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1、第一章 离散时间信号与系统1.1 离散时间信号离散时间信号-序列序列1.2 离散时间系统离散时间系统1.3 线性差分方程的求解线性差分方程的求解1.4 时域采样定理时域采样定理1.5 本章本章Matlab相关程序相关程序主要内容：主要内容：1.1 离散时间信号离散时间信号(序列序列) Discrete-time signals (Sequences)(10125. 0256103233秒秒 T一、离散时间信号的由来一、离散时间信号的由来离散时间信号（又称序列），离散时间信号（又称序列），是连续时间信号以是连续时间信号以时间。时间。T等间隔采样得到的等间隔采样得到的,T称为采样间隔（单位称为采样

2、间隔（单位:秒）秒）。32ms256 samplesv 一般，采样间隔是均匀的，用一般，采样间隔是均匀的，用x(nT)表示离散时表示离散时间信号在间信号在nT点上的值，点上的值，n为整数为整数。由于。由于x(nT)顺序顺序存放在存储器中，我们通常直接用存放在存储器中，我们通常直接用x(n)表示离散表示离散时间信号序列时间信号序列。3T3T 4T4T 5T5T 6T6T 7T7T 8T8T 9T9T t=nTx(t)|t=nT=x(nT)T T2T2T0 00 0T T 2T2T 3T3T 4T4T 5T5T 6T6T 7T7T 8T8T 9T9T0 01 12 23 34 45 56 67 7

3、8 89 9nx(n)二、离散时间信号的表示方法二、离散时间信号的表示方法1、用枚举的方式、用枚举的方式(数列形式数列形式)表示：表示： x(n) = 3，4，2，1，0，5，7，8 注：用箭头标出注：用箭头标出n=0在序列中的位置，上面序列在序列中的位置，上面序列 的的x(0)=12、用公式表示、用公式表示：)sin()( nAnx 0302)(nnnxnn因为因为n只能取整数，所只能取整数，所以两种写法是一样的。以两种写法是一样的。1 n3、用图形的方式表示、用图形的方式表示：x(0) = 2x(1) = 1x(2) = 2x(3) = 30 01 12 23 34 4 5 56 6 7

4、78 89 9nx(n)-1-11 12 21 11 1-1-1-2-22 22 22 23 33 31010 1111v 图中横坐标图中横坐标n表示离散的时间坐标，仅在表示离散的时间坐标，仅在n为整数时才有意为整数时才有意 义，纵坐标代表信号点的值。义，纵坐标代表信号点的值。4、用单位抽样序列表示、用单位抽样序列表示.三、序列的基本运算三、序列的基本运算1、序列的和、序列的和 ：v 两序列的和是指两序列的和是指同序号同序号n的序列值的序列值逐项对逐项对 应相加应相加而构成而构成的新序列。的新序列。z(n) = x(n) + y(n) z(0) = x(0) + y(0) = 3z(1) =

5、x(1) + y(1) = 2z(2) = x(2) + y(2) = 3z(3) = x(3) + y(3) = 2z(4) = x(4) + y(4) = 2 x(n)n01 2 3 4 5 62121 1y(n)n01 2 3 4 5 611 11 1z(n)n01 2 3 4 5 632 223 仿真实验仿真实验(Matlab) x1=wavread(w1.wav); x2=wavread(w2.wav); y=x1+x2; figure(1); plot(x1); grid on; figure(2); plot(x2); grid on; figure(3); plot(y); g

6、rid on; wavwrite(y,w3.wav); 实验结果实验结果 y(n) = x1(n)+ x2(n)x2(n)x1(n)y(n)w1.wavw2.wavw3.wav2、序列的积、序列的积 ： 两序列的积是指两序列的积是指同序号同序号n的序列值的序列值逐项对应相乘逐项对应相乘而构成而构成 的新序列。的新序列。z(n) = x(n) * y(n) z(0) = x(0) * y(0) = 2z(1) = x(1) * y(1) = 2z(2) = x(2) * y(2) = 2z(3) = x(3) * y(3) = 2z(4) = x(4) * y(4) = 1 x(n)n01 2

7、3 4 5 62121 1y(n)n01 2 3 4 5 611212z(n)n01 2 3 4 5 6222213、序列的移位、序列的移位 ：y(n) = x(nm) 设有一序列设有一序列x(n)，当当m为正时：为正时： x(n-m)表示序列表示序列x(n)逐项依次逐项依次右移右移m位后得到的序列。位后得到的序列。 x(n+m)表示序列表示序列x(n)逐项依次逐项依次左移左移m位后得到的序列。位后得到的序列。nx(n)01 2 3 42113n01 2 3 4 5 6213x(n+1)213x(n-1)n0 1 2 3 4 5-1-2-3213213x(0)=1x(1)=2x(2)=3v 实

