxS002222),( , , 00 xyVzVxyz 则则xyz表面积表面积第34页/共56页第三十五页，共57页。.221,2,2303030时表面积最小时表面积最小高为高为宽为宽为当长为当长为VVV,在在表表面面积积的的最最小小值值一一定定存存.221 300VxyVz ,2,23030VyVx 解

24、得解得 .4; 1;4302223022 yVySyxSxVxS 02242,200303022 VVVVxSA, 12 yxSB , 02242,200303022 VVVVySC, 01222 BAC,2,23030VyVx 第35页/共56页第三十六页，共57页。：解法解法2, ,22),(0VxyzxzyzxyyxS 限制条件限制条件构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数：)(22)(0Vxyzxzyzxyx,y,z,L ,22,(2)(1)yxxyzxzy 得得、由由,2,222,(3)(2)zyyzyxzx 得得、由由,221,2(4)3030VzVyx 得得代入代入 (4) ;0(3

25、) ;22(2) ;2(1) ;20VxyzLxyyxzLxzzxyLyzzyxL .221,2,2303030时表面积最小时表面积最小高为高为宽为宽为当长为当长为VVV表面积表面积第36页/共56页第三十七页，共57页。例例 1 11 1 在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面 1222222 czbyax的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标体体积最小，求切点坐标. 解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ， 202|byFPy ，

26、202|czFPz 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为第37页/共56页第三十八页，共57页。 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所围四面体的体积所围四面体的体积 000222661zyxcbaxyzV , 第38页/共56页第三十九页，共57页。在在条条件件1220220220 czbyax下下求求 的的最最小小值值,0002226zyxcbaV .1000220220220的最大值的最大值下求下

27、求等价于在条件等价于在条件zyxuczbyax 2202202200001),(czbyaxzyxzyxL 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数 (4) , 01 (3) ;02 (2) ;02 (1) ;02220220220200020002000czbyaxLbzyxzLbyzxyLaxzyxL 第39页/共56页第四十页，共57页。当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min .可得30ax 30by ，30cz (4) , 01 (3) ;02 (2) ;02 (1) ;02220220220200020002000czbyaxLb

28、zyxzLbyzxyLaxzyxL 13222321220220220220220220220000000axczbyaxczbyaxzyxzyx,)(;)(;)( 第40页/共56页第四十一页，共57页。令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxL 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax , ,010, 0, 0220220220000 cybyaxLLLzyx 由1220220220 czbyax 000222min661zyxcbaxyzV 取极值的点相同）取极值的点相同）取极值的点与使取极值的点与使（使（使)ln(000zyxuV 第41页/共56页

29、第四十二页，共57页。多元(du yun)函数的极值求条件极值的拉格朗日乘数(chn sh)法（取得无条件极值的必要条件(b yo tio jin)、充分条件）多元函数的最值思考题 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点点均均取取得得极极值值， 则则),(yxf在在点点),(00yx是是否否也也取取得得极极值值？第42页/共56页第四十三页，共57页。思考题解答(jid)不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,当当0 x时时，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取极极大大值值;当当0 y时，时，2)0 ,(xxf 在在)0 , 0(取极小值取极小值;但但22),(yx

30、yxf 在在)0 , 0(不取极值不取极值.第43页/共56页第四十四页，共57页。一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数)4)(6(),(22yyxxyxf 在在_点取点取得极得极_值为值为_._.2 2、 函数函数xyz 在附加条件在附加条件1 yx下的极下的极_值值为为_._.3 3、 方程方程02642222 zyxzyx所确定的所确定的函数函数),(yxfz 的极大值是的极大值是_,_,极小值极小值是是_._.二二、 在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 点点 , , 使使 它它 到到0, 0 yx及及0162 yx三三直直线线的的距距离离平平方方之之和和为为最最小小. .三三、 求求内内接接于于半半径径为为a的的球球且且有有最最大大体体积积的的长长方方体体. .第44页/共56页第四十五页，共57页。四、四、 在第一卦限内作球面在第一卦限内作球面1222 zyx的切平面的切平面, ,使使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小, ,求求切点的坐标切点的坐标. .第45页/共56页第四十六页，共57页。一一、1 1、( (3 3, ,2 2) ), ,大大, ,3 36 6； 2 2、大大, ,41； 3 3、7 7, ,- -1 1. .二二、)516,5