专题04和差化积----因式分解的方法

1、专题04和差化积-因式分解的方法(2)阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法1 .主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降哥排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法.2 .待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：(1)在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；(2)利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；(3)解方程组，求出待定系数，

2、再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解.例题与求解_._222222【例1】xyyz+zxxz+yx+zy2xyz因式分解后的结果是().A.y-zxyx-zB.y-zx-yxzC.(y+zjx-yjx+z)D.(y+zjx+yjx-z)(上海市竞赛题)解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降哥排列，改变原式结构，寻找解题突破口.【例2】分解因式：2-2_2(1) a+2b+3c+3ab+4ac+5bc；(“希望杯”邀请赛试题)(2) 2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z.(天津市竞赛题)解题思路：两个多项式的共同特点

3、是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解._._3222例3分解因式x+(2a+1)x+(a+2a1)x+a1.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：因a的最高次数低于x的最高次数，故将原式整理成字母a的二次三项式.【例4】k为何值时，多项式x2十xy2y2+8x+10y+k有一个因式是x+2y+2?(“五羊杯”竞赛试题)解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手._._432【例5把多项式4x-4x+5x-2x+1写成一个多项式的完全平方式.(江西省景德镇市竞赛题)解题思路：原多项式的最高次项是4x4,因此二次三项式的一般形式为2x2+

4、ax+b,求出a、b即可.【例6】如果多项式x2(a+5)x+5a1能分解成两个一次因式(x+b),(x+c)的乘积(b,c为整数)，则a的值应为多少？(江苏省竞赛试题)解题思路：由待定系数法得到关于b,c,a的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出b,c,a的值.能力训练一.一.一2.2.21 .分解因式：9a-4b+4bcc=.222.分斛因式：x+5xy+x+3y+6y=2 23 .分角牛因式：x+3(x+y)+3y+(x-y)=,一.224 .多项式x+y6x+8y+7的最小值为.5 .把多项式x22xy+y2+2x2y-8分解因式的结果是()A.(xy4)(xy+2)B.(x-y

5、-1)(x-y-8)C.(xy+4)(xy2)（“希望杯”邀请赛试题）（河南省竞赛试题）（重庆市竞赛试题）（江苏省竞赛试题）D.(x-y1)(x-y-8).2A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个6 .已知x+ax-12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是（）.7 .若3x3-kx2+4被3x-1除后余3,则k的值为（）.A.2B.4C.9D.108.若ab=13a+3b=1,则3a2+12ab+9b2+的值是(55B.2C.4D.035).9.分解因式：(1) 2a2b2ab+bc+2ac；(2) (c-a)2-4(b-c)(a-b)；（"CASIO杯”

6、选拔赛试题）（大连市“育英杯”竞赛试题）（吉林省竞赛试题）（昆明市竞赛试题）（天津市竞赛试题）（四川省联赛试题）（天津市竞赛试题）(3) x3-3x2+(a+2)x-2a；(4) 2x2-7xy+6y2+2x-y-12；-12(5) xy(xy1)(xy3)-2(xy)-(xy-1)2210 .如果（xa）（x4）-1能够分割成两个多项式x+b和x+c的乘积（b、c为整数），那么a应为多少？（兰州市竞赛试题）11 .已知代数式x23xy4y2x+by2能分解为关于x,y的一次式乘积，求b的值.（浙江省竞赛试题）1 .若x3+3x23x+k有一个因式是x+1,则k=.（“希望杯”邀请赛试题）2

7、.设x33x2-2xy-kx-4y可分解为一次与二次因式的乘积，则k=.（"五羊杯"竞赛试题）3 .已知xy+4是x2y2+mx+3y+4的一个因式，则m=.（“祖冲之杯”邀请赛试题）4 一.2.24 .多项式x+axy+by5x+y+6的一个因式是x+y2,则a+b的值为.（北东市竞赛试题），一325 .右x+ax+bx+8有两个因式x+1和x+2,则a+b=（）.A.8B.7C.15D.21E.22（美国犹他州竞赛试题）2.26.多项式5x4xy+4y+12x+25的最小值为（）.A.4B.5C.16D.25（“五羊杯”竞赛试题）227.若M=3x-8xy+9y4x+6

