弹性力学课件第二章平面问题的基本理论

1、 建立平面问题的基本方程和方程的求解方法建立平面问题的基本方程和方程的求解方法 包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程； 边界条件的描述；方程的求解方法等边界条件的描述；方程的求解方法等一、一、 平面问题平面问题 平面应力问题、平面应变问题平面应力问题、平面应变问题二、二、 平衡微分方程平衡微分方程三、三、 斜面上的应力斜面上的应力四、四、 力边界条件力边界条件五、五、 几何方程几何方程 刚体位移、斜方向的正应变刚体位移、斜方向的正应变六、六、 物理方程物理方程七、七、 边界分类及边界条件边界分类及边界条件八、八、 圣维南原理

2、圣维南原理九、弹性力学问题的求解方法九、弹性力学问题的求解方法十、十、 按位移求解平面问题按位移求解平面问题十一、按应力求解平面问题十一、按应力求解平面问题 相容方程相容方程十二、常体力情况下的简化十二、常体力情况下的简化 相容方程相容方程十三、应力函数十三、应力函数 相容方程相容方程 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法一、平面问题一、平面问题 平面应力问题、平面应变问题平面应力问题、平面应变问题1. 1. 平面应力问题平面应力问题(1)(1)几何特征：几何特征：等厚薄板等厚薄板yzxytba 特殊的几何形状特殊的几何形状 平面应力问题平面应力问题空间问题空间问题 平面问题平面问题 特殊的受力情

3、况特殊的受力情况 平面应变问题平面应变问题 受力特征：受力特征： 板表面不受力。板边沿受的面力和体内受的板表面不受力。板边沿受的面力和体内受的 体力平行于板面作用，沿体力平行于板面作用，沿 z 方向不变化。方向不变化。 (3) (3)应力特征：由于板面上不受力，有：应力特征：由于板面上不受力，有： 独立的应力分量只有三个应力分量，且仅为独立的应力分量只有三个应力分量，且仅为 x、y 的函数，与的函数，与z无关。即无关。即 符合以上三条的弹性力学问题成为符合以上三条的弹性力学问题成为平面应力问题平面应力问题),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyy其它应变分量、位移分量也仅为其它应变分量

4、、位移分量也仅为 x x、y y 的函数，与的函数，与 z z 无关。无关。0z0zx0zy2. 2. 平面应变问题平面应变问题(1)(1)几何特征：几何特征：无限长、等截面棱柱体无限长、等截面棱柱体水坝水坝 外力特征：外力特征：外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿 长度长度 z 方向不变化。方向不变化。 (3)(3)应变、应力特征：应变、应力特征：任一横截面都是对称面，则有，任一横截面都是对称面，则有，w=0, 即即0z0yzzy0 xzzx应力分量有应力分量有 ，其中，其中 不独立，可以用不独立，可以用 表示。表示。xyzyx,z独立的应力分量仅

5、有独立的应力分量仅有 ，仅为，仅为x,y的函数，与的函数，与z无关无关xyyx,符合以上三条的弹性力学问题成为符合以上三条的弹性力学问题成为平面应变问题平面应变问题yx,其它应变分量、位移分量也仅为其它应变分量、位移分量也仅为 x x、y y 的函数，与的函数，与 z z 无关。无关。xyxyxyPBACDdyyyxyxdxxxxdyyyyxyOyfxfdxxxyxy 0DMyxxy剪应力互等剪应力互等0 xF11)(dydydxxxxx11)(dxdxdyyyxyxyx01dydxfx0 xyxxfyx0yF0yxyyfxyyfxf为体力分量为体力分量其中，其中，二、平衡微分方程二、平衡微分

