空间直线及其方程69150学习教案

1、会计学1空间直线空间直线(zhxin)及其方程及其方程69150第一页，共36页。xyzo1 2 定义定义(dngy)空间直线空间直线(zhxin)可看成两平面的可看成两平面的交线交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间空间(kngjin)直线直线的一般方程的一般方程L第1页/共36页第二页，共36页。xyzo方向方向(fngxing)向量的向量的定义：定义： 如果如果(rgu)(rgu)一非零向一非零向量平行于一条已知直线，这量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向个向量称为这条直线的方向向量向量sL),(

2、0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/),(pnms ),(0000zzyyxxMM 第2页/共36页第三页，共36页。pzznyymxx000 直线直线(zhxin)的对称的对称式方程式方程1.两个两个(lin )等号连等表示直线，等号连等表示直线，一个等号表示一个等号表示(biosh)平面平面注意：注意：2.若若 直线的方程为直线的方程为, 0 m pzznyyxx00003.若若 直线的方程为直线的方程为, 0, 0 pnm 0000yyxx第3页/共36页第四页，共36页。tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向

3、数方向向量的余弦方向向量的余弦(yxin)称为直线的方称为直线的方向余弦向余弦(yxin).直线直线(zhxin)的参数的参数方程方程第4页/共36页第五页，共36页。例例1 1 用对称式方程用对称式方程(fngchng)(fngchng)及参数及参数方程方程(fngchng)(fngchng)表示直线表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解解得得2, 000 zy点坐点坐标标),2, 0 , 1( 第5页/共36页第六页，共36页。因所求直线因所求直线(zhxin)与两平面的法向量与两平面的法向量都

4、垂直都垂直取取21nns ),3, 1, 4( 对称对称(duchn)式式方程方程,321041 zyx参数参数(cnsh)方程方程.3241 tztytx第6页/共36页第七页，共36页。例例 2 2 一一直直线线过过点点)4 , 3, 2( A，且且和和 y轴轴垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程. 解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以所以(suy)交点为交点为),0, 3, 0( B取取BAs ),4, 0, 2( 所求直线所求直线(zhxin)方程方程.440322 zyx第7页/共36页第八页，共36页。定义定义(dngy)直线直线:1L,111111pzznyym

5、xx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角两直线的方向向量的夹角(ji jio)称之称之.（锐角）（锐角） 两直线两直线(zhxin)的夹角的夹角公式公式第8页/共36页第九页，共36页。两直线的位置两直线的位置(wi zhi)关系：关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L),0, 4, 1(1 s),1 , 0 , 0(2 s, 021 ss,21ss 例如例如(lr)，.21LL 即即第9

6、页/共36页第十页，共36页。解:直线(zhxin)直线直线(zh(zhxin)xin)二直线夹角 的余弦为的余弦为13411:1zyxL cos22从而从而4的方向向量为的方向向量为1L的方向向量为的方向向量为2L2(2,2,1)s ) 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s1222:2 zyxL第10页/共36页第十一页，共36页。例例 4 4 求直线求直线 012309335zyxzyx与直线与直线 0188302322zyxzyx的夹角余弦的夹角余弦. 第11页/共36页第十二页，共36页。定义定义(dngy)直线和它在平面上的投影直线的夹

7、直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx(, ,),sm n p ( ,),nA B C 2),(ns 2),(ns 0.2 当直线与平面当直线与平面(pngmin)(pngmin)垂直时垂直时, ,规定规定其夹角其夹角2 第12页/共36页第十三页，共36页。222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角直线与平面的夹角(ji jio)公式公式直线直线(zhxin)与平面的位置关系：与平面的位置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin

8、2 第13页/共36页第十四页，共36页。例例 5 5 设直线设直线:L21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直线与平面的夹角，求直线与平面的夹角.解解(1, 1,2),n (2, 1,2),s 222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角(ji jio)第14页/共36页第十五页，共36页。例例 6 6 求过点求过点)5, 2, 3( 且与两平面且与两平面34 zx和和152 zyx的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程. 解解设所求直线的方向设所求直线的方向(fngxing)向量为向量为(, ,

9、),sm n p 根据根据(gnj)题意知题意知,1ns ,2ns 取取21nns ( 4, 3, 1), .153243 zyx所求直线所求直线(zhxin)的方程的方程第15页/共36页第十六页，共36页。241312zyx与平面与平面(pngm(pngmin)in)062zyx的交点的交点(jiodin) . (jiodin) . 提示: 化直线方程为参数方程代入平面方程得代入平面方程得 1t从而确定交点为从而确定交点为（1，2，2）.tztytx2432t第16页/共36页第十七页，共36页。例例 8 8 求过点求过点)3 , 1 , 2(M且与直线且与直线12131 zyx垂直相交的

10、直线方程垂直相交的直线方程. 解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线再求已知直线(zhxin)与该平面的交与该平面的交点点N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx第17页/共36页第十八页，共36页。代入平面代入平面(pngmin)方程方程得得 ,73 t交交点点)73,713,72( N取所求直线取所求直线(zhxin)的方向的方向向量为向量为MNMN)373, 1713, 272( ),724,76,712( 所求直线所求直线(zhxin)方程为方程为.431122 zyx第18页/共36页第十九页

