2009年天津市高考数学试卷（文科）解析版

1、2009年天津市高考数学试卷（文科）解析版参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）i是虚数单位，5i2-i=（）A1+2iB12iC12iD1+2i【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可【解答】解：5i2-i=5i(2+i)5=-1+2i，故选：D【点评】本小题考查复数代数形式的乘除运算，基础题2（5分）设变量x，y满足约束条件：x+y3x-y-12x-y3，则目标函数z2x+3y的最小值为（）A6B7C8D23【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法

2、及应用【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件x+y3x-y-12x-y3画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值【解答】解：画出不等式x+y3x-y-12x-y3表示的可行域，如图，让目标函数表示直线y=-2x3+z3在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组x+y=32x-y=3得（2，1），所以zmin4+37，故选：B【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值

3、一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解3（5分）设xR，则“x1”是“x3x”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有【专题】5L：简易逻辑【分析】先判断pq与qp的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系【解答】解：因为x3x，解得x0，1，1，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到“x1”是“x3x”的充分不必要条件故选：A【点评】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假

4、命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系4（5分）设双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=±2xBy±2xCy=±22xDy=±12x【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方

5、程【分析】由题意知b=1，c=3，a=c2-b2=2，因为双曲线的焦点在x轴上，由此可知渐近线方程为y=±bax=±22x【解答】解：由已知得到b=1，c=3，a=c2-b2=2，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±bax=±22x；故选：C【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质和运用考查了同学们的运算能力和推理能力5（5分）设a=log132，b=log123，c（12）0.3，则（）AabcBacbCbcaDbac【考点】4M：对数值大小的比较菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】依据对数的性质，指数的性质，分别确定a、b、c

6、数值的大小，然后判定选项【解答】解：c=(12)0.30，a=log1320，b=log1230并且log132log133，log133log123所以cab故选：D【点评】本题考查对数值大小的比较，分数指数幂的运算，是基础题6（5分）阅读如图的程序框图，则输出的S的值为（）A9B36C100D225【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】5K：算法和程序框图【分析】经过分析，本题为直到型循环结构，按照程序顺序进行执行，得到输出结果即可【解答】解：按照程序框图进行执行如下：s0 i1s0+11 i2s1+239 i3s9+3336 i4s36+43100 i5此时满足跳出循环的条件，输出

7、s100故选：C【点评】本题考查直到型循环结构，经过运算输出结果，属于基础题7（5分）已知函数f(x)=sin(x+4)(xR，0)的最小正周期为，将yf（x）的图象向左平移|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（）A2B38C4D8【考点】H1：三角函数的周期性；HJ：函数yAsin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】57：三角函数的图象与性质【分析】先根据函数f(x)=sin(x+4)(xR，0)的最小正周期为求出的值，再由平移后得到y=sin2(x+)+4为偶函数可知sin2(x+)+4=±cos2x，即可确定答案【解答】解：由已知，周期为=2，=2，则结合平移公

8、式和诱导公式可知平移后是偶函数，sin2(x+)+4=±cos2x，故选：D【点评】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用8（5分）设函数f（x）=x2-4x+6，x0x+6，x0则不等式f（x）f（1）的解集是（）A（3，1）（3，+）B（3，1）（2，+）C（1，1）（3，+）D（，3）（1，3）【考点】73：一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】先求f（1），依据x的范围分类讨论，求出不等式的解集【解答】解：f（1）3，当不等式f（x）f（1）即：f（x）3如果x0 则 x+63可得 x3，可得3x0如果 x

9、0 有x24x+63可得x3或 0x1综上不等式的解集：（3，1）（3，+）故选：A【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题9（5分）设x，yR，a1，b1，若axby3，a+b23，则1x+1y的最大值为（）A2B32C1D12【考点】7F：基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值【解答】解：axby3，xloga3=1log3a，ylogb3=1log3b，1x+1y=log3ablog3(a+b2)2=1当且仅当ab时取等号故选：C【点评】本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值