6、方程（1 1）斜面上应力在坐标方向的分量）斜面上应力在坐标方向的分量斜面外法线斜面外法线N 在坐标中的方向余弦：在坐标中的方向余弦：l,m myN),cos(lxN),cos(ldsdymdsdx, 0 xF0111dspdxdyxyxxxyyylmp0111dspmdsldsxyxxyxxxmlp, 0yF（2-4）xyOdxdydsPABPNyxxyxy外法线外法线 xpypxpyp三、斜面上的应力三、斜面上的应力xyNmplp yxNmplp xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(22（2 2）斜面上的正应力与剪应力）斜面上的正应力与剪应力xyOdxdydsPABPNyxxy

7、xyNNxpypyxppPNN根据合矢量投影定理根据合矢量投影定理 正应力正应力剪应力剪应力（3 3）主应力与主应力方向：）主应力与主应力方向： 参考材料力学自习参考材料力学自习xyOdxdydsPABNyxxyxy外法线外法线 xfyfyyxyfmlxyxxfmlf类似于斜面上应力分量分析过程类似于斜面上应力分量分析过程平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件yfxf为面力分量为面力分量其中，其中，四、力边界条件四、力边界条件1. 1. 几何方程几何方程一点的变形：一点的变形：线段的线段的伸长或缩短伸长或缩短；线段间的相对线段间的相对转动转动；xyOPPABBvuAdxxvvdxxuud

8、yyuudyyvvdyPB dxPA变形前变形前变形后变形后PABBPAuvdxxvvdxxuudyyuudyyvv注：略去了二阶以上高阶无穷小量。注：略去了二阶以上高阶无穷小量。五、几何方程五、几何方程 刚体位移、斜方向的应变刚体位移、斜方向的应变xyOPPABABuvdxxvvdxxuudyyuudyyvvPAPA的正应变：的正应变：dyvdyyvvyvyPBPB的正应变：的正应变：dxudxxuuxuxP P点的剪应变：点的剪应变：P点两点两直角线段夹角直角线段夹角的变化的变化yuxvxyyudyudyyuutantanxvdxvdxxvvxy几何方程几何方程yuxvyvxuxyyx2.

9、 2. 刚体位移刚体位移 ： 自习自习3. 3. 斜方向的正应变斜方向的正应变问题：问题：已知已知 ，求任意方向的线，求任意方向的线应变应变rr 和线段夹角的变化。和线段夹角的变化。xyyx, 设设 P P 点的坐标为点的坐标为 (x(x，y)y)，N N 点的坐标为点的坐标为（x+dxx+dx，y+dyy+dy），），PNPN 的长度为的长度为 drdr，PNPN 的方向余弦为：的方向余弦为：myPNlxPN),cos(,),cos(于是于是PNPN在坐标轴上的投影为：在坐标轴上的投影为：mdrdyldrdx,xyOP(x,y)NP1N1vudyyvdxxvvdvvvNdyyudxxuudu

10、uuNN N点位移：点位移：变形后的变形后的P1N1在坐标方向的投影：在坐标方向的投影： 设设PN变形后的长度变形后的长度 P1N1=dr， PN 方向的应变为方向的应变为rr，由应变的定义：由应变的定义：dyyvdxxvdyvvdyNdyyudxxudxuudxNdrdrrdrdrdrrdr或22drdrrdr22)()(dyyvdxxvdydyyudxxudx两边同除以两边同除以 (dr)2，得得222)1(drdyyvdrdxxvdrdydrdyyudrdxxudrdxr2211xvlyvmyumxul略去二阶小量后略去二阶小量后xvlmyvmyulmxulr2)21 (2)21 (21

11、22xyyxrlmml22简化后简化后应用：电测时应用：电测时 应变花应变花物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。 简单胡克定律简单胡克定律+ +泊松比效应泊松比效应+ +基本假设基本假设= =广义胡克定律：广义胡克定律：)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyEzxzxG1yzyzG1xyxyG1其中：其中：E为拉压弹性模量；为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为剪切弹性模量；为侧向收为侧向收缩系数，又称泊松比。缩系数，又称泊松比。)1 (2EG六、物理方程六、物理方程1 1、平面应力问题的物理方程、平面应力问题的物理方程注：注：(1)