8、例：实例： 序列右移（序列延迟）的应用序列右移（序列延迟）的应用延时单元可以将以前的某采样时刻的数据暂存起来，参延时单元可以将以前的某采样时刻的数据暂存起来，参与这个时刻的运算。与这个时刻的运算。回声可以用延迟单元来生成。直接声音和它的延迟了回声可以用延迟单元来生成。直接声音和它的延迟了R个周期的单个回声可以用下面的式子来表示（个周期的单个回声可以用下面的式子来表示（ 为为回回声的衰减系数）：声的衰减系数）：1|)()()( Rnxnxny1|)1()2()()()(12 RNnxRnxRnxnxnyN 为了生成间隔为为了生成间隔为R个周期的多重回声，可将上式改为：个周期的多重回声，可将上式改

9、为：原声：原声： =0.3, R=5000混响混响1： =0.3, R=10000 混响混响2：4、序列的反褶、序列的反褶 ：y(n) = x(-n) 设有序列设有序列x(n)， 则则x(-n)是以是以n=0为纵轴为纵轴将将x(n)反褶后的序列。反褶后的序列。x(n)n0 1 2 3 4 5 62113-1-2-3-4x(-n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213x(n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213213213x(n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213213213nx(-n)0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213213213x(-n

10、)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213213213v 思考：思考：x(-n+1)和和x(-n-1)与与x(-n)的移位关系？的移位关系？x(0)=1x(1)=2x(2)=3x(n)n0 1 2 3 4 5 62113-1-2-3-4x(-n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213x(-n+1)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213x(-n-1)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213x(-n+1) 是是x(-n) 右移一位后的序列右移一位后的序列x(-n-1) 是是x(-n) 左移一位后的序列左移一位后的序列v 仿真实验仿真实验(Matlab)x

11、 = wavread(w2.wav); y = fliplr(x); figure(1); plot(x); grid on; figure(2); plot(y); grid on; wavwrite(y,w4.wav); %读入声音文件读入声音文件%反褶反褶%画图显示结果画图显示结果%结果保存为声音文件结果保存为声音文件x(n)y(n)=x(-n)w2.wavw4.wav5、累加、累加 设序列设序列x(n)，则则x(n)的累加序列的累加序列y(n)定义为：定义为： nkkxny)()( 101)()(2121nnnxn 101)()(12121nnnynkn它表示它表示y(n)在某一个在某

12、一个n0上的值等于这一个上的值等于这一个n0上的上的x(n0)以及以及n0从从前的所有前的所有n值上的值上的x(n)值之和。值之和。例如例如：6、差分运算、差分运算v 前向差分：前向差分：)()1()(nxnxnx v 后向差分：后向差分：) 1()()(nxnxnx)1()( nxnx差分运算反映了序列差分运算反映了序列x(n)的幅值变化规律。的幅值变化规律。7、序列的时间尺度（比例）变换、序列的时间尺度（比例）变换 设某序列为设某序列为x(n)，则其时间尺度变换序列为则其时间尺度变换序列为x(mn)或或 x(n/m)，m为正整数。为正整数。v x(mn) 为抽取序列为抽取序列v x(n/m

13、)为插值序列为插值序列抽取序列抽取序列：插值序列插值序列： 8 8、卷积和、卷积和v 卷积积分卷积积分是求是求连续连续线性时不变系统线性时不变系统输出响应输出响应的主要方法。的主要方法。v 卷积和卷积和是求是求离散离散线性时不变系统线性时不变系统输出响应输出响应的主要方法。的主要方法。h(t)h(t)x(t)x(t) dmmthmxthtxty)()()()()(h(n)h(n)x(n)x(n) mmnhmxnhnxny)()()()()(多项式乘法多项式乘法v上式结果多项式中系数通过上式结果多项式中系数通过先逐项相乘再合并同先逐项相乘再合并同类项类项的方法得到，需的方法得到，需两步操作两步操

14、作才行。才行。有没有办法一次操作就可以得到这些系数呢？ 2322321252525375xxxxxxxxxxx这种计算方法总结如下：这种计算方法总结如下：反褶反褶：一般多项式都是按：一般多项式都是按x x的降的降幂排列，这里将其中一个多项幂排列，这里将其中一个多项式的各项按式的各项按x x的升幂排列。的升幂排列。平移平移：将按：将按x x的升幂排列的多项的升幂排列的多项式每次向右平移一个项。式每次向右平移一个项。相乘相乘：垂直对齐的项分别相乘：垂直对齐的项分别相乘求和求和：相乘的各结果相加：相乘的各结果相加反褶、平移、相乘、求和反褶、平移、相乘、求和这是这是 “卷积卷积”的计算过程。的计算过程

15、。多项式相乘，相当于系数卷积多项式相乘，相当于系数卷积233152xxxxx22222152323xxxxxxx21527527xxxxxxx215255xxx卷积的表达式卷积的表达式多项式多项式 的系数的系数多项式多项式 的系数的系数二者想乘所得的多项式二者想乘所得的多项式 的系数的系数 101 1aa1x225xx 21(0)1 2 5bbb32375xxx 32101 3 7 5cccc利用上面的计算方法，我们很容易得到：利用上面的计算方法，我们很容易得到： 0001011120202122130:3230cabcabababcababababps aab卷积公式推广卷积公式推广在上面的