10、的运用，考查了变通能力10（5分）设函数f（x）在R上的导函数为f（x），且2f（x）+xf（x）x2，下面的不等式在R内恒成立的是（）Af（x）0Bf（x）0Cf（x）xDf（x）x【考点】63：导数的运算菁优网版权所有【专题】52：导数的概念及应用【分析】对于这类参数取值问题，针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法【解答】解：2f（x）+xf（x）x2，令x0，则f（x）0，故可排除B，D如果 f（x）x2+0.1，时 已知条件 2f（x）+xf（x）x2 成立，但f（x）x 未必成立，所以C也是错的，故选 A故选：A【点评】本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题通过分析

11、解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11（4分）如图，AA1与BB1相交于点O，ABA1B1且AB=12A1B1若AOB的外接圆的直径为1，则A1OB1的外接圆的直径为2【考点】HP：正弦定理菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆【分析】先在AOB中，利用正弦定理求得sinAOBAB，进而在A1OB1中，由正弦定理利用2R=A1B1sinA1OB1=A1B1AB求得外接圆的直径【解答】解：在AOB中，由正弦定理得ABsinAOB=1，sinAOBAB，在A1OB1中，由正弦定理得2R=A1B1sinA1OB1=A1B1AB=2故答案为2【点评

12、】本题主要考查了正弦定理的应用考查了学生对正弦定理公式和变形公式的灵活运用12（4分）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a3【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】5Q：立体几何【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为a的等腰三角形，所以有2a2×3=33a=3故答案为：3【点评】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题本试题考查了简单几何体的三视图的运用培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力13（4分）设全集UABxN*|lgx1，若AUBm|m2n+1，n0，1

13、，2，3，4，则集合B2，4，6，8【考点】18：集合的包含关系判断及应用；1H：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】解对数不等式得全集，结合AUB得集合UB，从而求得B【解答】解：UABxN*|lgx1xN*|x101，2，3，4，5，6，7，8，9，又AUBm|m2n+1，n0，1，2，3，41，3，5，7，9，UB1，3，5，7，9，B2，4，6，8，故填：2，4，6，8【点评】题属于以不等式为依托，考查集合的交集、补集的基础题，也是高考常会考的题型14（4分）若圆x2+y24与圆x2+y2+2ay60（a0）的公共弦的长为23，则a1【考点】JA：圆与圆的位置

14、关系及其判定；JF：圆方程的综合应用菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆【分析】画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可【解答】解：由已知x2+y2+2ay60的半径为6+a2，圆心（0，a），公共弦所在的直线方程为，ay1大圆的弦心距为：|a+1a|由图可知6+a2-(a+1a)2=(3)2，解之得a1故答案为：1【点评】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题15（4分）若等边ABC的边长为23，平面内一点M满足CM=16CB+23CA，则MAMB=2【考点】91：向量的概念与向量的模菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】先合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0，

15、0)，A(23，0)，B(3，3)，这样利用向量关系式，求得M(332，12)，然后求得MA=(32，-12)，MB=(-32，-52)，运用数量积公式解得为2【解答】解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得C(0，0)，A(23，0)，B(3，3)，CB=(3，3)，CA=(23，0)，CM=16CB+23CA=(332，12)，M(332，12)，MA=(32，-12)，MB=(-32，52)，MAMB=（32，-12）（-32，52）2故答案为：2【点评】本试题考查了向量的坐标运算也体现了向量的代数化手段的重要性考查了基本知识的综合运用能力16（4分）若关于x的不等式（

16、2x1）2ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是(259，4916【考点】73：一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用【分析】由关于x的不等式（2x1）2ax2的解集中整数恰好有3个，故不等式一定为二次不等式，且对应的函数图象开口方向朝上，且与X轴一定有两个交点，且夹在两个交点间的整数点恰好有3个，由此构造出关于a的不等式，解不等式即可得到结论【解答】解：不等式等价于（a+4）x24x+10，当a4时，显然不满足要求，故4a0且4a0，故0a4，不等式的解集为12+ax12-a，1412+a12则一定有1，2，3为所求的整数解集所以312-a4，解得a