11、，共36页。五、平面五、平面(pngmin)束方程束方程111222A B CA B C， ， 与， ，不成比例.11112222A xB yC zDA xB yC zD （）0则为通过定直线的所有(suyu)平面，称为(chn wi)平面束.11112222A xB yC zDA xB yC zD （）0为直线 的平面束方程平面束方程.L为任意常数. 第19页/共36页第二十页，共36页。0101zyxzyx在平面在平面(pngmin)上的投影上的投影(tuyng)(tuyng)直线方程直线方程. .提示：过已知直线的平面束方程从中从中选择选择01)1(1)1 (1)1 (得得001zyxz

12、y这是投影平面这是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即即0zyx使其与已知平面垂直使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程从而得投影直线方程, 1第20页/共36页第二十一页，共36页。例例 9 9 求直线求直线 0101zyxzyx在在平面平面0 zyx上上的的投影投影直线直线方程方程. 第21页/共36页第二十二页，共36页。一般一般(ybn)式式对称对称(duchn)式式参数式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm六、小结六、小结第22页/共36页第二十三页，共36页。

13、,1111111pzznyymxxL：直线直线(zhxin)0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm直线直线(zhxi(zhxin)n)夹角公式夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss 第23页/共36页第二十四页，共36页。, 0DzCyBxACpBnAm平面平面(pngmin) :L L / 夹角夹角(ji jio)公式：公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx直线直线 L :),(CBAn ),(pnms 0 ns0nsnsns L第24页/共36页第二

14、十五页，共36页。思考题思考题 在直线方程在直线方程pznymx 6224中，中，m、n、p各怎样取值时，直线与坐标面各怎样取值时，直线与坐标面xoy、yoz都平行都平行.第25页/共36页第二十六页，共36页。思考题解答思考题解答(jid),6,2pnms 且有且有. 0 s, 0 ks, 0 is 0206mp, 0, 6 mp, 0 s, 0 n故当故当 时结论成立时结论成立, 0 m6 p, 0 n第26页/共36页第二十七页，共36页。一、一、 填空题：填空题：1 1、 通过点通过点)3,1,4( 且平行于直线且平行于直线5123 zyx的直线方程为的直线方程为_；2 2、 直线直线

15、 012309335zyxzyx与直线与直线 0188302322zyxzyx的夹角的余弦为的夹角的余弦为_；3 3、 直线直线 003zyxzyx和平面和平面01 zyx在平在平面面012 zyx上的夹角为上的夹角为_；4 4、点点)0,2,1( 在在平平面面012 zyx上上的的投投影影为为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；练练 习习 题题第27页/共36页第二十八页，共36页。5 5、 直直线线723zyx 和和平平面面8723 zyx的的关关系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 直直线线431232 zyx和和平平面面3 zy

16、x的的关关系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 用用 对对 称称 式式 方方 程程 及及 参参 数数 方方 程程 表表 示示 直直 线线L： 421zyxzyx . .三三、 求求过过点点)2,1,3( 且且通通过过直直线线12354zyx 的的平平面面方方程程 . .第28页/共36页第二十九页，共36页。四、四、 求直线求直线 0923042zyxzyx在平面在平面14 zyx上上的投影直线的方程的投影直线的方程 . .五、五、 求与已知直线求与已知直线1L：13523zyx 及及2L： 147510zyx 都相交且和都相交且和3L： 137182 zyx平行的直线

17、平行的直线L . .六、设一平面垂直于平面六、设一平面垂直于平面0 z, ,并通过从点并通过从点)1,1,1( A 到直线到直线L： 001xzy的垂线， 求此平面的方程的垂线， 求此平面的方程 . .第29页/共36页第三十页，共36页。七、七、 求两直线求两直线1L：1101zyx 和和2L：0212 zyx的公垂线的公垂线L的方程，及公垂线段的长的方程，及公垂线段的长 . .八、求过点八、求过点)4,0,1( 且平行于平面且平行于平面01043 zyx又与直线又与直线31311zyx 相交相交的直线方程的直线方程 . .九、九、 求点求点)2,1,3( P到直线到直线 04201zyxz

18、yx的距的距离离 . .第30页/共36页第三十一页，共36页。一、一、1 1、531124 zyx； 2 2、0 0； 3 3、0 0； 4 4、)32,32,35( ； 5 5、垂直；、垂直； 6 6、直线在平面上、直线在平面上. .二、二、311121 zyx, , tztytx31121. .三、三、592298 zyx. .四、四、 014117373117zyxzyx. .练习题答案练习题答案(d n)第31页/共36页第三十二页，共36页。五、五、2257265828 zyx或或1755872zyx . .六、六、012 yx. .七、七、 11x234234 zy或或 010542044zyxzyx, ,1 d. .八、八、28419161 zy