误差与不确定度

1、第二章第二章 误差与不确定度误差与不确定度本章要点：本章要点： u 误差的概念与表示方法误差的概念与表示方法 u 随机误差、系统误差和粗大误差的随机误差、系统误差和粗大误差的特性和处理方法特性和处理方法u误差的合成与分配误差的合成与分配 u测量不确定度的概念和评定方法测量不确定度的概念和评定方法 u测量数据处理的方法测量数据处理的方法 本章是测量技术中的基本理论，搞测量就本章是测量技术中的基本理论，搞测量就得与误差打交道。得与误差打交道。 2.12.1 误差的概念与表示方法误差的概念与表示方法 2.1.1 2.1.1 测量误差测量误差 真值真值为为“表征某量在所处的表征某量在所处的条件条件下下

2、完善完善地地确定确定的量值的量值”。误差误差= =测量值测量值- -真值真值 2.12.1 误差的概念与表示方法误差的概念与表示方法 例例1 1，在电压测量中，真实电压，在电压测量中，真实电压5V5V，测得的电压为，测得的电压为5.3V5.3V，则，则 误差误差= 5.3V - 5V = +0.3V = 5.3V - 5V = +0.3V 2.1.1 2.1.1 测量误差测量误差 例如：例如：现在是什么时间？现在是什么时间？ 能准确地报出北京时刻吗？能准确地报出北京时刻吗？问题：问题：5V5V真值真值怎么知道的？怎么知道的？ 在在通用计量术语及定义通用计量术语及定义（JJF1001-1998J

3、JF1001-1998）中，）中，量的真值真值 true valuetrue valueof quantityof quantity是是“与给定的特定量的定义一致的值。与给定的特定量的定义一致的值。”并注明：并注明：量的真值只有通过完善的测量才有可能获得；真值按其本性是不确定的；与给定的特定量定义一致的值不一定只有一个。 真值是一个理想的概念，真值虽然是客观存在，但却又难真值是一个理想的概念，真值虽然是客观存在，但却又难以获得。因为自然界任何物体都处于永恒的运动中，一个以获得。因为自然界任何物体都处于永恒的运动中，一个量在不同时间、空间都会发生变化，从而有不同的真值。量在不同时间、空间都会发生

4、变化，从而有不同的真值。故故真值应是指在瞬间条件下的值真值应是指在瞬间条件下的值，一般来说是无法通过完，一般来说是无法通过完善的测量来获得。善的测量来获得。 例如：某个例如：某个5 5号电池，标称电压号电池，标称电压1.5v1.5v，真值是，真值是多少？多少？-很难确定！很难确定！实际上对实际上对“真值真值”的应用通常是用以下三种办法：的应用通常是用以下三种办法： 真值可由理论（或定义）给出真值可由理论（或定义）给出例例1 1：三角形内角和为三角形内角和为180180度度 由国际计量统一定义给出（例如秒的定义为铯原子能级跃迁9192631770个周期的持续时间为1秒）。 1s=91926317

5、701s=9192631770周期周期=31+121+121+29+29+=181用量角器分别量得三内角为：用量角器分别量得三内角为：+ +误差误差=181-180=1=181-180=1例例2 2：秒的定义秒的定义 用用“约定真值约定真值” ” 代替代替“真值真值” 用用“不确定度不确定度” ” 评定测量结果评定测量结果 实际测量中常把实际测量中常把高一等级的计量标准高一等级的计量标准测得的实际测得的实际值作为真值使用。值作为真值使用。“实际值实际值”“”“约定真值约定真值”。 在本章第在本章第2 2、3 3。4 4。5 5节中讨论误差时是基于节中讨论误差时是基于“约定真值约定真值”己知的条

6、件下进行的。己知的条件下进行的。 在本章第在本章第6 6节中详细讨论。逆向思维，节中详细讨论。逆向思维，回避真值，回避真值，研究不能确定的程度研究不能确定的程度。例如用卷皮尺量长度，不。例如用卷皮尺量长度，不能确定的范围在毫米量级，而用游标卡尺测量，能确定的范围在毫米量级，而用游标卡尺测量，不能确定的范围在微米量级。不能确定的范围在微米量级。实际值： 在实际测量中，常用高一级标准高一级标准仪器的示值示值来代 替真值真值，通常称为实际值，也叫相对真值，约定真值。标称值： 测量器具上标定的数值标定的数值。但由于制造和测量精度 不够及环境因素的影响，标称值并一定等于它的真值或实标称值并一定等于它的真

7、值或实际值际值。因此，在标出测量器具的标称值时，通常还要标出它的误差范围或准确度等级。示值： 测量器具指示指示的被测量的量值量值，也称测量器具的测量值，它包括量值 和单位。2.2.基本术语基本术语尽量尽量不要用具体数量不要用具体数量来说准确度。例如：准确度来说准确度。例如：准确度10 mV10 mV只能用某一等级或范围来描述，例如：某电流表为只能用某一等级或范围来描述，例如：某电流表为1 1级表级表（准确度（准确度1%1%）测量结果测量结果-由测量所得到的赋予被测量的值。由测量所得到的赋予被测量的值。 测量结果的表示：是在测量结果的表示：是在示值示值的基础上的基础上经过数据处理经过数据处理后的