16、基础上推广一下：在上面的基础上推广一下： 40413223140cababababab假定两个多项式的系数分别为假定两个多项式的系数分别为 ,0 1,0 2a nnn b nnn这两个多项式相乘所得的多项式系数为才这两个多项式相乘所得的多项式系数为才c c（n n），则；，则； 0,0 2kc na k b nknnan上面这个式子就是的上面这个式子就是的 卷积的表达式卷积的表达式通常我们把通常我们把 的卷积记为：的卷积记为： ，其中其中* *表示卷积运算符。表示卷积运算符。 ,a nb n ,a nb n *a nb n多项式乘法给了我们启发：如果信号可以多项式乘法给了我们启发：如果信号可以

17、分解为类似多项式的这种形式分解为类似多项式的这种形式：2210,a xa xa同时满足同时满足0nxf n则两个信号相乘的结果就可以通过卷积计算则两个信号相乘的结果就可以通过卷积计算注：之所以强调，注：之所以强调， 是因为频谱分析通常关心各是因为频谱分析通常关心各频率成分的大小（任何一个周期信号都可以表示为多个频率频率成分的大小（任何一个周期信号都可以表示为多个频率分量之和；直流分量，基波分量（角频率分量之和；直流分量，基波分量（角频率 ），），2 2次次谐波分量（角频率为谐波分量（角频率为 ），），3 3次谐波分量（角频率为次谐波分量（角频率为 ）等等，所以我们希望多项式中的各项是等等，所以

18、我们希望多项式中的各项是 的函数。的函数。0nxf n002f02030n上面这种把信号表示成形式类似于多项式的方法，本质上就是傅里叶级数展开，多项式中各项的系数实际就是傅里叶系数：时域相乘，相当于频域卷积时域相乘，相当于频域卷积卷积和计算的四个步骤卷积和计算的四个步骤: n-2, y(n)=0举例说明卷积过程举例说明卷积过程n=-1n=0n=1y(-1)=8y(0)=6+4=10y(1)=4+3+6=13n=5n=6n=7y(5)=-1+1=0y(6)=0.5y(n)=0, n7( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm() ( )n kx nk h k nmkmnk

19、( ) ()( )( )kh k x nkh nx n 卷积和与两序列的前后次序无关卷积和与两序列的前后次序无关四、常用的典型序列四、常用的典型序列1、单位取样序列、单位取样序列 (n) -Unit sample sequence 0001)(nnn (n)n0 1 2 3 4 5 61-1-2-3-4v ( (n)n)是一个脉冲幅度为是一个脉冲幅度为1 1的的现实序列。现实序列。v ( (t)t)是脉宽为零，幅度为是脉宽为零，幅度为 的一种数学极限，是的一种数学极限，是 非现实信号。非现实信号。 v单位取样序列亦称单位脉冲序列，或时域离散冲激。单位取样序列亦称单位脉冲序列，或时域离散冲激。

20、v 用单位取样序列用单位取样序列 (n)表示任意序列表示任意序列 (n)n0 1 2 3 4 5 61-1-2-3-42 (n-1)n0 1 2 3 4 5 62-1-2-3-4( )( ) ()mx nx mnm可以将任意序列表示成单可以将任意序列表示成单位抽样序列的位抽样序列的移位加权和移位加权和x(n)=3 (n-2)n0 1 2 3 4 5 63-1-2-3-4 (n) +2 (n-1)+3 (n-2)n0 1 2 3 4 5 63-1-2-3-41220() ()mx mnm(其中，其中，x(0)=1, x(1)=2, x(2)=3)2、单位阶跃序列、单位阶跃序列u(n) -Unit

21、 step sequence u(n)n0 1 2 3 4 5 61-1-2-3-47 8 9 1010( )00nu nnv 用用单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)表示表示单位取样序列单位取样序列 (n)：( )( )(1)nu nu nv 用用单位取样序列单位取样序列 (n)表示表示单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)：0( )()mu nnm3、矩形序列、矩形序列RN(n) - Rectangular sequence 101( )0NnNRnnRN(n)n0 1 2 31N-1 v 用用单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)表示表示矩形序列矩形序列RN(n)：( )( )()NRnu nu nNv

22、 用用单位取样序列单位取样序列 (n)表示表示矩形序列矩形序列RN(n) ：10( )()NNmRnnm4、实指数序列、实指数序列 Real-valued exponential sequence0( )( )00nnanx na u nnv 当当|a|1时时，序列发散。序列发散。v 当当|a| 1时，序列收敛。时，序列收敛。v 当当|a| 1，且且a0时，序列是摇动的时，序列是摇动的 5、正弦序列、正弦序列 -Sinusoidal sequence 00 ncos)n(x,nsin)n(x 正弦序列的由来正弦序列的由来对连续时间正弦信号取样可以得到正弦序列。对连续时间正弦信号取样可以得到正弦

