空间向量测试题

1、空间向童练习1. 在空间1角坐标集中点P(1.2.3)关于平面“二对称的点的坐标足A.(1.-23)8.(-1.2.-3)C.(7-2.3)0.(3)2. 若直线/的个方向向城刁=(2,2,-2)平而a的个法向械为b=(1,1-1)WJ()A./丄aB.I/CaD.Asc/Bffnj偿3以下四组向ilt中.互相平行的有(>组.(1)a=(1,2,1).石=仏一2,3)(2>"(S,4,Y)5=(4,2,-3).(3)«=(O.L-l)fr=(0J-3)<4)«=(-3,2,0)ft=(4-33)A.-B.二C.三D.四4.若ABCD为平行Pl边形

2、.jlA(4,1.3).(2,-5)C(-17-5).則顶点Q的坐标为a.(713,-3)b.(2,3,1)c.(-3,1,5)D.|f,4厂15.如上I轧向ht&Ea的起点与终点均在iE方形网格的格点上.则向城a川堆底石兀衣示为()C.2q+色D.2竹+ez4'KIR*阳導J'(A.j(b+S5)B.j(a+be)C.j(a-b-b)0.ab)8己知向fi茴=(2,73)$=(7,2,x)使a丄&成立的x与tta/&成立的x分别为()10«10<1010«33339若$=(23)hs(4,-l+y)«且&ii

3、&HIy=<A.6B.5C.7D.810. 已知向ffla=(2-L2),ft=(2,2,l)以N5为邻边的平行四边形的而积<)1J65A.J65B.-LC.4D.811. 如图所示.空何四边形atBC中.OAa.OBlKOCc点M在04上.且OM=2MAN为BC中点.則等于()6.已知A(46)B-3；|右下列向血®d=(14,9):方=(7,斗)厂=；-?-3|:F=(T9)其中.与直线阳平行的向如)A.B.CD.7.已知三RtlliO-ABC点MN分别为AB.OC的中点IlOA=a.C®=b.OC=c-用二b.裁A.U二b+YB.二“+"

4、+(C.Z>cD.二“+二bY23232222333212.在空何直角坐标集O-.w中.点(1,2,-2)关干点(一LOJ)的对称点兄()A.(-3-2,4)B-(3,-2,-4)C.(-3,2-4)D.(-3,2,4)13. 已知向=且财+5与玄互郴垂直.則点二<>1111A.8.C.0.-323214. ft球的球心为空何程角坐标集的脈点O球而上冇两个点A«B其坐杯分别7X1.12).(2.72J).MlABI=()A.18B.12C.3也D.2$15. 已知A(X5.6)点卩在、轴上PAI-7.则点P的坐标地()A.(0.8.0)B(0.2.0)c.(0.&a

5、mp;0吸020)0.(0.-8.0)16与向ita=(0.2一4共线的<)A(20.-4>B(3.6一12)C.<1.2一2)D|I饲若向J|=(1,2,0)ft=(-2,0.1)则Dp|=|6|A.co5a,6=120B.aLbC.a/b22. 点"(2,-1,3)在坐标平而XOZ内的投彤点坐标为:23. 已知向血.(1,1,0).6g，且站与痂互相垂宜则k的值是24. =(k.OA).a.b的夹和为60，则及=25若4(0,2,).fi(l,-1,-)C(-2丄?)是平面°内的三点设平面a的法向fta=(x,y).SS8则x:y：z=26. 已知向f

6、t«=2-L2)fh=1h則川的(ft为27. 在空间坐杯系中.已知三点A<1.0.0>.B(0.1.0>.C(0.0.1>.則平面ABC的班位法向債足.28若向tt5=(4,2.-4),i=(6-3,2)则(2万一5)石十壬)二29.如图.在个60啲二面角的梭上冇两个点ABACBD分别足在这个二而角的两个半平面内唯直fAB的线段.且AB=4.AC=6.BD=8.則CD的氏为18.£：*、&的坐标满足rt+ft=(-2,-l,2)“一：=(4,一3,2)则aZ等干a.5B.-5c.7D.-119.已知点A(-2,3,6)与点H(3,5,4)K

7、iAB的中点坐标为20.在如图所乐的长方体中.已知人血0c).C(0.b,O).則点6的坐标为21.如图所示的长力体ABCD?AiBQD中.DA1二8IDC1=6fDDi|=3.則D】Bi的中点卜啲坐标为|DM|=.30.如图建立空何"坐标系.己知正力体的棱长为2.(1>求正力体补顶点的坐标:(2>求AiC的长度.31(2015ft河画区期末己知;二(1,5,-1),V=(-2.3,5)B(i求直线Aq与鸟。所成角:(2求H线Aq与平面B/DQI无成角的止戎DI|C1(1廿(k；tb)H<；-3b)求实数k的值<2>n(k；tb)丄)求实数k的“仁32.