8、后的估计值估计值，包括修正值、平均值及不确定度等。，包括修正值、平均值及不确定度等。测量准确度测量准确度-测量结果与被测量的真值的测量结果与被测量的真值的一致程度一致程度。 但由于真值难以获得，故准确度但由于真值难以获得，故准确度是一个定性概念（误是一个定性概念（误差）差）。测量的测量的重复性重复性-在在相同相同的测量条件下，对同一测量进行的测量条件下，对同一测量进行连续多次测量连续多次测量结果之间的结果之间的一致性一致性，用，用“r r” ” 表示。表示。 “ “r r” ” 不能太小，应较大，才能满足重复性的要求。不能太小，应较大，才能满足重复性的要求。 也称也称等精度测量等精度测量-同一

9、个人、同一台仪器、同一同一个人、同一台仪器、同一地点、同一方法，在短时间内进行重复测量。地点、同一方法，在短时间内进行重复测量。 例：例：用数字电压表测量电压用数字电压表测量电压1616次。次。测量的测量的复现性复现性-在在改变改变了的测量条件下，同一被测量的了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性测量结果之间的一致性。 也称也称再现性再现性-换了个人，换了台仪器，在另外的时换了个人，换了台仪器，在另外的时间地点进行测量，其结果不能超出的范围，间地点进行测量，其结果不能超出的范围，“R R”表示。表示。 R R 大则容易满足复现性。大则容易满足复现性。 例：例：不同人用不同的电压表测量

10、市电，都是不同人用不同的电压表测量市电，都是220v220v左右。左右。.2 误差的来源误差的来源 1.1.仪器误差：仪器误差：指针式仪表的零点漂移、刻度误差以及非线性引起误差；指针式仪表的零点漂移、刻度误差以及非线性引起误差； 数字式仪表的量化误差（如数字式仪表的量化误差（如5 5位半的电压表比位半的电压表比3 3位半量化误差小）；位半量化误差小）； 比较式仪表中比较式仪表中标准量本身标准量本身的误差（如天平的砝码）均为仪器误差。的误差（如天平的砝码）均为仪器误差。 非线性非线性1.999999V1.999999V1.999V1.999VV VmVmV2.2.方法误差：方法误

11、差：由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。 例如：例如：用普通模拟式万用表测量高阻上的电压。用普通模拟式万用表测量高阻上的电压。 100k100k1mA1mAv v100k100k100?50VV电压表电压表内阻内阻习题习题2.92.9被测电阻被测电阻R Rx x，电压表的内阻为，电压表的内阻为R RV V，电流表的内阻为，电流表的内阻为R RI II IV VR Rx x(a)(a)I IV VR Rx x(b)(b)对于图对于图(a)(a)： /VxxVxxV2xxxxV(RR )IR RUR =IIR +R-RR= R - R =R +R对于

12、图（对于图（a a）当电压表内阻）当电压表内阻R RV V很大时可选很大时可选a a方案。方案。对于图（对于图（b b）当电流表内阻）当电流表内阻R RI I很小时可用很小时可用b b方案。方案。3 3 理论误差理论误差 测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似值计测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似值计算测量结果时所引起的误差称为理论误差。例如，用谐振法测量算测量结果时所引起的误差称为理论误差。例如，用谐振法测量频率时，常用的公式为频率时，常用的公式为 01f =2 LC但实际上，回路电感但实际上，回路电感L L中总存在损耗电阻中总存在损耗电阻r r，其准确的公为

13、，其准确的公为 201r Cf =1-L2 LC4 4 影响误差影响误差 由于各种环境因素与要求不一致所造成的误差称为影响误差。由于各种环境因素与要求不一致所造成的误差称为影响误差。例如，环境温度、预热时间、电源电压、内部噪声、电磁干扰例如，环境温度、预热时间、电源电压、内部噪声、电磁干扰等条件与要求不一致，使仪表产生的误差。等条件与要求不一致，使仪表产生的误差。 5 5 人身误差人身误差 由于测量者的分辨能力、疲劳程度、责任心等主观因素，使测由于测量者的分辨能力、疲劳程度、责任心等主观因素，使测量数据不准确所引起的误差。量数据不准确所引起的误差。 研究误差理论的目的研究误差理论的目的是分析产

14、生误差的原因和规律，识别误差是分析产生误差的原因和规律，识别误差的性质，正确处理测量数据，合理计算所得结果，在一定测量的性质，正确处理测量数据，合理计算所得结果，在一定测量条件下，尽力设法减少误差，条件下，尽力设法减少误差，保证测量误差在容许的范围内。保证测量误差在容许的范围内。 2.1.3 2.1.3 误差的表示方法误差的表示方法 相对误差相对误差 绝对误差绝对误差 1.1.绝对误差：绝对误差： 定义：被测量的定义：被测量的测量值测量值x x与其与其真值真值A A0 0之差，称为绝对误差。之差，称为绝对误差。 在实际测量中：在实际测量中： “约定真值约定真值”“”“实际值实际值”= = A