12、0z)(yxzE(2) 物理方程的另一形式物理方程的另一形式)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (2由于平面应力问题由于平面应力问题中中0zxyzz)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (22 2、平面应变问题的物理方程、平面应变问题的物理方程在平面应变问题在平面应变问题中中由第三式，得由第三式，得)(yxz0zxyzz注：注：(2)(2)平面应变问题平面应变问题 物理方程的另一形式物理方程的另一形式 (1)(1) 平面应变问题中平面应变问题中0z，但，但)(yxz两类平面问题物理方程的转换：自习两类平面问题物理方程的转换：自习)1(12yxxExyxyE)1 (2)1(12

13、xyyE边界条件：边界条件：建立建立边界上的物理（几何）量边界上的物理（几何）量与与内部物理（几何）内部物理（几何）量量间的关系是间的关系是力学计算模型力学计算模型建立的重要环节。建立的重要环节。xyOqfuSSuSSS边界分类边界分类（1）位移边界）位移边界SuS（2）应力边界）应力边界（3）混合边界）混合边界三类边界三类边界1 1、位移边界条件、位移边界条件位移分量已知的边界位移分量已知的边界 位移边界位移边界 用用us 、 vs表示边界上的位移分量，表示边界上的位移分量， 表示边界上位表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：vu,v

14、vuuss七、边界分类及边界条件七、边界分类及边界条件2 2、应力边界条件、应力边界条件给定面力分量给定面力分量边界边界 应力边界应力边界由前面斜面的应力分析，得由前面斜面的应力分析，得yyxyfmlxyxxfml其中，其中，l、m 为边界外法线方向余弦，为边界外法线方向余弦，yfxf为面力分量为面力分量3 3、混合边界条件、混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2) 在同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。在同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。图图(a)：0yf位移边界

15、条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件0uus图图(b)：0 xf0 vvs位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件例例1、图示水坝，试写出其边界条件。图示水坝，试写出其边界条件。由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有ysxysyxsxysxflmfml)()()()(sin)cos()sin(yxyycos)sin()cos(yxyx左侧面：左侧面：sin,cosmlsinyfycosyfxtanyx右侧面：右侧面：sin,cosmltanyx 0yxff0cossinxyyx0sincosxyx解、解、例例2、如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。xyah

16、hq(1), 0 x00ssvu0, 0 xvyu(2), ax 0, 0sxysx0, 0sxysy(4), hy(3), hy0,sxysyq注：注： x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：. 0, 0vu例例3、图示薄板，在图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明：方向受均匀拉力作用，证明：在板中间突出部分的尖点在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。处无应力存在。解：解：平面应力问题，在平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。边界上无面力作用。由应力边界条件公式由应力边界条件公式AB 边界：边界：111sin,cosml（1

17、）0cossin0sincos1111xyyxyx0cossin0sincos1111xyyxyxAC 边界：12122sincoscosml（2）0yxffA 点同处于点同处于 AB 和和 AC 的边界，的边界，同时满足式（同时满足式（1）和（）和（2），解得），解得 A 点处无应力作用点处无应力作用0 xyyxyyxyfmlxyxxfmlPPP问题的提出：问题的提出：求解弹性力学问题时，使应求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全力分量、形变分量、位移分量完全满足满足8 8个个基本方程相对容易基本方程相对容易，但要使，但要使边界条件边界条件完全满足，往往很困难完全满足，往往很

18、困难。如图所示，其。如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。力的作用点处的边界条件无法列写。1. 1. 静力等效的概念静力等效的概念 两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系静力等效力系。)(iOOFmMiFR 这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。正确，但对变形体而言一般是不等效的。八、圣维南原理八、圣维南原理2.2.圣维南原理圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物体的若把物体的一小部分边界

