轮换对称式与多项式及应用(初中数学竞赛)

1、合肥市第三十八中学合肥市第三十八中学 赵月和赵月和一一.定义定义在含有多个变量的代数式在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量中，如果变量x,y,z任意交换两个后，代数式的值不变，则任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为称这个代数式为绝对对称式绝对对称式，简称，简称对称式对称式.例如：代数式例如：代数式x+y，xy，x3+y3+z33xyz,x5+y5+xy, 都是对称式都是对称式.yx11其中其中x+y和和xy叫做含两个变量的基本对称式叫做含两个变量的基本对称式.如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式不变，这种多项式

2、叫对称多项式。不变，这种多项式叫对称多项式。如是一个二元对称式如是一个二元对称式222()2abaabb (x-1)(y-1)= xy-(x+y)+1(x+1)(y+1)= xy+(x+y)+1例题例题 求方程求方程x+y=xy的整数解。的整数解。解：解： x+y=xy (x-1)(y-1)=1.解之，得解之，得 x-1=1,y-1=1; 或或 x-1=-1, y-1=-1. x=2 y=2或或 x=0 y=0分析分析 这是一道求不定方程解的题目，当然这是一道求不定方程解的题目，当然x与与y交换位置后，原等式不变，可考虑移项分交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。解因式。 关于关于x、y

3、、z 三个变量的多项式，如果对式子三个变量的多项式，如果对式子中变量按某种次序轮换后（例如把中变量按某种次序轮换后（例如把x 换成换成 y , 把把y换成换成 z , 把把z 换成换成 x），所得的式子仍和原式），所得的式子仍和原式相同，则称这个多项式是关于相同，则称这个多项式是关于x、y、z的的 轮换对称式轮换对称式.简称简称轮换式轮换式. 例如：代数式例如：代数式 a2(bc)+b2(ca)+c2(ab), 2x2y+2y2z+2z2x, , （xy+yz+zx） ， .都是轮换式都是轮换式.abccba1111111()xyz222222222111bacacbcba很显然，对称式一定是

4、轮换式很显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称而轮换式不一定是对称式式.二二.性质性质1、含两个变量、含两个变量x和和y的对称式，一定可用相同变的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示量的基本对称式来表示.、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等系数相等.例如：在含例如：在含x,y,z的二次对称多项式中，的二次对称多项式中，如果含有如果含有x2项，则必同时有项，则必同时有y2,z2两项；如含有两项；如含有xy项，则必同时有项，则必同时有yz,zx两项，且它

5、们的系数，两项，且它们的系数，都分别相等都分别相等.故可以表示为：故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中其中m,n是常数是常数.、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等且系数相等.例如：轮换式例如：轮换式a(bc)+b(ca)+c(ab)中，有中，有因式因式ab这一项这一项,必有同型式必有同型式bc和和ca两项两项.例如：轮换式例如：轮换式a3(bc)+b3(ca)+c3(ab)中，有中，有因式因式ab这一项这一项,必有同

6、型式必有同型式bc和和ca两项两项.例如：轮换式分解因式：例如：轮换式分解因式：a(bc)+b(ca)+c(ab) (ab) (bc) (ca)xy+yz+zx和都是轮换式，xy+yz+z，（）（xy+yz+z）. 也都是轮换式。zyx111zyx111zyx111、两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不、两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）为零），仍然是对称式（轮换式）.比如：比如：x+y, xy都是对称式都是对称式x+yxy，（，（x+y）xy，等也都是对称式等也都是对称式.xyyx 又：例题：已知：例题：已知：a+b+c=0, abc0.求代数

7、式的值求代数式的值222222222111bacacbcba分析：这是含分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式其余的两个分式，可直接写出它的同型式.解：解：0. 2221cba222)(1babaab21222222222111bacacbcbaab21bc21ca21abcbac2三：例题精讲三：例题精讲已知：已知：S （a+b+c）.求证：求证：3S（Sa）(Sb)(Sc).2116)(416)(416)(4222222222222222bacacacbcbcbaba练习练习1:例例 若若abc=1abc=1

8、，试证，试证: :1111ccacbbcbaaba111ccacbbcbaabacacabcac1ccacabcbbcb1ccacacac111ccac11ccacca证明：证明：abc=1abc=1=+=+= =1于是命题得证。于是命题得证。评注：评注：“1”的代换是恒等变形中常用的技巧。的代换是恒等变形中常用的技巧。例例 已知已知x=by+czx=by+cz，y=cz+axy=cz+ax，z=ax+byz=ax+by，且，且x+y+z0.x+y+z0.证明：证明：1111ccbbaa (3) (2) (1) byaxzaxczyczbyxxzyxaxxzya21 2则zyxxzyaa1证明

9、：解方程组证明：解方程组(2)+(3)-(1) (2)+(3)-(1) 得得y+z-x=2axy+z-x=2ax，所以，所以 所以所以 zyxyzxbb1zyxzyxcc11111zyxzyxccbbaa 同理可得，同理可得， 所以所以 本题具有轮换对称式的特征，所以只需对其中一个式本题具有轮换对称式的特征，所以只需对其中一个式子化简，就可以得出相同规律子化简，就可以得出相同规律.cbacba1111nnnnnncbacba1111例设例设a、b、c三数中必有两个数之和为零；三数中必有两个数之和为零；对任何奇数对任何奇数n，有，有要求要求a a、b b、c c三数中必有两个数之和为零，即要证三