23、序列。 tsin0 取取 样样nTt 00 nsinnTsinT00 其中，其中， ，T T是取样间隔是取样间隔( (取样周期取样周期) )。 0 0称为数字域频率，称为数字域频率， 0 0称为模拟域频率。称为模拟域频率。 数字域频率和模拟域频率数字域频率和模拟域频率v 数字域频率是模拟域频率的数字域频率是模拟域频率的T T倍，以后我们就以倍，以后我们就以 表示数表示数 字域频率，字域频率， 表示模拟域频率（表示模拟域频率（ 也也表示模拟域角频率表示模拟域角频率 ， 2 2 f f，f f表示模拟域线频率）。表示模拟域线频率）。 v 当序列是周期的时，表示正弦序列的序列值重复变化的当序列是周期

24、的时，表示正弦序列的序列值重复变化的 快慢。快慢。 例：例： 0.010.01 ，则序列值每，则序列值每200200个重复一次正弦循环个重复一次正弦循环 0.10.1 ，则序列值每，则序列值每2020个重复一次正弦循环个重复一次正弦循环 v 的量纲为弧的量纲为弧/ /秒，秒， 的量纲为弧。的量纲为弧。5 5、复指数序列、复指数序列 Complex-valued exponential sequence( )cossinj nx nenjnv 复指数序列复指数序列ej n 作为序列分解的基单元，作为序列分解的基单元， 在序列的傅里叶分析中起着重要的作用。在序列的傅里叶分析中起着重要的作用。 五、

25、五、序列的周期性序列的周期性 1 1、定义、定义 如果对于所有如果对于所有n存在一个最小的正整数存在一个最小的正整数N，使得：使得： x(n) = x(n+N) 成立，则称成立，则称x(n)为周期序列，周期为为周期序列，周期为N。 2 2、正弦序列的周期性、正弦序列的周期性 正弦信号：正弦信号：)sin()(0nAnxsin)sin()(000 nNANnANnx 若若 N 02k ，当当k为整数时为整数时(即即N 0为为2 的整数倍的整数倍)，则有：，则有：x(n)=x(n+N)，x(n)为周期信号。为周期信号。 观察观察 N 02k ： (即即 )kN 02(1) 当当 2 / 0 为整数

26、时：为整数时： k=1，则则N= 2 / 0 为最小整数，且保证为最小整数，且保证x(n)=x(n+N)。序列 ( )5sin(3)4x nn(2)2/为有理数而非整数时，仍然是周期序列，周期大于为有理数而非整数时，仍然是周期序列，周期大于2/序列 3( )2cos(7)4x nn(3) 当当 2 / 0 为无理数时：为无理数时： 任何任何k都不能使都不能使N为整数，此时为整数，此时x(n)不是周期性的。不是周期性的。 一个正弦序列若由一个连续正弦信号抽样而得，一个正弦序列若由一个连续正弦信号抽样而得，那么抽样时间间隔那么抽样时间间隔 T T 和连续正弦信号的周期和连续正弦信号的周期 T T0

27、 0 之之间应该是间应该是什么关系什么关系才能使所得到的才能使所得到的抽样序列仍为周抽样序列仍为周期序列期序列？3 3、讨论、讨论 设连续正弦信号为设连续正弦信号为x(t)x(t)： )sin()(0 tAtx 连续信号连续信号x(t)x(t)的角频率为的角频率为002 f 连续信号连续信号x(t)x(t)的周期为的周期为00021 fT若对若对x(t)x(t)抽样，设抽样时间间隔为抽样，设抽样时间间隔为T T，有：有： )sin(| )()(0 nTAtxnxnTt若令若令 0 0为数字频率，它满足：为数字频率，它满足：00000221TTfffTss 其中其中f fs s是抽样频率，是抽样

28、频率， 0 0是相对频率，是连续信号角频率是相对频率，是连续信号角频率 0 0相对抽样频率相对抽样频率f fs s的频率。的频率。)sin(| )()(0 nTAtxnxnTt)sin(0 nA在分析一个序列的周期性时，是通过分析在分析一个序列的周期性时，是通过分析2 2 / / 0 0的值来实现的。的值来实现的。(1) (1) 当当 2 2 / / 0 0 为整数时：为整数时：TTT00022 说明说明: :连续正弦信号连续正弦信号x(t)x(t)的周期的周期T T0 0是抽样间隔的整数倍，或是抽样间隔的整数倍，或 者说，是在者说，是在一个一个连续信号的周期连续信号的周期T T0 0内内以以

29、T T为采样间隔为采样间隔 采样了采样了N N个点个点。NTT 002(2) (2) 当当 2 2 / / 0 0 为有理数时：为有理数时：KNTT 0020KTNT 说明说明: : 在在K K个个连续正弦信号连续正弦信号x(t)x(t)的周期的周期T T0 0内内以以T T为采样间隔为采样间隔 采样了采样了N N个点个点。例如：序列例如：序列)73sin()(nnx x(n)x(n)的周期是的周期是1414，在，在3 3个连续信号周期个连续信号周期T T0 0内采样了内采样了1414个点。个点。314200 TTKN1.2 1.2 离散时间系统离散时间系统离散时间系统离散时间系统TT(运算运