19、一小部分边界上的面力上的面力，变换为分布不同但，变换为分布不同但静力静力等效的面力等效的面力，则，则近处近处的应力分布将有显著改变的应力分布将有显著改变，而，而远处远处所受的影响所受的影响可忽略不计。可忽略不计。PPP/2P/2APAPPAP3.3.圣维南原理的应用圣维南原理的应用（1）对）对复杂的力边界复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。，用静力等效的分布面力代替。（2）有些）有些位移边界位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：注意事项：（1）必须满足）必须满足静力等效静力等效条件；条件；（2）只能在）只能在次要边界上次要边界

20、上用圣维南原理，在用圣维南原理，在主要边界主要边界上不能使用。上不能使用。如：如：AB主要边界主要边界PAP次要边界次要边界例例4、矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。解：左侧面：解：左侧面：0, 1ml代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式0hxxyhxxy右侧面：右侧面：0, 1ml0,YyX代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有00hxxyhxx上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：dxyhhy

21、0)(sinP对对O点的力矩等效：点的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyx注意：注意：xyy,必须按正向假设！必须按正向假设！yyxyfmlxyxxfml0yxff1 1、按位移求解、按位移求解位移法位移法以以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。形变分量。2 2、按应力求解、按应力求解力法力法以以应力分量应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用为基本未知函数，将所

22、有方程都用应力分量应力分量表示，并求出表示，并求出应力分量应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出形变再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。分量与位移。九、弹性力学问题的求解方法九、弹性力学问题的求解方法1 1、将平衡方程用位移表示、将平衡方程用位移表示)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (2由应变表示的物理方程由应变表示的物理方程将几何方程代入，有将几何方程代入，有xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2再代入平衡方程，化简有再代入平衡方程，化简有021211021211222222222222yxfyxuxvyvEfyxvyuxuE十、按位移求解平面问题十、按

23、位移求解平面问题2 2、将边界条件用位移表示、将边界条件用位移表示（）位移边界条件：（）位移边界条件：（）应力边界条件：（）应力边界条件：xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（a）将式（将式（a）代入，得）代入，得yyxyfmlxyxxfmlvvuuss,yssxssfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulE21121122、位移法的优缺点、位移法的优缺点缺点：数学求解困难重重缺点：数学求解困难重重优点：三类边值问题都可解优点：三类边值问题都可解应用：工程中常用此法进行数值计算应用：工程中常用此法进行数值计算按应力求解平面问题的未知函数：按应力求解平面问题的未知函数：

24、平衡微分方程：平衡微分方程：xyyx,0yyyxfyx0 xxyxfyx2个方程方程，个方程方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从从几何方程几何方程、物理方程物理方程建立补充方程。建立补充方程。十一、按应力求解平面问题十一、按应力求解平面问题 相容方程相容方程1.1.变形协调方程变形协调方程相容方程相容方程将几何方程：将几何方程：xvyuyvxuxyyx,作如下运算：作如下运算：2323xyvyxu2322yxuyx2322xyvxyxvyuxyyxxy22显然有：显然有：yxxyxyyx22222 形变协调方程相容方程形变协调方程相容方程即

25、：即： 必须满足上式才能保证位移分量必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协的存在与协调，才能求得这些位移分量。调，才能求得这些位移分量。xyyx,2. 2. 变形协调方程的应力表示变形协调方程的应力表示（1 1）平面应力情形）平面应力情形将将物理方程物理方程代入代入相容方程相容方程，得：，得：yxxyxyxyyx22222)1 (2)()(利用平衡方程将上述化简：利用平衡方程将上述化简：xXxxyxxy222XxyxxyYyxyxyyYxXyxyxyxxy222222将上述两边相加：将上述两边相加：yYyyxyxy222ab将将 (b) (b) 代入代入 (a) (a) ，得：，得：

26、yYxXxyyx)1 ()(2222将将 上式整理得，上式整理得，平面应力情况的用平面应力情况的用应力表示的相容方程应力表示的相容方程：yYxXyxxyyxxyyx22222222)1 ()()(（2 2）平面应变情形）平面应变情形当体力为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即当体力为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即将上式中的泊松比将上式中的泊松比代为：代为： ，可以得到，可以得到平面应变平面应变情形情形应力表示的相容方程应力表示的相容方程1yYxXyxyx11)(22220)(2222yxyx例例5、下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们下面给出平面应力问题（