15、A 表示表示 修正值：与绝对误差大小相等，符号相反的量值称为修正值，修正值：与绝对误差大小相等，符号相反的量值称为修正值，一般用一般用C C表示表示 C C= = x x= =A Ax x 大小大小 正负正负 单位单位 x x = =x xA A0 0 x x= =x xA A 在测量时，利用示值和已知的修正值相加，即可以计算出被测量的实际值。 A= X + C例子： 某电流表测的电流示值时0.83mA，查得该电流表在0.8mA及其附近的修正值都是-0.02mA，那么被测的电流的实际值是多少? A=0.81mA 2.相对误差一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小，而且与这个量本身的大小有关

16、。例：测量足球场的长度和沈阳市到锦州市的距离，若绝对误差都为1米，测量的准确程度是否相同？例：例： 用二只电压表用二只电压表V V1 1和和V V2 2分别测量两个电压值。分别测量两个电压值。V V1 1 表测量表测量150150伏，绝对误差伏，绝对误差 x x1 1=1.5=1.5伏，伏， V V2 2 表测量表测量1010伏，伏， 绝对误差绝对误差 x x2 2=0.5=0.5伏伏 从绝对误差来比较从绝对误差来比较 x x1 1 x x2 2 谁准确？谁准确？ x1 11 11 11 1. .5 5= =1 10 00 0% % = =1 10 0% % = =1 1% %U U1 15

17、50 0 x2 22 22 20 0. .5 5= =1 10 00 0% % = =1 10 00 0% % = =5 5% %U U1 10 0用用相对误差相对误差便于比较便于比较 - -表示相对误差表示相对误差2 2 相对误差：相对误差： 相对真误差、实际相对误差、示值相对误差相对真误差、实际相对误差、示值相对误差相对误差：绝对误差与被测量的真值之比相对误差：绝对误差与被测量的真值之比 （不太实用）（不太实用）相对误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小和符号，相对误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小和符号，没有单位。没有单位。实际相对误差：实际相对误差： 用约定真值用约定真值A A

18、代替真值代替真值A0 A0 （不太方便）（不太方便）示值相对误差：示值相对误差： 用测量值用测量值X X 代替实际值代替实际值A A（比较方便）（比较方便）通常绝对误差较小，而通常绝对误差较小，而真值、测量值和实际值相差不大，真值、测量值和实际值相差不大，在要求不太严格的场合，为了方便常用示值相对误差。在要求不太严格的场合，为了方便常用示值相对误差。下面看常用相对误差：0100%xA 100%AxA 100%xxx 相对误差可以有多种形式相对误差可以有多种形式, ,用测量仪器在一个量程范围内出现的用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差最大绝对误差与该与该量程值量程值（上限（上限值下限值）

19、之比来表示的相对误差，称为满度相对误差（或称引用值下限值）之比来表示的相对误差，称为满度相对误差（或称引用相对误差相对误差xxx x= =1 10 00 0% %xxm mm m=100%100% = S%= S%测量值（示值）相对误差测量值（示值）相对误差：仪器量程内仪器量程内最大绝对误差最大绝对误差与测与测量仪器量仪器满度值满度值之比来表示的相之比来表示的相对误差对误差 用分贝（用分贝（dBdB）表示相对误差）表示相对误差 相对误差也可用相对误差也可用对数形式对数形式（分贝数）表示，主要用于功率、（分贝数）表示，主要用于功率、电压的增益（衰减）的测量中。电压的增益（衰减）的测量中。 功率功

20、率等电参数用等电参数用dBdB表示的相对误差为表示的相对误差为 dBx= 10lg(1 +)dBx（2.92.9） 电压、电流电压、电流等参数用等参数用dBdB表示的相对误差为表示的相对误差为 dBx= 20lg(1+)xx= 20lg(1+ )dBdBm dBm ：比值，描述功率单位。：比值，描述功率单位。mwp1lg10例：检定量程为例：检定量程为100A100A的满刻度相对误差小于的满刻度相对误差小于2%2%电流表，电流表，在在50A50A刻度上标准表读数为刻度上标准表读数为49A49A，问此电流表是否合格？，问此电流表是否合格？ 解：解： x x0 0=49A =49A x x=50A

21、 =50A x xmm=100A=100Ax xx0 0m mm m- -5 50 0- -4 49 9= = 1 10 00 0% %= = 1 10 00 0% %= =1 1% % 2 2% %1 10 00 0（二级表）（二级表） xxm mm m=100%100% = S%= S% 例 某待测电流约为100mA，现有0.5级量程为0400mA和1.5级量程为0100mA的两个电流表，问用哪一个电流表测量较好？2100%1.5% 1.5%100mxxSx1400%0.5%2%100mxxsx xxm mm m=100%100% = S%= S%2.1.4 2.1.4 误差按性质分类误差