30、算) )x(n)x(n)输入序列输入序列y(n)y(n)输出序列输出序列一、一、线性系统线性系统 概念概念：满足叠加原理的系统为线性系统。满足叠加原理的系统为线性系统。 (1) (1)可加性可加性 设设y y1 1(n)=Tx(n)=Tx1 1(n)(n)，y y2 2(n)=Tx(n)=Tx2 2(n)(n) 如果如果y y1 1(n)+y(n)+y2 2(n)=Tx(n)=Tx1 1(n)+Tx(n)+Tx2 2(n)=Tx(n)=Tx1 1(n)+ x(n)+ x2 2(n)(n) 说明系统说明系统TT 满足可加性。满足可加性。(2)(2)比例性比例性( (齐次性齐次性) ) 设设y y

31、1 1(n)=Tx(n)=Tx1 1(n)(n) 如果如果 a a1 1y y1 1(n) = a(n) = a1 1TxTx1 1(n) =Ta(n) =Ta1 1x x1 1(n)(n) 说明系统说明系统TT 满足比例性或齐次性。满足比例性或齐次性。综合综合(1)(1)、(2)(2)，得到叠加原理的一般表达式：，得到叠加原理的一般表达式： NiiiNiiinxaTnya11)()(2)在证明一个系统是否为线性系统时，应证明系统既在证明一个系统是否为线性系统时，应证明系统既 满足满足可加性可加性，又满足，又满足比例性比例性。(1)叠加原理的一个直接结果是叠加原理的一个直接结果是零输入产生零输

32、出零输入产生零输出。说明：说明：例：验证下面的系统是否为线性系统：例：验证下面的系统是否为线性系统：y(n)=4x(n)+6y(n)=4x(n)+6方法一：验证系统是否满足叠加原理。方法一：验证系统是否满足叠加原理。 可加性分析：可加性分析：若：若：x x1 1(n)= 3(n)= 3，则：则：y y1 1(n)=4(n)=4 3+6=183+6=18 x x2 2(n)= 4(n)= 4，则：则：y y2 2(n)=4(n)=4 4+6=224+6=22而：而：x x3 3(n)= x(n)= x1 1(n)+x(n)+x2 2(n)=7 (n)=7 ，有：有：y y3 3(n)=4(n)=

33、4 7+6=34407+6=3440得到：得到：y y1 1(n)+ y(n)+ y2 2(n)=18+22=40(n)=18+22=40得证：由于该系统不满足可加性，故其不是线性系统。得证：由于该系统不满足可加性，故其不是线性系统。方法二：利用线性系统的方法二：利用线性系统的“零输入产生零输出零输入产生零输出”的特性验证。的特性验证。 因为当因为当x(n)=0 x(n)=0时，时，y(n)=60y(n)=60，这不满足线性系统的这不满足线性系统的“零零输入产生零输出输入产生零输出”的特性，因此它不是线性系统。的特性，因此它不是线性系统。 n=0:19; T=0.05;x1=sin(2*pi*

34、n*T);x2=sin(4*pi*n*T);x3=x1+x2;subplot(331)stem(n,x1);title(x1);subplot(334)stem(n,x2);title(x2);subplot(337)stem(n,x3);title(x3); y1=-0.5*x1;y2=-0.5*x2;y3=-0.5*x3;subplot(332)stem(n,x1);title(y1);subplot(335)stem(n,x2);title(y2);subplot(338)stem(n,x3);title(y3); f1=fft(y1);f2=fft(y2);f3=fft(y3);sub

35、plot(333);stem(n,abs(f1);title(Y1);subplot(336);stem(n,abs(f2);title(Y2);subplot(339);stem(n,abs(f3);title(Y3);01020-101x101020-101x201020-202x301020-0.500.5y101020-0.500.5y201020-101y3010200246Y10102005Y20102005Y3 n=0:19; T=0.05;x1=sin(2*pi*n*T);x2=sin(4*pi*n*T);x3=x1+x2;subplot(331)stem(n,x1);titl

36、e(x1);subplot(334)stem(n,x2);title(x2);subplot(337)stem(n,x3);title(x3); y1=x1.*x1;y2=x2.*x2;y3=x3.*x3;subplot(332)stem(n,x1);title(y1);subplot(335)stem(n,x2);title(y2);subplot(338)stem(n,x3);title(y3); f1=fft(y1);f2=fft(y2);f3=fft(y3);subplot(333);stem(n,abs(f1);title(Y1);subplot(336);stem(n,abs(f2

37、);title(Y2);subplot(339);stem(n,abs(f3);title(Y3);01020-101x101020-101x201020-202x30102000.51y10102000.51y201020024y3010200510Y1010200510Y20102001020Y3二、二、时不变系统时不变系统( (移不变系统移不变系统) ) 概念概念：若系统的若系统的响应响应与与激励加于系统的时刻激励加于系统的时刻无关无关，则该，则该 系统为时不变或移不变系统。系统为时不变或移不变系统。 即即：若有：若有y(n)=Tx(n)y(n)=Tx(n)，则则y(n-m)=Tx(n-