8、 P是平而ABCD外的点.W边形ABCD足平行四边形.4=(2.-L-4),AD+(4>2.0),AP=(-L2.-1),求证PA瞧直平面ABCD33. 长中.4/?=2.«C=l.A4l=l35.MmSABCD中.SI)丄AD.SD丄CD.EftSC的申点.0足&而正方形ABCI)(r心.4B-SD-6(I求证：E0面SAD：(II求1线EO'j平而ABCDififA的你34.(本大題丄2分)如图.在较长为a的正方体ABCO-AiBiCiDi中.E、F、G分别ftC8.CD、CCX的中点.(1求丸线AC*j平而ABCD所成角的止处的值：(2)求证：平面ABiD

9、ill平ffiEFG:(3求证：平面AAiC丄面EFGDC的中点.求解下列何题(I直线M；与平而ABfi所成曲的jEWtfl:(II二而角的大小.38.在边长兄2的止方体ABCD-AC.DE,F分别为ABA.C的中点应用空何向fit方法(1求EF的长：(2证明：EF/平面AAD:(3证明：EF丄平而CD.37.(本小題满分23分己知-片耳GQ,是边长为1的匸力体.求:参考答案1. A【解析】在空间直角坐标系中，两点关于平面XOZ对称，竖坐标互为相反数，点的坐标是点P(l,2,3)关于平面xoz对称的点的坐标是(1，2,3),选A.2. A【解析】直线/的一个方向向量&=(2,2,2),

10、平面a的一个法向量为5=(1丄一1)且a=2b,即a/b.所以/丄a.故选A.3. B【解析】若T与T平行，则存在实数；I使得ahah经过验证，只有(2)t=2=，两组满足条件。故答案选4. A【解析】设D(Xo，)'o，%L莊=(2_4,_5_1,1_3)=(-2,-6,-2).»C=(-3-Xo,7-yo，-5-Zo),在平行四边形ABCD中，DC,_3_兀=7_凡=-5-為，262又BC=(-3-2,7-(-5),-5-1)=(-5,12-6),AD=(兀一4,儿一1,-3)，BCAD,x()_4_)'o_l_為_3"-5一12一6M联立，解出：xQ=

11、-1,y°=13,=-3故选A5. C【解析】以向量可的起点为原点，向量石所在直线为x轴建立平面直角坐标系。设正方形的边长为1»则可=(1,0),巨2=(1,1)皿=(一3,1)o设a=xeY+ye2,贝0(-3,1)=x(l,0)4-y(-1,1)=(x-y9y),x-y=-3/zx=-2十，解得,妙以a=-2e.+e选C。yiy=i'点睛：由平面向量基本定理可知，在确定了平面的基底后，平面内的任一向量都可以用这组基底唯一表示，但并没有给出分解的方法。常用的方法有两种：(1)根据向量的线性运算，将已知向量向着基底转化；(2)先确定向量和基底的坐标，根据待定系数法建

12、立方程组，通过代数方法求解。【解析】由题意可得莊=(-7,多由向量共线的条件可以判断向量a.b.c与向量恥平行，即向量a.b.c与直线AB平行。选Co7.D【解析】阿二ON?OM=OC?(OA+OB)=孰孰菲=(c?a?b),故选D.【解析】向量N=(2厂1,3)上=(-4,2,砂f42x若a/b,则=解得x=62-13故选A.9.C【解析】由QII5,a=(2,3),5=(4,-l+y),得2(l+)，)=4x4,解得y=7.故选C.10A【解析】由题意，八:_2x2-lx2+2xl问艸>/22+(-1)2+22-a/22+22+12乎，所以平行四边形的面积为S=2x-ix|j|/?|

