第一型线积分和面积分学习教案

1、会计学1第一型线积分第一型线积分(jfn)和面积分和面积分(jfn)第一页，共29页。2009年5月2注意注意(zh y)：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲线积分记为曲线积分记为上对弧长的上对弧长的在闭曲线在闭曲线函数函数第1页/共28页第二页，共29页。2009年5月3定理定理(dngl)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在其中

2、其中的参数方程为的参数方程为上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设基本思路基本思路:计算计算(j sun)定定积分积分转转 化化求曲线积分求曲线积分第2页/共28页第三页，共29页。证证:01 ,nttt 设设为为上上的的一一个个分分割割. .1, iiitts 相相应应曲曲线线有有一一分分割割，记记上上的的弧弧长长为为1, iiitt dtttsiitti 1)()(22 22()()iiit由积分中值定理由积分中值定理0011lim( ,()lim(,)()niniiddiLiiif x yfsfsdMs 0212(),lim)()()niiiiiift maxmaxiitds

3、记，记，22( , )( )( )( )f x yC Ltt ，连连续续22 ( ),( )( )( )ftttt dt 可积可积)()()(),(22ttttf oxyAB1nA iA1iA 2A1AL()()iiiixy ，( ,)iiiM x y第3页/共28页第四页，共29页。2009年5月5注xdydsdxyo(2) (2) 注意注意(zh y)(zh y)到到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此因此(ync)(ync)上述计算公式相当于上述计算公式相当于“换元法换元法”. ”. (3)( , ),.f x yx y中不彼此独立 而是相互有关的中不彼此独立 而是相互有

4、关的(1).定积分的下限 一定要小于上限定积分的下限 一定要小于上限., 0 iits从而要求从而要求表示弧长，总是正的，表示弧长，总是正的，(4)对称性对称性 .平面曲线积分参照二重积分情况，平面曲线积分参照二重积分情况，空间曲线积分参照三重积分情况空间曲线积分参照三重积分情况第4页/共28页第五页，共29页。2009年5月6._)432(, 13412222 dsyxxyayxll则则其其周周长长记记为为为为椭椭圆圆设设例例dsyxdsyxxyll)43()432(2222 解解12431342222 yxyx又又dsdsyxIll12)43(22 .1212adsl 12a第5页/共28

5、页第六页，共29页。2009年5月7特殊特殊(tsh)情形情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 3):( )(.L rr.sin,cos),(22 drrrrfdsyxfL 第6页/共28页第七页，共29页。2009年5月8推广推广(tugun(tugung):g):)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf第7页/共28页第八页，共29页。2009年5月9 LdsyxI)(计

6、算计算例例1解解.)(;)3, 2()0 , 2()(;)0 , 2()0 , 0()(222的上半圆周的上半圆周是是之间的直线段之间的直线段与与是是之间的直线段之间的直线段与与是是RyxLiiiBALiiLi ()Lxy ds 320(2) 1yx dy 3021(2)2y dy 0 x ( ):2,(03),iiL xy2201xy dx 20 xdx 2 ()Lxy ds 0y ( ):0,(02),iL yx第8页/共28页第九页，共29页。2009年5月10( )sin ,( )cos ,x tRty tRtdsRdt ():cos ,sin (0)iiiL xRt yRtt 20(

7、)(cossin )2Lxy dsRtRt RdtR 第9页/共28页第十页，共29页。2009年5月11形的整个边界。形的整个边界。第一象限内所围成的扇第一象限内所围成的扇轴在轴在及及xxyayxLdseLyx ,:22222oxL2 :y=x2223:ayxL L1: y=0y例例解解1:0(0),Lyxa0,y 2:cos ,sinLxat yatdsdx dsadt 3:(02),Lyxxa1,y 2dsdx (0)4t 22123()xyLLLeds 22xyLeds 0axe dx 40ae adt 22202axedx 2(1)4aaaee 第10页/共28页第十一页，共29页。

8、2009年5月12解解 在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限它在第一象限(xingxin)部分为部分为利用利用(lyng)(lyng)对称对称性性 , , 得得14dLIxs 2404cos da 22 2a 22:cos2,L ra 22404cos()()drrr 1:cos2(0)4Lra 222222,()().cydscxyaxy 求其中 为双纽线求其中 为双纽线例例422cos2ra 第11页/共28页第十二页，共29页。2009年5月13例例5 . 0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解法解法(ji f)一一由对称性由对称性, 知知.222 dszdsyd

9、sx2221()3Ixyzds 故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa222(1)(1)(1) ?Ixyzds 进一步进一步222(2223)xyzxyzds dsa)3(2).3(22 aa 第12页/共28页第十三页，共29页。2009年5月14解法解法(ji f)二二得得代代入入将将2222)(azyxzxy 0)2(223:222zyxaxzxL),cos31(sin2sin22,cos32ttaztaxztax )cos31(sin2)(ttazxy 则则）（,)2(2232222222axzxazzxx 化为参数化为参数(cnsh)方程方程220322