22、按性质分类随机误差随机误差 系统误差系统误差 粗大误差粗大误差 随机误差随机误差-每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差。化的误差。（同随机变量）（同随机变量）系统误差系统误差-在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测量在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变误差的绝对值和符号都保持不变粗大误差粗大误差-是一种显然与实际值不符的误差是一种显然与实际值不符的误差在国家计量技术规范在国家计量技术规范通用计量术语及定义通用计量术语及定义（JF1001-1998）中，系统误差定义为：）中，系统误差定义为：“

23、在重复性条在重复性条件下，对同一被测量件下，对同一被测量所得的结所得的结果的果的平均值平均值与被测量的与被测量的真值真值之差之差。”用用表示系表示系统误差，即统误差，即 1. 系统误差系统误差即即 为无限多次测量结果的平均值为无限多次测量结果的平均值（概率论中的数学期望），这里简称为（概率论中的数学期望），这里简称为总体均值总体均值。 0Ax （2.112.11）1211()nniix xxxxnnn （2.122.12）在国家计量技术规范在国家计量技术规范通用计量术语及定义通用计量术语及定义（JG10011998）中，随机误差定义为：）中，随机误差定义为：“测量结果与在重复性条件下，对同一被

24、测量进行无限多次测无限多次测量量所得结果的平均值之差。”用用表示随机误差，即表示随机误差，即 2. 随机误差随机误差xxii（2.13）3. 粗大误差粗大误差在一定条件下，在一定条件下，测量值显著偏离其真值显著偏离其真值（或约定真值）所对应的误差，称为粗大误差。 粗大误差产生原因：主要是粗大误差产生原因：主要是 读数错误读数错误 测量方法不对测量方法不对 瞬间干扰瞬间干扰 仪器工作不正常等。仪器工作不正常等。对粗大误差的处理通常是按一定的对粗大误差的处理通常是按一定的法则法则进行进行剔除剔除 4. 4. 三种误差的关系或对测量结果产生的影响三种误差的关系或对测量结果产生的影响系统误差系统误差

25、小，小，准确度准确度高高 A A或或A AX Xi iX Xi i随机误差随机误差 小小 ，精密度精密度高高 A AA A或或X Xi i系统误差和随机误差都较小，称系统误差和随机误差都较小，称精确度精确度高高 A A或或X Xi iX Xi i x= x= + + + ( + (粗大误差粗大误差) )定性的概念：定性的概念：测量结果与真值之间的一致程度测量结果与真值之间的一致程度由（由（2.1）式误差的定义：）式误差的定义： 000iiiixxAxxxAxxxA 式（式（2.14）表示误差等于随机误差和系统误差相加的关）表示误差等于随机误差和系统误差相加的关系。图系。图2.2给出了这些误差之

26、间关系的示意图。给出了这些误差之间关系的示意图。（2.14）定量的概念：定量的概念：系统误差真值测量值的概率分布曲线概率密度误差某次测量值随机误差测量值置信区间xix0Aksx ksx ixP总体均值x不确定度UU定量的概念：定量的概念：2.2 2.2 随机误差随机误差 2.2.1 2.2.1 定义与性质定义与性质 测量术语测量术语：“等精度测量等精度测量”在相同条件（同一人、同一仪器同一环境、同在相同条件（同一人、同一仪器同一环境、同一方法）下，对同一量进行重复测量，称为等精度测量。一方法）下，对同一量进行重复测量，称为等精度测量。 随机误差随机误差定义定义：在国家计量技术规范在国家计量技术

27、规范通用计量术语及定义通用计量术语及定义（JG1001JG100119981998）中，随机误差定义为：）中，随机误差定义为：“测量结果与在重复性条件下，对同一被测量测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差进行无限多次测量所得结果的平均值之差。”用用表示随机误差或偶然误差，表示随机误差或偶然误差，简称随差。简称随差。随机误差概念随机误差概念-不可预定方式变化的误差（同随机变量）不可预定方式变化的误差（同随机变量）xxii举例：举例：对一电阻进行对一电阻进行n n=100=100次重复性测量次重复性测量表表 2.22.2 按大小排列的按大小排列的重复性重复性测量

28、结果测量结果 测量值测量值x xi i（ ）相同测值出现次数相同测值出现次数mmi i相同测值相同测值出现的概率出现的概率P Pi i=m=mi i/n/n9.959.952 20.020.029.969.964 40.040.049.979.976 60.060.069.989.981499.9918180.180.1810.0010.0022220.220.2210.0110.0116160.160.1610.0210.0210100.100.1010.0310.035 50.050.0510.0410.042 20.020.0210.0510.051 10.01

29、0.01xP P( (x x) ) x x0 0 随机误差性质：服从随机误差性质：服从正态分布正态分布，具有以下，具有以下4 4个特性个特性： 对称性对称性绝对值相等的正误差与负绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；误差出现的次数相等； 单峰性单峰性绝对值小的误差比绝对值绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多；大的误差出现次数多； 有界性有界性绝对值很大的误差出现的绝对值很大的误差出现的机会极少，不会超出一定的界限；机会极少，不会超出一定的界限； 抵偿性抵偿性当测量次数趋于无穷大，当测量次数趋于无穷大，随机误差的平均值将趋于零。随机误差的平均值将趋于零。 x2.2.2 2.2.2 随机误