13、siii(,Z?)=3x3x=5/6?,故选A.【解析】由题意，以OA.OBOC为基底建立空间向量，顾佔一丽葩+期一訶"紳+亦+扌（况应卜2-1匸1-a+-b+c322,故选B.12A【解析】设所求点为则x+l=2,y+2=02=2,解得x=_3,y=2,z=4,故选A.13.B【解析】根据题意，肋+方=£(1丄°)+(一1，°，2)=伙一1，仁2)，因为(kd+b)丄0,所以(Rd+/Qa=O,贝ilx(kl)+kxl+0x2=0,即k=-,故选314C【解析】A,B两点的坐标分别是A(1,2,2),B(2,?2,1),二|AB|=&2?1尸+

14、(?2?2尸+(1泛)2=3电,故选C.15. C【解析】依题意设P(O,b,O),根据|PA|=V22+(b-5)2+62=7,解得b=2,8,所以选C.16. D【解析】(1(1试题分析：(024)=40,1,所以向量(02-4)与0,1共线i2丿2)考点：向量共线17D【解析】试题分析：因为向量方=(1,2,0),厶=(一2,0,1),所以方=lx(2)+2x0+0xl=2,排除B；a=Vl2+22+02=Ib|=yl(-2)2+02+12=>/5,所以a=|5|»应选D.cos(a,b=1X(-2)22>：0+0x1=-,A错，如果历兀则存在实数兄使a=Ab.显然

15、'/纠5不成立，所以答案为D考点：向量的有关运算.18B【解析】试题分析：因为：+&=(2,1,2),：3=(4,3,2),所以a=(1,-2,0),5=(-3,1,2),所以«5=1x(-3)+(-2)xl+2x0=-5.考点：本小题注意考查向量的坐标运算.点评：向量的坐标运算是高考经常考查的内容，难度一般较低，灵活运用公式计算即可.19传,4,5L【解析】4中点为(-2+33+54+620.(a,b,c)【解析】在如图所示的长方体ABCDAbCQ、中，己知A(g0,c),C(0,b,0),nJ以得知AD=cbDC=b,DD、=c,又.长方体ABCD-AQCp,可以

16、得知B的坐标为(a,b,c)故答案为(a,b,c).21. (4,3,3)屈【解析】由图可知:D(0,0,3)3(8,6,3).M为DiBi的中点,由中点坐标公式可得M(4,3,3).由两点间距离公式有：DM=W+32+32=故答案为：(4,3,3),.、庙.22. (2,0,3)【解析】设所求的点为Q(X,y,z),P、Q两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标为0,即x=2,y=0,z=3,得Q坐标为(2,0,3)723. 5【解析】由己知,据向量坐标的线性运算可得ka+b=(k?l,k,2),2a-b=(3,2,?2),两向量互相垂直，则数量积为0.则有3x(k?l)+2k?2x2=0,解得k

17、=.故本题填24. 2【解析】试题分析：有已知可得a=2,b=7F+T2b=2*+1cos60=®k=考点：向量的数量积运算25. 2：3：(-4)【解析】试题分析：由4(0,2,普),3(1,-1,計,<7(一2,1寻)得亦=(1,-3,-孑),必=(-2,-1,-孑)由向量的数量积的运算法则有解得y=-Z,X=-LZ所以x:y：z=因为为平面的法向量，则有ABa=0,ACa=0故正确答案为2:3:(-4)考点：空间向量的法向量.26. 5【解析】试题分析：由题可知:万=(2厂1,2),5=(-427)，且万丄方，有2x(-4)+(-l)x2+27=0,艮卩m=5考点：空间向

18、屋垂直的充要条件27.仔半另【解析】试题分析：三点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),_所以恥二(-1,1,0),AC=(-1,0,1)，令平面ABC的法向量为"二(x,y,z),y=x,/x=y=znAB=0可得彳n-AC=0平面ABC的法向量为/=(x,y,z)为单位法向量，/+)/+F=1,解得x=y=z=±,故平面ABC的单位法向量是3(333丿考点：平面的法向量.2&4【解析】试题分析：因为a=(4,2-4),=(6-3,2),所以(2&-6)"+2万)=(2(424)(3,2)(42-4)+2(63,2)=(2,7厂1