10、2co23s3Lx datadtsa 第13页/共28页第十四页，共29页。2009年5月15(1)( , ),x yL 当表示的线密度时当表示的线密度时( , );Lmx y ds ;,1),()2( LdsLyxf弧长弧长时时当当,),(),()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxLyxf(,)( , ).L A BSf x y ds 柱面面积柱面面积dxyyxfba 21),(zxoy( , )zf x y sLABab第14页/共28页第十五页，共29页。2009年5月16(4),xy曲线弧对 轴及 轴的转动惯量曲线弧对 轴及 轴的转动惯量2222( ,

11、 ),( , ).() ( , ),xyLLoLIxx y ds Iyx y dsIxyx y ds 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5( , )( , ),.( , )( , )LLLLxx y dsyx y dsxyx y dsx y ds第15页/共28页第十六页，共29页。2009年5月17例例 1 1 求柱面求柱面13232 yx在球面在球面1222 zyx内内的侧面积的侧面积. . 解解由对称性由对称性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx参数方程为参数方程为,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdtttt

12、Scossin3sincos182066 .233 第16页/共28页第十七页，共29页。2009年5月18tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 第17页/共28页第十八页，共29页。2009年5月19例例2. 设均匀设均匀(jnyn)螺旋形弹簧螺旋形弹簧L的的方程为方程为cos,sin,xatyat(02 ),zktt (1) 求它关于求它关于(guny) z 轴的转动轴的转动惯量惯量;zI(2) 求它的质心求它的质心(zh xn) .解解: 设其密度为设其密度为 (常数常数).2

13、2() dzLIxys 220a 22dakt 2222 aak(2) L的质量的质量dLms 222ak而而dLxs 22aak 20cos dtt 0 (1)xyzOak第18页/共28页第十九页，共29页。2009年5月20dLys 22aak 20sindtt 0 dLzs 22kak 20dtt 2222kak故质心故质心(zh xn)坐标为坐标为( 0 , 0 ,)k 第19页/共28页第二十页，共29页。2009年5月21例例322222()()zLIxyxyz ds 解解(1)22222 22222223 2030322222()8(2)3kaak tak dtaaka tta

14、akak 222zcossin ,(02 ),( , , )1.2( , , ).xatyat zkttx y zxyzzIx y z设螺旋线，设螺旋线，线密度，线密度，求（ ）关于 轴的转动惯量求（ ）关于 轴的转动惯量（ ）它的重心（ ）它的重心第20页/共28页第二十一页，共29页。2009年5月22( , , )( , , )( , , );,LLLxx y z dsyx y z dszx y z dsxyzmmm2222222 222022223 232220238( , , )(2)3)()LLkx y z dsxyz dsak tak dtaak a ttmak ak 解解(2)

15、222 2220222222( , , )()2(2)Lkt ak tak dtk azkay z dskx 22222222222322222( , , )2(23(2)34)8(2)3Lzx y z dsk akakmak akzkaakk 第21页/共28页第二十二页，共29页。2009年5月232222 200222 222002222220022 220() sinsin ()2sin2cos2coscos ()42cosdtak tdtt ak tk ttdtk tdtk ttt ak tktdtk 22232222222263( , , )48(2)43Lxx y z dsk a

16、 akmakakkakax 22 2222022222 22220( , , )cos (4co)s (Lxx y z dsaak dta akt ak tdtkkt ak ta a 第22页/共28页第二十三页，共29页。2009年5月242222232222222( , , )48632)4(3Lyx y z dsk a akmakakaakyk 22222 222 202220( , ,sin()sin(Lyx y z dsaak dttak ttaka atkdt 2222 200222 22200222202222220022 222() cos()2cos42sin42sin 2s

17、sin()cos4indtak tdtak tk tttak tdtkk tdtkk ttktdktt 22224k a ak 第23页/共28页第二十四页，共29页。2009年5月251 1、对弧长曲线积分、对弧长曲线积分(jfn)(jfn)的计算的计算2 2、对弧长曲线积分、对弧长曲线积分(jfn)(jfn)的应用的应用第24页/共28页第二十五页，共29页。2009年5月26一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲线形构件已知曲线形构件L的线密度为的线密度为),(yx , ,则则L的质量的质量M= =_；2 2、 Lds= =_；3 3、 对对_的曲线积分与曲线的方向无关；的曲线积分

18、与曲线的方向无关；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _ . .二、二、 计算下列求弧长的曲线积分计算下列求弧长的曲线积分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其中其中L为圆周为圆周222ayx , ,直线直线xy 及及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；练习题练习题第25页/共28页第二十六页，共29页。2009年5月27 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L为折线为折线ABCD, ,这里这里DCBA, 依次为点依次为点(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其中其中L为曲线为曲线 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、计算、计算 Ldsy, ,其中其中L为双纽线为双纽线 )0()()