30、差特点随机误差特点在测量中，随机误差是在测量中，随机误差是不可避免不可避免的。误差的符号和绝对的。误差的符号和绝对值都不是定值。值都不是定值。随机误差是由大量随机误差是由大量微小的没有确定规律微小的没有确定规律的因素引起的，的因素引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。对各种被测参数进行对各种被测参数进行等精度测量等精度测量，都会得到一个钟形曲，都会得到一个钟形曲线，这是被大量实践证明了的，具有线，这是被大量实践证明了的，具有普遍意义的统计规律普遍意义的统

31、计规律，这种钟形曲线称为这种钟形曲线称为正态分布正态分布。对于单次测量，随机误差的大小和符号都是对于单次测量，随机误差的大小和符号都是不确定不确定的，的，但是对但是对多次测量多次测量而言，其而言，其服从统计规律服从统计规律。测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。中心极限定理：假设被研究的中心极限定理：假设被研究的随机变量随机变量可以表示为可以表示为大量独立的随机变量大量独立的随机变量的的和和，其中每一个随机变量对于总和只起，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用微小作用，则可认为这个随机变量，则可认为

32、这个随机变量服从正态分布。服从正态分布。 数学期望:反映其平均特性。其定义如下：X为离散型随机变量：(x是测量值，p是相应的概率)X为连续型随机变量（p（x）是概率密度函数） 这就是为何测量数据和随机误差大多接近正态分布的原因这就是为何测量数据和随机误差大多接近正态分布的原因1iipixE(X) dxxxpXE)()( 数学期望只能求得平均特性，但在实际测量中往往还需要知道数据的离散程度。 方差是用来描述随机变量与其数学期望的离散程度的参数。 设随机变量X的数学期望为E(X)，则X的方差定义为：D(X)= E(XE(X)2 标准偏差定义为： 标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的离散程度离散程

33、度，并且与随机变量具有相同量纲。)()(2离散1iipXEixD(X)( XD 平均值的标准差平均值的标准差 意义在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分mm组组进行测量，每组重复进行测量，每组重复n n次测量，则每组数列都会有一个平均值，次测量，则每组数列都会有一个平均值，由于随机误差的存在，这些平均值并不相同，围绕真值有一定由于随机误差的存在，这些平均值并不相同，围绕真值有一定分散性。这说明有限次测量的分散性。这说明有限次测量的算术平均值还存在着误差算术平均值还存在着误差。当需。当需要更精密时，应该用要更精密时，应该用算术平均值的

34、标准差算术平均值的标准差 x来评价。来评价。 已知算术平均值已知算术平均值 x为为 nii=11=nxx n m 1 2 m n m 1 2 m 1 1 x x11 11 x x21 21 x xm1m1 2 2 x x1212 x x22 22 x xm2m2 . . . . n n x x1n1n x x2n2n x xmnmn 1( )s x1x2( )s x( )ms x2xnxs( )s( )=nxx当当n n为有限次时，用标准差的估值即可，则为有限次时，用标准差的估值即可，则 nxsxs)()(（2.212.21） 结论结论：（：（2.212.21）式说明，算术平均值的标准差是任意

35、一组）式说明，算术平均值的标准差是任意一组n n次次测量样本标准差的测量样本标准差的 n分之一。即算术平均值的标准差估值分之一。即算术平均值的标准差估值 )(xs比样本标准差的估值比样本标准差的估值 )(xs比样本标准差的估值比样本标准差的估值 )(xs小小 n倍，倍， 表明了各组平均值再平均以后数值更集中了。这是由于随机误表明了各组平均值再平均以后数值更集中了。这是由于随机误差的抵偿性，测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度差的抵偿性，测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所以，

36、用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。意义意义：（：（2.212.21）式给实际测量带来了方便，人们只要测量一组）式给实际测量带来了方便，人们只要测量一组数据，求得标准差，将其除以数据，求得标准差，将其除以 ，则相当于得到了多组数据，则相当于得到了多组数据n的算术平均值的标准差。的算术平均值的标准差。归纳归纳：有限次测值的算术平均值和标准差有限次测值的算术平均值和标准差计算步骤：计算步骤：(1)(1)列出测量值的数据表列出测量值的数据表 (2)(2)计算算术平均值计算算术平均值 1211nniix xxxxnn ()iivxx221111( )

37、()11nniiiis xxxnn(3)(3)残差残差 (4)(4)标准差的估计值标准差的估计值（实验标准差）（实验标准差） ( )( )s xs xn(5)(5)算术平均值标准差的估计值算术平均值标准差的估计值 例例2.6 2.6 对某信号源的输出频率进行了对某信号源的输出频率进行了8 8次测量，得测量值次测量，得测量值 ix的序列的序列( (见表见表2.3) 2.3) 。求测量值的平均值及标准偏差。求测量值的平均值及标准偏差。 表表2.3 2.3 例例2.62.6所用数据所用数据iv序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 8x xi i (kHz) (kHz)1000.821