38、m)y(n-m)=Tx(n-m)成立。成立。例：证例：证y(n)=4x(n)+6y(n)=4x(n)+6是移不变系统。是移不变系统。证：证：y(n-m)=4x(n-m)+6y(n-m)=4x(n-m)+6 Tx(n-m)=4x(n-m)+6 Tx(n-m)=4x(n-m)+6 y(n-m)=Tx(n-m) y(n-m)=Tx(n-m) 该系统是移不变系统该系统是移不变系统说明：乍一看该例，似乎说明：乍一看该例，似乎y(n-m)y(n-m)和和Tx(n-m)Tx(n-m)很容易就得很容易就得 到了一样的结果，而实际上它们是通过到了一样的结果，而实际上它们是通过不同的途不同的途 径径得到的。得到的

39、。y(n-m)y(n-m)是将是将y(n)=4x(n)+6y(n)=4x(n)+6表达式中的所表达式中的所 有出现有出现n n的地方用的地方用n-mn-m去替换；而去替换；而Tx(n-m)Tx(n-m)是将所是将所 有有x x函数的函数的自变量自变量替换为替换为自变量自变量- -m m。例：验证以下两个系统的移不变特性。例：验证以下两个系统的移不变特性。(1)(1) nmmxny)()( nmkmxknxT)()( knmknmmxmxkmm)() (令令 knmmxkny)()(因为因为y(n-k)y(n-k)与与Tx(n-k)Tx(n-k)相同，所以该系统是移不变系统。相同，所以该系统是移

40、不变系统。说明：在该例题中可以清楚地看到，说明：在该例题中可以清楚地看到，y(n-k)y(n-k)和和Tx(n-k)Tx(n-k)是是 从两条不同的途径得到了相同的结果。从两条不同的途径得到了相同的结果。 m m=m-k=m-k，m m从从- - n n m m应从应从- - - -k kn-kn-k由于由于- - 是很大很大的，是很大很大的，所以所以- - - -k k就相当于就相当于- - (2)(2) nmmxny0)()( nmkmxknxT0)()( knkmknkmmxmxkmm)() (令令 knmmxkny0)()(因为因为y(n-k)y(n-k)与与Tx(n-k)Tx(n-k

41、)不相同，所以该系统不是移不变系统。不相同，所以该系统不是移不变系统。说明：从上面两个类似的例题中，我们除了知道移不变系统的说明：从上面两个类似的例题中，我们除了知道移不变系统的 证明方法外，还可以学习到一些基本的换元方法。证明方法外，还可以学习到一些基本的换元方法。 m m=m-k=m-k，m m从从0 0n n m m应从应从- -k kn-kn-k例：验证系统例：验证系统y(n)=nx(n)y(n)=nx(n)的移不变特性。的移不变特性。法一法一：用概念：用概念Tx(n-k)=nx(n-k)Tx(n-k)=nx(n-k)y(n-k)=(n-k)x(n-k)y(n-k)=(n-k)x(n-

42、k)因为因为y(n-k)y(n-k)与与Tx(n-k)Tx(n-k)不同，不同，故不是移不变系统。故不是移不变系统。法二法二：找反例：找反例设：设：x x1 1(n)=(n)= ( (n)n)，则则TxTx1 1(n)=n(n)=n ( (n)=0n)=0 x x2 2(n)=(n)= ( (n-1)n-1)，则则TxTx2 2(n)(n) =n=n ( (n-1)= n-1)= ( (n-1)n-1) 可以看出，当输入移位可以看出，当输入移位 ( (n)n) ( (n-1)n-1) 时，输出并不是时，输出并不是也移位了，而是也移位了，而是 0 0 ( (n-1)n-1) ，故不是移不变系统。

43、，故不是移不变系统。三、三、单位抽样单位抽样( (冲激冲激) )响应响应h(n)h(n) 概念概念：同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为LSILSI系统。系统。 LSI(Linear Shift Invariant)SystemLSI(Linear Shift Invariant)System 线性移不变离散时间系统线性移不变离散时间系统 单位抽样单位抽样( (冲激冲激) )响应响应h(n)h(n)： 当输入为当输入为 ( (n)n)时，系统的输出用时，系统的输出用h(n)h(n)表示。表示。 h(n)=Th(n)=T ( (n)n) 卷积卷积： 当

44、一个系统是当一个系统是LSILSI系统时，它的输出系统时，它的输出y(n)y(n)可以用输入可以用输入x(n)x(n)与与 单位抽样响应单位抽样响应h(n)h(n)的卷积来表示。的卷积来表示。 y(n)=x(n)y(n)=x(n)* *h(n)h(n) 证明证明：在前面我们学过，任一序列在前面我们学过，任一序列x(n)x(n)可以写成：可以写成： mmnmxnx)()()(系统的输出为：系统的输出为： mmnmxTny)()()( )()(mnTmxm 利用线性的特性利用线性的特性)()(mnhmxm 利用移不变的特性利用移不变的特性)()(nhnx 说明说明：注意在证明：注意在证明y(n)=