17、的范围为(259，4916，故答案：(259，4916【点评】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力其中根据已知条件，判断4a0且4a0，是解答本题的关键三、解答题（共6小题，满分76分）17（12分）已知：ABC中，BC=5，AC3，sinC2sinA（1）求AB的值（2）求sin(2A-4)的值【考点】HP：正弦定理菁优网版权所有【专题】58：解三角形【分析】（1）根据正弦定理将题中正弦值的关系转化为边的关系，即可得到答案（2）根据三边长可利用余弦公式得到角A的正弦值和余弦值，再由两角和与差的正弦公式和二倍角公式可求最后答案【解答】解：（1）

18、在ABC中，sinC2sinA由正弦定理得ABsinC=BCsinAAB=sinCsinABC2BC25（2）在ABC中，AB25，BC=5，AC3，cosA=(25)2+32-522×25×3，sinA=55，cosA=255sin(2A-4)=sin2Acos4-cos2Asin4=22(2sinAcosA-cos2A+sin2A) =22(2×55×255-45+15) =210 【点评】本题主要考查正弦定理和和两角和与差的正弦公式的应用属基础题18（12分）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂

19、进行调查，已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂，（）求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；（）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率【考点】B3：分层抽样方法；CB：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】（1）先计算A，B，C区中工厂数的比例，再根据比例计算各区应抽取的工厂数（2）本题为古典概型，先将各区所抽取的工厂用字母表达，分别计算从抽取的7个工厂中随机抽取2个的个数和至少有1个来自A区的个数，再求比值即可【解答】（1）解：工厂总数为18+27+1863，样本容量与总体中的个体数比为76

20、3=19，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2、（2）设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：C72种，随机抽取2个工厂至少有一个来自A区的结果有（A1，A2），（A1，B2）（A1，B1）（A1，B3）（A1，C2）（A1，C1），同理A2还能组合5种，一共有11种所以所求的概率为11C72=1121【点评】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力19（12分）如图

21、，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，且DB平分ADC，E为PC的中点，ADCD1，DB=22，（）证明PA平面BDE；（）证明AC平面PBD；（）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；MI：直线与平面所成的角菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5Q：立体几何【分析】（1）欲证PA平面BDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面BDE内一直线平行，设ACBDH，连接EH，根据中位线定理可知EHPA，而又HE平面BDE，PA平面BDE，满足定理所需条件；（2）欲证AC平面PBD，根据直线与平面垂直的

22、判定定理可知只需证AC与平面PBD内两相交直线垂直，而PDAC，BDAC，PDBDD，满足定理所需条件；（3）由AC平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，则CBH为直线与平面PBD所成的角，在RtBHC中，求出此角即可【解答】解：（1）证明：设ACBDH，连接EH，在ADC中，因为ADCD，且DB平分ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EHPA，又HE平面BDE，PA平面BDE，所以PA平面BDE（2）证明：因为PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC由（1）知，BDAC，PDBDD，故AC平面PBD（3）由AC平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射

23、影，所以CBH为直线与平面PBD所成的角由ADCD，ADCD1，DB22，可得DHCH=22，BH=322在RtBHC中，tanCBH=CHBH=13，所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为13【点评】本小题主要考查直线与平面平行直线和平面垂直直线和平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理能力20（12分）已知等差数列an 的公差不为0，设Sna1+a2q+anqn1，Tna1a2q+（1）n1anqn1（）若q1，a11，S315，求数列an 的通项公式；（）若a1d，且S1，S2，S3成等比数列，求q的值（）若q±1，证明（1q）S2n（1+q）T2n=2dq

24、(1-q2n)1-q2，nN*【考点】87：等比数列的性质；8M：等差数列与等比数列的综合菁优网版权所有【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列【分析】（I）先由题意求得S3的表达式，把q1，a11，S315，代入求得d，则数列的通项公式可得；（II）分别求得S1，S2，S3的表达式，代入S22S1S2，整理求得q；（III）分别求出S2n与T2n，然后求出S2nT2n与S2n+T2n，将（1q）S2n（1+q）T2n转化成（S2nT2n）q（S2n+T2n），进行化简整理可得结论【解答】解：（I）由题设，S3a1+（a1+d）q+（a1+2d）q2，将q1，a11，S3