8、y+13（x,y为实数），贝UM的值一定是（）.A.正数B,负数C.零D.整数（“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题）22228.设m,n满足mn+m+n+10mn+16=0,则（m,n）=（）A.（2,2）或（2,2）B.（2,2）或（2,2）C.（2,2）或（2,2）D.（2,2）或（2,2）（“希望杯”邀请赛试题）229.k为何值时，多项式x-2xy+ky+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）（北京市竞赛试题）10.证明恒等式：a4+b4+(a+b)4=2(a2+ab+b2)2.11 .已知整数a,b,c,使等式（x+a）（x+b）+c（x-10）=（x11）（x+

9、1）对任意的x均成立，求c的值.（山东省竞赛试题）12 .证明：对任何整数x,y,下列的值都不会等于33.x53x4y-5x3y2T5x2y34xy412y5（莫斯科市奥林匹克试题）忖+2=8.展开比较对应暇事敷得，如一2=1。*解得人-忆S2m,例5原式=“一万+1儿例右设F（cl5）JItiu1tr一工十r）r：+m+1）工十展；.尸十储*1加=5u-I.X5+丹beH5i<>=26.占十5仍r+25=：*3-5X3)I.*(Xu.4-37,<)(3d-2frHr)2. i.r-JivJfr42I)3. I.r-t-y-1)(jr-3'"；»4

10、. -1HS.C品口7.D8,D11)(2a6)(.启，+<：23日一一”)二Gri)(x：j-u)t<4)(j2v+3>(2jt3y4)G)IKyI).iq.视示:由席意潺Ir：-%?16r=4a-L尸.1,得(34)(c,b4)=-1,唯鞫:"=:或故。7、l5,t=TILTh'MyT)，-(j+_v)C.rI).可捶朦式一门斗¥十幅“工一4y”展开比较对曹项系畋格5二一茁或火专题（M和差化积因式分籍的方法（2）例1A提币*将原式重新快理成关的一次三项式.例2（1）S提木工原式十（我加上（3?+赤+劝'）（2）Q21r工）提示e隐式一（

11、Zz卑），+（2xt-1r>j+（2r'-?1）例3陌式如+1士12上）=+（/+jtx1）（x-*-1a+2义工+1）.+（+1>=£工+1）例4%=12梃.岳；丫/十工2y=（工+2了）（工一¥）*'*可取原式r卜*+2）了*也R级1. 4二一52. 2It市=j（jF+SrHk）55>Cr-|-2）jt2.J.5段示令津式二（一y+I4,取一的八了的旃代A匕式.4.-35.C提示t#=1工=-2是方程/+,“+做+80的解.如匚提示：原式-U2>+Qr+3）2+lt57»A提示1原式=2;工一为）一（工一+（丫+、广工

12、7.戈这三个收不罪同时为雪.必>d8.C*.*-3揭示：因/+&r-2-1）二十？八故闺令察式"+例1+17*Q+力+2八展开比校对应用系致求出也15提审1左边-fd+tfy一加*1*（/f*1+9产<J,射J'2"一¥，-（./i&"1"十痴Mg"一b>+lab,>+4aW*：-6）觊“'W（qg+&，u右边.IL制麻等式履开工工+S+b+C工Iub-10t-j2I11.A(abI(k=ILI；Ji>.IQu+lQb二一11LAta+10)(6r16)-11.工厂“'g卜610=-H华+1011i什"-ja-9.,五一21或ICt1a+)0=11|u+10=-11,Ib+10=1a-1-_'a-Z1.H或k-T.代人得，I或乩12.厚式一1+赳、)-15tr1/十)一心了,-4-