27、单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）;,41,233422xyyyxxyyx;2,),(222CxyCyyxCxyyx（a）（b）例例5解、解、（1）将式（将式（a）代入平衡方程：）代入平衡方程：0Yyxyyx0Xyxxyx03322xyxy033 yy 满足满足将式（将式（a）代入相容方程：）代入相容方程：0)(2222yxyx)4123(422yyxyx)(2222yyyx0333222yxy式（式（a a）不是一组可能的）不是一组可能的应力场。应力场。例例5解、解、（2 2）将式（将式（b

28、b）代入应变表示的相容方程：）代入应变表示的相容方程：yxxyxyyx2222202222222CCyxxyxyyxCyx222022xyCyxxy22式（式（b b）满足相容方程，）满足相容方程，（b b）为可能的应变分量。）为可能的应变分量。例例6、图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力力学公式，写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤压应力的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。然后说明这些表达式是否代表正确解。xyxy解解材料力学解答：材料力学解

29、答：式（式（a）满足）满足平衡方程平衡方程、相容相容方程和边界条件？方程和边界条件？0yxyIPyIMx2242yhIPIBQSxy（a）, yIPxx, yIPyxy, 0 xxy, 0yy0YX（1）代入）代入平衡微分方程平衡微分方程：0Yyxyyx0Xyxxyx显然，显然，平衡微分方程平衡微分方程满足。满足。00 yIPyIP0000式（式（a）满足）满足相容方程。相容方程。（3）再验证是否满足）再验证是否满足边界条件？边界条件？0, 022hyyxhyy 满足满足00 xx满足满足Plydylxhhx22Pdyxhhxy022Pdylxhhxy22022dylxhhx近似满足近似满足近

30、似满足近似满足0)(2222yxyx（2）代入）代入相容方程：相容方程：02222xyIPyx0上、下侧边界：上、下侧边界：右侧边界：右侧边界：左侧边界：左侧边界：结论：式（结论：式（a）为正确解）为正确解1. 常体力下平面问题的相容方程常体力下平面问题的相容方程令：令：22222yx 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算子）算子则相容方程可表示为：则相容方程可表示为：yYxXyx11)(2yYxXyx)1()(2 平面应力情形平面应力情形 平面应变情形平面应变情形当体力为常数时，当体力为常数时，两种平面问题的相容方程相同两种平面问题的相容方程相同，即，即0)(2yx十二、常体力情况下的简化

31、十二、常体力情况下的简化 相容方程相容方程2.常体力下平面问题的基本方程常体力下平面问题的基本方程（1）平衡方程）平衡方程0yyyxfyx0 xxyxfyx（2）相容方程）相容方程（3）边界条件）边界条件0)(2yx（4）位移单值条件）位移单值条件 对多连通问题而言。对多连通问题而言。（1）0)(2yx Laplace方程，或称方程，或称调和方程。调和方程。（2） 常体力下，方程中不含常体力下，方程中不含E、（a） 相同，相同， ）不同。）不同。两种平面问题，计算结果两种平面问题，计算结果xxyy,yxzvuxy,（但（但（b）不同材料不同材料，具有相同，具有相同外力和外力和边界条件边界条件时

32、，其计算结果相同。时，其计算结果相同。 光弹性实验原理。光弹性实验原理。（3）用用平面应力试验平面应力试验模型，代替模型，代替平平面应变试验面应变试验模型，为实验应力分模型，为实验应力分析提供理论基础。析提供理论基础。满足：满足： 的函数的函数0),(2yxf),(yxf称为调和函数（解析函数）。称为调和函数（解析函数）。yyxyfmlxyxxfml3.常体力下体力与面力的变换常体力下体力与面力的变换0Xyxxyx0Yyxyxy平衡方程平衡方程:0)(2yx相容方程相容方程:YlmXmlsxysysxysx)()()()(边界条件边界条件:令：令：常体力下，常体力下， 满足的方程：满足的方程：