25、15，代入解得d4，所以an4n3（nN*）（II）当a1d，S2d+2dq，S3d+2dq+3dq2，S1，S2，S3成等比数列，S22S1S2，即（d+2dq）2d（d+2dq+3dq2），注意到d0，整理得q2（III）证明：由题设可得S2na1+a2q+a3q2+a2nq2n1，T2na1a2q+a3q2a4q3+a2nq2n1，式减式，得S2nT2n2（a2q+a4q3+a2nq2n1）式加上式，得S2n+T2n2（a1+a3q2+a2n1q2n2）式两边同乘q，得q（S2n+T2n）2（a1q+a3q3+a2n1q2n1）所以，（1q）S2n（1+q）T2n（S2nT2n）q（S2

26、n+T2n）2d（q+q3+q2n1）=2dq(1-q2n)1-q2，nN*【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力21（14分）设函数f（x）=-13x3+x2+（m21）x（xR），其中m0（1）当m1时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1x2，若对任意的xx1，x2，f（x）f（1）恒成立，求m的取值范围【考点】62：导数及其几何意义；6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研

27、究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用【分析】（1）m=1时，f(x)=-13x3+x2，f'(x)=-x2+2x，易得函数在所求点的斜率（2）当f（x）0，函数单增，f（x）0时单减，令f（x）0的点为极值点（3）由题意属于区间x1，x2的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围【解答】解：（1）当m=1时，f(x)=-13x3+x2，f'(x)=-x2+2x，故f'（1）1+21，所以曲线yf（x）在点（1，23）处的切线的斜率为1方程为y-23=x1，即为yx-13（2分）（2）f'（x）x2+2x+m21，

28、令f'（x）0，解得x1m或x1+mm0，所以1+m1m，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （，1m）1m （1m，1+m） 1+m （1+m，+） f（x）0 + 0 f（x） 单调递减极小值 单调递增 极大值 单调递减f（x）在（，1m），（1+m，+）内是减函数，在（1m，1+m）内是增函数函数f（x）在x1m处取得极小值f（1m），且f（1m）=-23m3+m2-13，函数f（x）在x1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）=23m3+m2-13（6分）（3）由题设，f(x)=x(-13x2+x+m2-1)=-13x(x-x1)(x-x2)，

29、方程-13x2+x+m2-1=0有两个相异的实根x1，x2，故x1+x2=3，且=1+43(m2-1)0，m0解得m12，（8分）x1x2，所以2x2x1+x23，故x2321（10分）当x11x2时，f（1）=-13（1x1）（1x2）0，而f（x1）0，不符合题意，当1x1x2时，对任意的xx1，x2，都有x0，xx10，xx20，则f(x)=-13x(x-x1)(x-x2)0，又f（x1）0，所以f（x）在x1，x2上的最小值为0，于是对任意的xx1，x2，f（x）f（1）恒成立的充要条件是f（1）m2-130，解得-33m33，由上m12，综上，m的取值范围是（12，33）（14分）【

30、点评】本题较为复杂，主要考查了直线的点斜式，函数的单调性及函数的极值问题，注意掌握知识点间的关系22（14分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点分别为F1（c，0）和F2（c，0）（c0），过点E(a2c，0)的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1AF2B，|F1A|2|F2B|（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m0）在AF1C的外接圆上，求nm的值【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由F1AF2B且|F1A|2|F2B|，得|EF2EF1|=|F2BF1A|=12，从而a2c-ca2c+c=12，由此可以求出椭圆的离心率（2）由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y26c2，设直线AB的方程为y=k(x-a2c)，设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组y=k(x-3c)2x2+3y2=6c2，整理，得（2+3k2）x218k2cx+27k2c26c20再由根的判别式和根与系数的关系求解（III）解法一：当k=-23时，得A(0，2c)，C(0，-2c)线段AF1的垂直平分线l的方程为y-22c=-22(x+c2)直线l与x轴的交点