38、000.821000.791000.791000.851000.851000.1000.34341000.1000.78781000.1000.91911000.1000.76761000.1000.82820.060.060.030.030.090.09-0.42-0.420.020.000.000.060.06解解: (1): (1)平均值（注意平均值（注意, ,这里采用的运算技巧）这里采用的运算技巧） nii=110.01x=x =1000+(82+79+85+34+78+91+76+82)=1000.76kHzn82110.2155( )0.1817inis x

39、vn(2)(2)用公式用公式 xxvii计算各测量值残差列于表计算各测量值残差列于表2-32-3中中(3)(3)标准差估值标准差估值 ( )0.18( )0.068s xs xn(4)(4) x的标准偏差的标准偏差 因整数位不变因整数位不变2.15 对某直流稳压电源的输出电压对某直流稳压电源的输出电压U Ux x进行了进行了1010次测量，测量结果如下：次测量，测量结果如下：求输出电压求输出电压U Ux x的算术平均值及其标准偏差估值的算术平均值及其标准偏差估值005. 50054. 5)7110941526113(101001. 0000. 5101iU解：解：U Ux x的算术平均值的算术

40、平均值 1012)(91)(iUUiUs101232222222222)10(6 . 1)4 . 6(6 . 46 . 3)4 . 9(6 . 9)4 . 7(6 . 06 . 5)4 . 2(91i10123)10(56. 296.4016.2196.1236.8816.9276.5736. 036.3176. 591iV006. 00062. 0104 .353916标准偏差估值标准偏差估值 残差残差 次数12345678910电压/V5.0035.0115.0064.9985.0154.9965.0095.0104.9995.007残差(103V)--7.49.6-9.

41、43.64.6-6.41.6置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997区间越宽，区间越宽，置信概率越大置信概率越大t分布的置信限t分布：实际测量中，总是进行有限次测量，只能根据贝塞尔公式求出标准差的估计值，但测量次数较少时（如n20时，t分布接近正态分布。正态分布是t分布的极限分布。当n很小时，t分布的中心值比较小，分散度较大，即对于相同的概率，t分布比正态分布有更大的置信区间。 给定置信概率和测量次数n，查表得置信因子kt。 p p( (t t) )0 0n nn n 大大n n 小小图图2.9 2.9 t t 分布分布t t分布一般用来解决有限次等精度测量的置信度问题。分布

42、一般用来解决有限次等精度测量的置信度问题。 )(),(LtsLLtsL例例2.8 2.8 对某电感进行对某电感进行1212次等精度测量，测得的数值（单位次等精度测量，测得的数值（单位mHmH）为为20.4620.46、20.5220.52、20.5020.50、20.5220.52、20.4820.48、20.4720.47、20.5020.50、20.4920.49、20.4720.47、20.4920.49、20.5120.51、20.5120.51，若要求，若要求在在P P=95%=95%的的置信概率下，该电感测值应在多大置信区间内？置信概率下，该电感测值应在多大置信区间内？ 解：第一步

43、：求出解：第一步：求出 L及及 )(Ls电感的算术平均值电感的算术平均值 121120.49312iiLLmH12211( )()0.02012 1iis LL LmH0.020( )0.00612s LmH电感的标准差估值电感的标准差估值 算术平均值标准差估值算术平均值标准差估值 第二步：第二步： 查附录查附录B B：t t分布表，由分布表，由n n1=111=11及及P P=0.95=0.95，查得，查得t t=2.20=2.20 k k(n-1)(n-1)P P0.90.950.95.098.0980.990.990.9990.999

44、 1 1 10101111？ 2.2282.228 第三步：第三步： 估计电感估计电感L L的置信区间的置信区间 )(),(LtsLLtsL，其中，其中( )2.20 0.0060.013ts LmH则在则在95%95%的置信概率下，电感的置信概率下，电感L L的置信区间为的置信区间为20.48mH20.48mH，20.51mH20.51mH。4. 4. 非正态分布非正态分布以上分析中都认为测量值和误差是服从正态分布（包括以上分析中都认为测量值和误差是服从正态分布（包括t t分布分布). ).在测量实践中会遇到有些情况下，误差是非正态分布的。下面在测量实践中会遇到有些情况下，误差是非正态分布的

45、。下面介绍几种常见的非正态分布曲线及置信度问题。介绍几种常见的非正态分布曲线及置信度问题。 1)1)均匀分布均匀分布 均匀分布又称为等概率分布、矩形分布，是仅次于正态分布的均匀分布又称为等概率分布、矩形分布，是仅次于正态分布的一种重要分布，如图一种重要分布，如图2.102.10所示。其特点是在误差范围内，所示。其特点是在误差范围内，误差误差出现的概率各处相同出现的概率各处相同。如仪器中的度盘。如仪器中的度盘回差回差所导致的误差；数所导致的误差；数字仪器中的字仪器中的量化误差量化误差（在（在1 1单位以内不能分辨的误差）；数单位以内不能分辨的误差）；数据计算中的据计算中的舍入误差舍入误差（舍掉的