19、0)(16厂40)=4考点：本题主要考查空间向量的坐标运算。点评：简单题，利用空间向量的坐标运算公式，计算要细心。29.2a/17【解析】在一个60。的二面角的棱上，有两个点A、B,AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,or=(CA+AB+BD)=CK+AZT+BD+2CAAB+2CABD+2ABBD=36+16+64+2x6x8xcosl20°=68CD=2VT7故答案为2030. (1)详见解析；(2)2§.【解析】试题分析：(1)根据空间坐标系的定义，易得各点的坐标；(2)要求空间中两点的距离，可直接利

20、用空间两点的距离公式d=J(X1-X2)2+(yiy2)2+(Z1-Z2)2求解出来.试题解析：(1)正方体各顶点的坐标如下：Ai(0,0,0),EK0,2,0),Ci(2,2,0),Di(2,0,0),A(0,0,2XB(0,2,2),C(2,2,2),D(2,0,2).(2)解法一：|AiC|=22+22+22=2谄.解法二:/|AiCi|=2|AAi|=2,在RtA.AiCi中，|AC=|AAi|2+|AiCi|2,|ACi|2=22+(2返产=12,-|ACi|=2返-|AiC|=2返31. (1)k二-寺(2)k=-【解析】试题分析：(1)根据空间向量的坐标运算以及向量的共线定理，列

21、出方程求出k的值：(2)根据两向量垂直，数量积为0,列出方程求出k的值.解：(1)書二(1,5,-1),b=(-2,3,5)，ka+b=(k-2,5k+3,5-k),a-3b=(了，-4,-16):又(kq+b)”(a_3b)*.k_25k+35_k'二，二，,7-4-16解得k=-:3(2)*/J:L(kq+b)丄(n-3b)，(ka+b)(a"3b)二6即7(k-2)-4(5k+3)-16(5-k)=0,解即k普考点：空间向屋的数量积运算.32.【解析】证明：乔乔=2x(1)+(l)x2+(4)x(1)=0=>乔垂直于方即4P垂直于AB.乔乔=(-1)x4+2x2+

22、(-l)x0=0=>乔垂直于莎即4P垂直于AD.PA垂直平面ABCD.33.(1)直线人2与所成角为90。；(2)【解析】试题分析：以D为原点建系1分(1)cos(AD、Bp)=03分直线力2与所成角为90。5分(2)平面的法向量为=(-2丄0)7分siii0=|cos“,AD)|=所求角的正弦值为乎10分考点：立体几何中的角的计算，空间向量的应用。点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体枳的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思

23、路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。34.(1)smACA=-=；(2)见解析；(3)见解析。AC3【解析】试题分析：因为A/丄平面ABCD,所以ZAC4为4C与平面ABCD所成角，然后解三角形求出此角即可.(2)证明面面平行根据判定定理只须证明平面平面ABiDi内两条相交直线人的和济分别平行于平面EFG即可.在证明线面平行时又转化为证明线线平行.(3)易证：BD丄平面AAiC,再证明EF(1)VACn平面ABCD=C,在正方体ABCD-AiBiCiDiAkA丄平面ABCDAC为A.C在平面ABCD的射影为与平面ABCD所成角2分正方体的棱长为d/.AC=yfla,AC=羽c

24、ismA.CA=-=-4分1AC3(2)在正方体ABCD-AiBiCiDi连接BD,DD产EBDp为平行四边形:DB、DB:E,F分别为BC,CD的中点EFBD.EF£B3分TEFu平面GEF,(Z平面GEF:.DB平面GEF7分同理AB/平面GEFVD、Bc平面ABiDi平面EFG9分(3)在正方体ABCD-AiBiCiDiAA4丄平面ABCDTEFu平面ABCD:.A4丄EF10分VABCD为正方形AAC1BDEFBDAC丄EF.11分AAnAC=A'EF丄平面AAiCTEFu平面EFG平面AAiC丄面EFG.12分.考点：斜线与平面所成的角，线面垂直，面面垂直，面面平行的判定.点评：斜线与平面所成的角就是斜线与它在这个平面内的射影所成的角，因而关键是找到它在这个平面内的射影.面面垂直（平行）证明要转化为证明线面垂直（平行）再转化为线线垂直（平行）.35（【）