10、数中必有两个数之和为零，即要证(a+b)(b+c)(c+a)=0(a+b)(b+c)(c+a)=0，故可对已知条件进行变形，使它出现，故可对已知条件进行变形，使它出现(a+b)(a+b)、(b+c)(b+c)、(c+a)(c+a)这些因式。这些因式。，证明，证明cbacba1111()即0bccaababcabcabcabc证明：证明：(1)由由得得 从已知知从已知知a、b、c0，所以，所以abc0，且，且a+b+c0，则则 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=011110，abcabc (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a (b

11、c+ca+ab)+ (b+c) (bc+ca+ab) abc= (b+c)(bc+ca+ab)+abc+a2c+a2babccbacba1111例设例设a、b、c三数中必有两个数之和为零；三数中必有两个数之和为零；，证明，证明cbacba1111 即0bccaababcabcabcabc证明：证明：(1)由由得得 从已知知从已知知a、b、c0，所以，所以abc0，且，且a+b+c0，则则 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=011110，abcabc (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a(bc+ca+ab)+(b+c)(bc+ca

12、+ab)abc= (b+c)(bc+ca+ab)+ abc+a2c+a2babc=(b+c)(bc+ca+ab)+ a2(b+c)=(b+c) (a2+bc+ca+ab)(a+b)(b+c)(c+a)=0(a+b)(b+c)(c+a)=0，这就是说，在，这就是说，在a+ba+b、b+cb+c、c+a c+a 中中至至少有一个为零少有一个为零，即即a a、b b、c c三数中必有两个数之和为零三数中必有两个数之和为零。=(a+b)(b+c)(c+a)nnnnnnnccaacba1111111nnnnnnnccaacba111nnnnnncbacba1111证明证明(2) :由由(1)得，不妨设得

13、，不妨设a+b=0，即，即b= -a，因为，因为n为奇数为奇数 又又实质实质(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc是关于是关于a a、b b、c c的一个轮换对的一个轮换对称式。令称式。令a= -ba= -b，代入得，代入得(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(bc-bc-b(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(bc-bc-b2 2)(-)(-b+b+c)-(-b)bc= -bb+b+c)-(-b)bc= -b2 2c+ bc+ b2 2c=0c=0，这就是说，这就是说a+ba+b是是(bc+ca+ab)(a+b+c)-(bc+ca

14、+ab)(a+b+c)-abcabc的一个因式，由轮换对称式的性质知，的一个因式，由轮换对称式的性质知，b+cb+c、a+ca+c也是也是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc的一个因式，因此有的一个因式，因此有(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)再令再令a=b=c=1a=b=c=1代入，求代入，求出出k=1k=1，所以，所以(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)(bc+ca+ab)(a+b+c)-

15、abc=(a+b)(b+c)(c+a)例例，证明，证明(2)对任何奇数对任何奇数n，有，有 nnnnnncbacba1111cbacba1111222例5 求证：()()()()()()a bcb cac ababbcac例如：轮换式例如：轮换式a(bc)+b(ca)+c(ab)中，有中，有因式因式ab这一项这一项,必有同型式必有同型式bc和和ca两项两项.例例 若若a+b+c=0，求，求222222222abcabcbaccab222()abcabcabc2()()aacabbcabac的值的值本题是轮换对称式，所以不宜直接通分，只需对其中本题是轮换对称式，所以不宜直接通分，只需对其中一个分

16、式化简，就可以得出相同规律一个分式化简，就可以得出相同规律. .解：解：a+b+c=0，abc，22同理：2()(),2()();bacbabccabcacb222原式+()()()()()()abcabacbabccacb222()()()()()()a bcb cac ababbcca()()()1()()()abbccaabbcca例例. 已知已知x、y、z满足关系式满足关系式求证：求证： 1yxzxzyzyx0222yxzxzyzyxxyxxzxzxyzyx2yyxyzxzyzyxy2zyxzxzyzzyxz2zyxyxyzyxxzxzyzxzxyzyxzzyxyyxzxzyzyx)(

17、)()(222zyxzyxyxzxzyzyx2220222yxzxzyzyx证明：将已知等式分别乘以证明：将已知等式分别乘以x、y、z得得 所以所以 即：即：由由+ 得得例 已知a+b+c=a2+b2+c2=2，求证：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2 本题的证明采用了构造法，它构造了三次式本题的证明采用了构造法，它构造了三次式 (x-a)(x-b)(x-c)，然后建立它与，然后建立它与x(1-x)2之间的关系，再通之间的关系，再通过赋值来证明。过赋值来证明。分析：求证的等式中的各式，恰好是多项式分析：求证的等式中的各式，恰好是多项式x(1-x)x(1-x)2 2中的中的x x分别

18、取分别取a a、b b、c c时的值。时的值。因此，本题可转化为证明当因此，本题可转化为证明当x x分别取分别取a a、b b、c c时，时，x(1-x)x(1-x)2 2的值不变。由于的值不变。由于x(1-x)x(1-x)2 2是关于是关于x x的三次多项式，且注意到题设条件，所以我们构造三次式的三次多项式，且注意到题设条件，所以我们构造三次式(x-a)(x-b)(x-(x-a)(x-b)(x-c)c)，建立它与，建立它与x(1-x)x(1-x)2 2之间的某种关系。之间的某种关系。证明：证明：(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca又又a+b+c=a2+b2+c2=2 4=2+2