46、或进位的低位数字的概率是相同（舍掉的或进位的低位数字的概率是相同的）等，均为均匀分布误差。的）等，均为均匀分布误差。 pp( (x x) )0 0 x x图图2.10 2.10 均匀分布均匀分布a ab b均匀分布的概率密度为均匀分布的概率密度为 1p(x) =b -a0 a a x x b b xaxb及可以证明，图可以证明，图2.102.10所示的均匀分布的数学期望为所示的均匀分布的数学期望为 a+bE(x) =2b-a =12标准差为标准差为 （2.242.24） （2.252.25） pp( (x x) )0 0 x x图图2.10 2.10 均匀分布均匀分布a ab b 1 1 b-

47、ab-aA Ax x+ +e e0 0-e-epp( (x x) )图图2.12 2.12 反正弦分布反正弦分布632反正弦反正弦均匀均匀三角三角2323正态正态包含因子包含因子k k分布分布p p( (x x) )0 0 x x图图2.11 2.11 三角分布三角分布-e-ee e1/e1/e2.2.5 2.2.5 非等精度测量非等精度测量前面讨论的测量结果是基于等精度测量条件下进行的，这是前面讨论的测量结果是基于等精度测量条件下进行的，这是通通常的测量情况常的测量情况。但有时候，如在科研或高精度测量中，往往在。但有时候，如在科研或高精度测量中，往往在不同的测量条件下，用不同的仪器，不同的测

48、量方法，不同的不同的测量条件下，用不同的仪器，不同的测量方法，不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称为测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称为非非（或不）等精度测量（或不）等精度测量。 对于非等精度测量，计算最后测量结果及其精度（如标准差），对于非等精度测量，计算最后测量结果及其精度（如标准差），不能套用前面等精度测量的计算公式，需要采用新的计算公式。不能套用前面等精度测量的计算公式，需要采用新的计算公式。1.“1.“权权”的概念和确定方法的概念和确定方法日常统计中也用日常统计中也用“权权”的概念，如按学分加权课程统计学生的的概念，如按学分加权课程统计学生的各科总

49、平均成绩，以显示学分多的课程各科总平均成绩，以显示学分多的课程重要性重要性。例如，三门学。例如，三门学分为分为3 3、1 1、2 2课程的加权平均成绩为课程的加权平均成绩为3 82 1 86 2 75 48280.33 1 26 分2. 2. 加权算术平均值加权算术平均值 若对同一被测量进行若对同一被测量进行mm组非等精度测量，得到组非等精度测量，得到mm组测量结果组测量结果 mxxx,21mwww,21mmmwwwxwxwxwx 212211，设相应的，设相应的权值权值为为 ，则，则加权算术平均值为加权算术平均值为例例2.10 2.10 工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准

50、米尺的工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度分别为平均长度分别为999.9425mm999.9425mm（3 3次测量的），次测量的），999.9416mm999.9416mm（2 2次测量的），次测量的），999.9419mm999.9419mm（5 5次测量的），求最后测量结果。次测量的），求最后测量结果。解：解： 按测量次数按测量次数来确定权：来确定权：w w1 1=3=3，w w2 2=2=2，w w3 3=5 =5 ，取，取x x0 0=999.94mm=999.94mm，则有，则有5230019. 050016. 020025. 03x999.9499

51、9.94= 999.9420 mm= 999.9420 mm3. 3. 加权算术平均值的标准差加权算术平均值的标准差 对同一被测量进行对同一被测量进行mm组非等精度测量，得到组非等精度测量，得到mm个测量结果，个测量结果，各组测量结果的残余误差为各组测量结果的残余误差为ixivxx经推导可得经推导可得加权算术平均值加权算术平均值的标准差：的标准差： （2.352.35）miimiixixwmw112) 1(2.3 2.3 粗大误差粗大误差在一定条件下，测量值显著偏离其实际值所对应的误差。在一定条件下，测量值显著偏离其实际值所对应的误差。 产生原因：主要是表现为读数错误、测量方法错误、仪器有缺产

52、生原因：主要是表现为读数错误、测量方法错误、仪器有缺陷、电磁干扰及电压跳动等。陷、电磁干扰及电压跳动等。 粗大误差无规律可循，故必须当作坏值予以剔除。粗大误差无规律可循，故必须当作坏值予以剔除。 剔除是要有一定依据的剔除是要有一定依据的。在不明原因的情况下，。在不明原因的情况下，首先要判断可疑数据是否是粗大误差。其方法的基本思想是给首先要判断可疑数据是否是粗大误差。其方法的基本思想是给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超出置信区间的误差定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超出置信区间的误差就认为是粗大误差。就认为是粗大误差。具体检验方法常见的有三种具体检验方法常见的有三种： 2.3.1 2.