33、xyyx,XxxxYyyyxyxy(a)将式将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件，有代入平衡方程、相容方程、边界条件，有0yxxyx0yxyxy0)(2yxmYyYlmlXxXmlsxysysxysx)()()()(b)(c)表明：表明：（1）变换后的平衡方程、相容方程均为）变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程齐次方程（容易求解）；（容易求解）；（2）变换后问题的）变换后问题的边界面力边界面力改变为：改变为：lXxXXmYyYY当体力当体力X =常数，常数，Y =常数时，可先求解常数时，可先求解无体力无体力而而面力面力为：为：lXxXXmYyYY转换问题的解为：转换问题的解为：xyyx

34、,XxxxYyyyxyxy而原问题的解为：而原问题的解为：例如：图示深梁在重力作用下的应力分析。例如：图示深梁在重力作用下的应力分析。原问题：原问题：体力：体力：pYX , 0边界面力：边界面力：0, 0YX所求应力：所求应力：xyyx,变换后的新问题：变换后的新问题：0, 0YX体力：体力：边界面力：边界面力：00 xllXxXXmYyYYmpy 0(1)AF , m=1, y = 0:(2) DE, m=-1, y = h:00) 1(pYphhpY)() 1(phhpY2)2() 1(3) BC，m=-1, y = 2h：所求得的应力：所求得的应力：xyyx,xyxyxxxXxpyYyy

35、yyxyFABCDEhh(a)p(4) EF，m=0：000ypY(5) AB，m=0：000ypYxyABCFDEhh(b)ph2ph(5)(4)(3)(2)(1)0Xyxxyx0Yyxyxy0)(2yxYlmXmlsxysysxysx)()()()(0yxxyx0yxyxy0)(2yxmYyYlmlXxXmlsxysysxysx)()()()(常体力下体力与面力转换的优点：常体力下体力与面力转换的优点：原原问问题题的的求求解解方方程程变变换换后后问问题题的的求求解解方方程程常体力问题常体力问题无体力问题无体力问题作用：作用：(1) 方便分析计算（齐次方程易求解）。方便分析计算（齐次方程易求

36、解）。(2) 实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。注意：注意：面力转换公式：面力转换公式： 与坐标系的选取有关，因此，与坐标系的选取有关，因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。适当选取坐标系，可使面力表达式简单。mYyYYlXxXX,常体力下问题的基本方程：常体力下问题的基本方程：0Xyxxyx0Yyxyxy0)(2222yxyx非齐次方程非齐次方程通解通解 = = 非齐次方程非齐次方程特解特解 + +对应齐次方程对应齐次方程通解通解。(1)(1)非齐次方程非齐次方程特解特解常体力下特解形式：常体力下特解形式：

37、(2)(2)对应对应齐次方程齐次方程通解通解对应的齐次方程：对应的齐次方程：(1); 0 xy(2); 0,xyyxYyXx;, 0, 0YxXyxyyx(3),YyXxYyXxyx00yxyxyxyxyxyyxyfmlxyxxfmlvvuu,平衡方程平衡方程相容方程相容方程面力条件面力条件位移条件位移条件十三、应力函数十三、应力函数 相容方程相容方程 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法)(xyxyxyyx由微分方程理论，必存在一函由微分方程理论，必存在一函数数 A(x , y)，使得使得yyxAx),()(yxyxyxxyxyxAxy),(yyxBxy),(xyxBy),(也必存在一函数也必存在一函数 B(x , y)，使得使得对应的齐次方程第一式改写为：对应的齐次方程第一式改写为：对应的齐次方程第二式改写为：对应的齐次方程第二式改写为：t1t2yyxBxyxA),(),(比较式比较式t1与与t2，有，有由微分方程理论，必存在一函数由微分方程理论，必存在一函数 (x,y)，使得，使得xyxyxB),()