45、x(n)y(n)=x(n)* *h(n)h(n)的过程中用到了线性和移不的过程中用到了线性和移不 变的特性，这说明只有变的特性，这说明只有LSILSI系统才有上式。系统才有上式。四、四、线性移不变系统的性质线性移不变系统的性质 1 1、交换律、交换律y(n) = x(n)y(n) = x(n)* *h(n) = h(n)h(n) = h(n)* *x(n)x(n)h(n)h(n)x(n)x(n)y(n)y(n)x(n)x(n)h(n)h(n)y(n)y(n)等效于等效于 2 2、结合律、结合律x(n)x(n)* *h h1 1(n)(n)* *h h2 2(n) (n) = x(n)= x(n

46、)* *h h1 1(n)(n)* *h h2 2(n)(n)= x(n)= x(n)* *h h2 2(n)(n)* *h h1 1(n) (n) = x(n)= x(n)* *hh1 1(n)(n)* *h h2 2(n) (n) h h1 1(n)(n)x(n)x(n)y(n)y(n)h h2 2(n)(n)h h2 2(n)(n)x(n)x(n)y(n)y(n)h h1 1(n)(n)h h1 1(n)(n)* *h h2 2(n)(n)x(n)x(n)y(n)y(n)三者等效三者等效 3 3、分配律、分配律x(n)x(n)* *hh1 1(n)+h(n)+h2 2(n) = x(n)

47、(n) = x(n)* *h h1 1(n)+x(n)(n)+x(n)* *h h2 2(n)(n)h h1 1(n)+h(n)+h2 2(n)(n)x(n)x(n)y(n)y(n)两者等效两者等效h h1 1(n)(n)x(n)x(n)y(n)y(n)h h2 2(n)(n)例：例：x(n)=u(n)x(n)=u(n)，h h1 1(n)=(n)= ( (n)-n)- ( (n-4)n-4)，h h2 2(n)=a(n)=an nu(n)u(n)，求：求： y(n)=x(n)y(n)=x(n)* *h h1 1(n)(n)* * h h2 2(n)(n) 解：解：)()4()()4()()4

48、()()()()()()()(4011nRnunumnmnmnmnmumnhmxnhnxnwmmm )3()2()1()()3()2()1()()(*)3()2()1()()(*)4()()(*)()()()(321222222242 nuanuanuanuanhnhnhnhnhnnnnnhnununhnRnhnwnynnnn 结果：结果： 0 0 n0 n0 1 1 n=0 n=0 y(n)= y(n)= 1+a 1+a n=1 n=1 1+a+a1+a+a2 2 n=2 n=2 a an n+a+an-1n-1+a+an-2n-2+a+an-3n-3 n3n3 说明：说明： 0000)()

49、()()()()()(mmmnmnnnumnnumnmxnx1)()()()()(*)(00000 nmnnnmnnxnmnmxnnnxm时，时，因为只有当因为只有当五、五、因果系统因果系统1 1、定义、定义 因果系统是指：因果系统是指：某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前 的输入的系统。的输入的系统。即：即：n=nn=n0 0时的输出时的输出y(ny(n0 0) )只取决于只取决于nnnn0 0的输入的输入x(n)|x(n)|nn0nn0的系的系 统为因果系统，否则为非因果系统。统为因果系统，否则为非因果系统。例：判断下面的系统是否为因果系统。例：判断

50、下面的系统是否为因果系统。(1) (1) y(n)=nx(n)y(n)=nx(n)是是(2) (2) y(n)=x(n+2)+ax(n)y(n)=x(n+2)+ax(n)不是不是(3) (3) y(n)=x(ny(n)=x(n3 3) )不是不是(4) (4) y(n)=x(-n)y(n)=x(-n)不是不是(5) (5) y(n)=x(n)sin(n+2)y(n)=x(n)sin(n+2)是是2 2、线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是：、线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是： h(n)=0h(n)=0，n0n0证证：充分条件：充分条件若若n0n0时，时，h(n)=0h(n)=0，有

51、：有： 0)()()()()()()()(00nmnmmmnhmxnymnhmxmnhmxny 从上式看出，从上式看出，y(ny(n0 0) )只与只与m nm n0 0时刻的时刻的x(m)x(m)有关，有关，这满足因果系统的定义这满足因果系统的定义我们将我们将n0n0，x(n)=0 x(n)=0的的序列称为因果序列序列称为因果序列n-m0,h(n)0n-m0,h(n)0 m=nm=n 必要条件必要条件( (反证法反证法) ) 若已知一系统是因果系统，但当若已知一系统是因果系统，但当n0nn mn 时的一个时的一个x(m)x(m)值有关，而这又与设定的另一值有关，而这又与设定的另一个条件：因果

52、系统相矛盾，所以说明设定条件有误。个条件：因果系统相矛盾，所以说明设定条件有误。mnmnn-m0n-m0mnmnn-m0n-m0 注意：当利用该性质验证一个系统为因果系统时，应首先注意：当利用该性质验证一个系统为因果系统时，应首先 确定系统是确定系统是LSILSI系统，并求出其单位冲激响应系统，并求出其单位冲激响应h(n)h(n)。六、六、稳定系统稳定系统1 1、定义、定义 稳定系统是指：稳定系统是指：有界输入产生有界输出的系统有界输入产生有界输出的系统。 即：即： 如果如果| |x(n)|x(n)|M ，则有：则有： | |y(n)|y(n)|P 。2 2、一个一个LSILSI系统是稳定系统