53、3.1 定义定义2.3.2 2.3.2 处理处理2.3.3 2.3.3 剔除法则剔除法则检验方法常见的有三种：检验方法常见的有三种： 1 1 莱特检验法莱特检验法（n200n200） i3 3 （x x） 2 2 肖维纳检验法肖维纳检验法（判则不严）（判则不严） a3 3 格拉布斯检验法格拉布斯检验法（理论与实验证明较好）（理论与实验证明较好）maxG G 在一组测量数据中，可疑数据应极少。否则，说明系统工作不在一组测量数据中，可疑数据应极少。否则，说明系统工作不正常。正常。 P P( (x x) )E E( (x x) )x x0 0kk( (x x) )kk( (x x) )-3 -3 -

54、a-a- -G G 3 3 a aG G 残差绝对值大于三倍残差绝对值大于三倍标准偏差标准偏差式中，式中，G G值按重复测量次数值按重复测量次数n n及置信概率及置信概率PcPc确定确定 G是格拉布斯常量取值是格拉布斯常量取值G G查查p34p34表表2.62.64 4 中位数检验法中位数检验法中位数中位数平均值平均值 大量统计表明，当数据列中没有粗大误差时中位数与平均值最为接近，若差距较大说明有异常数据舍弃两端极值。 991、996、999、1001、1004、1008、1011、1014、1019 8 .10049101910141011100810041001999996991中位数中位

55、数例例把测量结果按自小到大顺序排列，所得数据列中居于中间位置的一个值把测量结果按自小到大顺序排列，所得数据列中居于中间位置的一个值应为最佳估计值，称之为应为最佳估计值，称之为中位数中位数。若两个值居于中间位置，取其平均值。若两个值居于中间位置，取其平均值作为中位数。作为中位数。测量数测量数据的分据的分布决定布决定x(1)所有的检验法都是人为主观拟定的，至今尚未有统至今尚未有统一的规定一的规定。这些检验法又都是以正态分布为前提的，当偏离正态分布时，检验可靠性将受影响，特别是测量次检验可靠性将受影响，特别是测量次数较少时更不可靠。数较少时更不可靠。(2)若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应

56、逐个剔除，然后重新计算(3)在一组测量数据中，可疑数据应极少可疑数据应极少。否则，说明系统工作不正常。要对异常数据的出现进行分析，找出原因，不要轻易舍去异常数据而放过发现问题的机会。(4)上述三种检验法中，莱特检验法是以正态分布为依据的，测值数据最好n200，若n.ABX B.A 被测电池电压被测电池电压 x x= =B B+ +A A=9+0.1=9.1V=9+0.1=9.1V测量误差由式（测量误差由式（2.442.44）可求得：）可求得： BAAABBxx=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%0.2%=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%0.2%可见，采用微差法

57、测量，可见，采用微差法测量，测量误差主要决定于标准量的误差测量误差主要决定于标准量的误差，而测试仪表误，而测试仪表误差的影响被大大削弱。本例说明，用误差为差的影响被大大削弱。本例说明，用误差为5 5的电压表进行测量，可得的电压表进行测量，可得0.2%0.2%的测量精确度。的测量精确度。应当指出，在现代智能仪器中，可以利用微处理器的计算控制功能，消弱或应当指出，在现代智能仪器中，可以利用微处理器的计算控制功能，消弱或消除仪器的系统误差。利用消除仪器的系统误差。利用微处理器消弱系差的方法很多微处理器消弱系差的方法很多，如直流零位校准、，如直流零位校准、自动校准、相对测量等，可参阅有关的课程。自动校

58、准、相对测量等，可参阅有关的课程。 待测待测标准标准（固定）（固定）A AB Bx x9V9V0.1V0.1VV V图图2.17 2.17 微差法测量微差法测量削弱测试仪表误差的影响削弱测试仪表误差的影响2.4.4 2.4.4 重复性测量结果的数据处理（重复性测量结果的数据处理（重点内容：是不确定度计算基础重点内容：是不确定度计算基础） 当对某被测量进行重复性测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和当对某被测量进行重复性测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和粗大误差。粗大误差。l对同一量值作一系列对同一量值作一系列等精度独立测量等精度独立测量，其测量列中的全部测量，其测量列中的全部测

59、量值的值的算术平均值与被测量的真值最为接近算术平均值与被测量的真值最为接近。算术平均值就是真值。算术平均值就是真值 的无偏估计值。实际测量中，通常以算术平均值代替真值。的无偏估计值。实际测量中，通常以算术平均值代替真值。 设被测量的真值为设被测量的真值为 ，其等精度测量值为，其等精度测量值为x x1 1，x x2 2，x xn n，则，则其算术平均值为其算术平均值为 n12nii=111x= (x +x +.+x )=xnn（2.192.19） 当当n为有限次时为有限次时xx xn2ii=11s( )=( - )n-1（2.202.20） 这就是贝塞尔公式。由于推导中不够严密，故这就是贝塞尔公

60、式。由于推导中不够严密，故 被称为被称为标标准差的估值，也称实验标准差。准差的估值，也称实验标准差。)(xsl在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分mm组进行测量，每组重复组进行测量，每组重复n n次测量，则每组数列都会有一个平均次测量，则每组数列都会有一个平均值，由于随机误差的存在，这些值，由于随机误差的存在，这些平均值并不相同平均值并不相同，围绕真值有，围绕真值有一定分散性。这说明有限次测量的一定分散性。这说明有限次测量的算术平均值还存在着误差算术平均值还存在着误差。当需要更精密时，应该用当需要更精密时，应该用算术平均值的标准差