53、的充分必要条件是：系统是稳定系统的充分必要条件是：单位抽样响应单位抽样响应绝对可和。绝对可和。 qnhn)(证明：充分条件：证明：充分条件：若若| |h(n)|h(n)|q ，且且| |x(n)|x(n)|M 则则y(n)y(n)为：为： MqkhMmnhMmnhmxmnhmxnynknmnmm)()()()()()()(即证：若即证：若| |h(n)|h(n)|q ，且且| |x(n)|x(n)|M ，存在：存在： | |y(n)|y(n)| ， 即该即该LSILSI系统确实为稳定系统。系统确实为稳定系统。只有只有LSILSI系统才有系统才有y(n)=x(n)y(n)=x(n)* *h(n)

54、h(n) 必要条件：必要条件：( (反证法反证法) )已知一已知一LSILSI稳定系统，设存在：稳定系统，设存在： mmh)(我们可以找到一个我们可以找到一个有界的输入有界的输入x(n)x(n)： 0)(10)(1)(nhnhnx mmmmhmhmhmxy)()()0()()0( y(n) y(n)在在n=0n=0时为时为 ，即得到即得到无无界的输出界的输出y(n)y(n)，而这不符合而这不符合稳定系统的假设，所以说明上面的假设不成立，故得证。稳定系统的假设，所以说明上面的假设不成立，故得证。3 3、证明一个系统是否稳定的方法：、证明一个系统是否稳定的方法： 若若LSILSI系统的系统的h(n

55、)h(n)已直接给出，或间接求出，则可以用已直接给出，或间接求出，则可以用 h(n)h(n)是否绝对可和是否绝对可和来证明系统的稳定性。来证明系统的稳定性。 若系统是以若系统是以 y(n)=Tx(n) y(n)=Tx(n) 的形式给出的，则应该直接的形式给出的，则应该直接 利用稳定系统的定义：利用稳定系统的定义：有界输入得到有界输出有界输入得到有界输出来证明。来证明。 有时可利用有时可利用反证法反证法，只要找到一个有界的输入，只要找到一个有界的输入x(n)x(n)，若若 能得到无界的输出，则该系统肯定不稳定。能得到无界的输出，则该系统肯定不稳定。例：验证系统例：验证系统 y(n)=nx(n)y

56、(n)=nx(n)的稳定性。的稳定性。反证：当反证：当x(n)=1x(n)=1时，时，y(n)=ny(n)=n，当当 nn ，y(n)y(n) ，此时，此时， y(n)y(n)无界，故系统不稳定。无界，故系统不稳定。证：设证：设x(n)x(n)有界，有界，| |x(n)|Ax(n)|A - -A |x(n)| AA |x(n)| A a a- -A |y(n)| a |y(n)| aA 当当x(n)x(n)有界时，有界时，y(n)y(n)也有界，故为稳定系统。也有界，故为稳定系统。例：一个例：一个LSILSI系统的系统的 h(n)=ah(n)=an nu(n)u(n)，讨论其因果性和稳定性。讨

57、论其因果性和稳定性。 因果性：因果性：因为：当因为：当n0n0时，时，h(n)=0h(n)=0，所以该系统为因果系统。所以该系统为因果系统。 稳定性：稳定性： 1111)(0aaaanhnnn当当| |a|1a|1时系统稳定，当时系统稳定，当| |a|1a|1时系统不稳定。时系统不稳定。例：验证系统例：验证系统 y(n)=ax(n) 的稳定性。的稳定性。例例: : 判断累加器系统的稳定性判断累加器系统的稳定性解解: :q考虑有界输入考虑有界输入x x( (n n)= )= u u( (n n) )，累加器的输出为，累加器的输出为 q虽然虽然n n为有限值时，系统输出也为有限值，但对为有限值时，

58、系统输出也为有限值，但对于所有于所有n n值值( (包括包括+)+)不存在有限值不存在有限值P P，使得，使得(n+1)P(n+1)P+，故系统输出无界。，故系统输出无界。 ( )()my nx m1,0( )()0,0mnny nu mn常见系统的特性常见系统的特性1 1、M-point moving average systemM-point moving average system11101Mn Mnnnn kkxxxyxMMIt is causal, linear, time-invariant,with It is causal, linear, time-invariant,wi

59、th memory.memory.2 2、Exponential averaging(smoothingExponential averaging(smoothing ) ) systemsystem1(1)nnnyxyIt is causal, time-invariant,with memory.It is causal, time-invariant,with memory.3 3、Accumulator systemAccumulator systemnnkkyxIt is causal,linear, time-invariant,with memory.It is causal,l

60、inear, time-invariant,with memory.4 4、Backward difference systemBackward difference system1nnnyxxIt is causal, linear, time-invariant,with It is causal, linear, time-invariant,with memory.memory.5 5、22lognnnnyxyxThey are non-linear, time-invariant, memory-less They are non-linear, time-invariant, me